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第十九章 四边形知识与题型总结
一.本章知识要求和结构
1. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的内在关系.
（1）演变关系图：
（2）从属关系
（依据演变关系图，将四边形，平行四边形，梯形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，直角梯形填入下面的从属关系图中，其中每一个圆代表一种图形）
2. 探索并掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用这些知识进行有关的证明和计算.
名称
平行四边形
矩形
菱形
正方形
定
义

的四边形是平行四边形

的平行四边形是矩形

的平行四边形是菱形

的平行四边形是正方形
性
质
边
角
对角线
对称性
判
定
边
角
对角线
面
积
周
长
3. （1）平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.
如图1， =BC·AE=CD·BF
（2）同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等.如图2， =
4.三角形中位线定理
定义: 叫做三角形中位线（与中线的区分）;
定理:
作用:可以证明两条直线平行;线段的相等或倍分.
拓展:三角形共有三条中位线，并且它们将原三角形分割成四个 的小三角形，其面积和周长分别为原三角形面积和周长的 和 ;
（4）直角三角形的性质 定理: 直角三角形斜边上的中线
5.正方形：
（1）对角线：若正方形的边长为a，则对角线的长为;
正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两个端点的距离相等
（3）面积：正方形的面积等于边长的平方; 等于两条对角线的乘积的一半.
周长相等的四边形中， 正方形的面积最大.
6. ※梯形的中位线
（1）定义:连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线
（2）梯形的中位线定理:梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.
（3）梯形的面积S=×（上底+下底）×高=中位线×高
7.几种特殊四边形的对角线
① 矩形对角线交角为60((120()时,可得：
等边三角形和含30(角直角三角形 （①图）
② 菱形有一个角为60(时, 可得： ③ 正方形中可得：
含30(角的四个全等直角三角形 四大四小等腰直角三角形
（②图） （③图）
④ 对角线互相垂直的梯形, ⑤ 对角线互相垂直的等腰梯形
平移腰可得：双垂图 可得：等腰直角三角形


（④图） （⑤图）
8. 中点四边形: （顶点为各边的中点，需讨论对角线&中位线）
(1) 顺次连结任意四边形各边中点构成的四边形是_______________
(2) 顺次连结对角线相等的四边形的各边中点, 构成的四边形是__________
(3) 顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点构成的四边形是_______
(4) 顺次连结平行四边形各边中点构成的四边形是_________
顺次连结矩形各边中点构成的四边形是_________
顺次连结菱形各边中点构成的四边形是_________
顺次连结直角梯形各边中点构成的四边形是__________
顺次连结等腰梯形各边中点构成的四边形是__________
二．典型题型归纳
（一）概念题
1．中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm两条线段，
则的周长为 ．
2．在中，∠C=60o,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F．
（1）则∠EDF= ；
（2）如图，若AE=4，CF=7，
则周长= ;
(3) 若AE=3，CF=7，请作出对应图形，并求周长．
3．(1)在平行四边形ABCD中，若∠C=∠B+∠D，则∠A= .
(2)已知在,∠A比∠B小20o，则∠C的度数是 ．
(3)在中，周长为100cm，AB-BC=20cm，则AB= ,
BC= .
（4）在中，周长为30cm，且AB：BC=3：2，则AB= cm.
（5）（2007河北省）如图，若□ABCD与
□EBCF关于BC所在直线对称，
∠ABE＝90°，则∠F?＝ °．
4．（2007福建福州）下列命题中，错误的是（ ）
A．矩形的对角线互相平分且相等
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．等腰梯形的两条对角线相等
D．等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等
5.（2007浙江义乌）在下列命题中，正确的是（　　）
A．一组对边平行的四边形是平行四边形　
B．有一个角是直角的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6.（2007甘肃陇南）顺次连结任意四边形各边中点所得四边形一定是 ( )
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7.（2007四川眉山）下列命题中的假命题是( )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
C． 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
8.（2007四川成都）下列命题中，真命题是（　　）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形
Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
9.（2007浙江嘉兴）如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（　　）
Ａ． Ｂ．AC⊥BD Ｃ．等边△ABD Ｄ．∠CAB＝∠CAD
（二）图形的性质和判定方法
10．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两点作//，作BM⊥于M，DN⊥于N，直线MB、ND分别交、于Q、P，试判断四边形PQMN的形状．
11．如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为正方形边上的点，而且AE=BF=CG=DH，求证：四边形EFGH为正方形．

12．如图，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，
AE=AB，AB=2AD，求∠EBC的度数

（三）转化的思想——将梯形问题通过化归、分割、拼接转化成三角形和平行四边形问题. 如图所示：
13．填空
（1）等腰梯形上底长为3cm，腰长为4cm，其中锐角等于60o，
则下底长是 ．
（2）等腰梯形一个底角是60o，它的上、下底分别是8和18，则这梯形的
腰长是 ，高是 ，面积是 ．
（3）在直角梯形中，垂直于底的腰长5cm，上底长3cm，另一腰与下底的
夹角为30o，则另一腰长为 ，下底长为 ．
（4）等腰梯形两对角线互相垂直，一条对角线长为6，则高为 ，
面积为 ．
（5）已知在梯形ABCD中，AD//BC，若两底AD、BC的长分别为2、8，
两条对角线BD=6，AC=8，则梯形的面积为 ．
（四）推理论证的进一步巩固
14．（2007恩施自治州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形.
15．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是直线AB、CD的中点，AF、DE相交于点G，CE、BF交于点H．求证：四边形GEHF是平行四边形.
16．平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且AF=CE，,求证：四边形AECF是平行四边形.
17．求证：正方形的两条对角线将之分成四个全等的等腰直角三角形．
18．已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，
（1）若BE=CF，如图13(1)．求证：AE=BF并且AE⊥BF；
（2）若E、F分别是BC、EF的中点，如图13(2)，求证：GD=AD．

19．（2007浙江金华）国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（ ）
A．红花、绿花种植面积一定相等
B．紫花、橙花种植面积一定相等
C．红花、蓝花种植面积一定相等
D．蓝花、黄花种植面积一定相等
20.（06盐城）已知的面积为4，对角线交于O，
则S△AOB= ．
21.若A,B,C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
22.平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线a的取值范围是（ ）
A.423.平行四边形中一边长为10cm，那么两条对角线的长度可以是（ ）
A．4cm和6cm B．6cm和8cm
C．8cm和12cm D．20cm和30cm
24.（07北京市23）如图，已知．
(1)请你在边上分别取两点（的中点除外），连结，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
(2)请你根据使（1）成立的相应条件，证明．
25．如图已知，过顶点A作∠B、∠C的平分线的
垂线，AD⊥BD于D，AE⊥CE于E．求证：ED//BC．
26．如图，已知BD、CE是⊿ABC的两条高，
M、N分别是BC、DE的中点．
求证：（1）EM=DM；（2）MN⊥DE．
27．（1）如图27(1)，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点．
①若∠EAF=45o．求证：EF=BE+DF．
②若⊿AEF绕A点旋转，保持∠EAF=45o，
问⊿CEF的周长是否随⊿AEF位置的变化而变化？
（2）如图27(2)，已知正方形ABCD的边长为1，
BC、CD上各有一点E、F，如果⊿CEF的周长为2．
求∠EAF的度数．
（3）如图27(3)，已知正方形ABCD，F为BC中点
E为CD边上一点，且满足∠BAF=∠FAE ．
求证：AE=BC+CE．
（五）知识的联系与综合
28．已知的顶点A、B、C的坐标为(-2,3),(-5,-4),(1,-4)，则D点坐标为
29. 如图，已知的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(-2,3)，则点C的坐标为（ ）
A、(-3,2) B、(-2,-3) C、(3,-2) D、(2,-3)
第32题图
30．如图，两平面镜的夹角为，入射光线AO平行于入射到，两次反射后的光线O`B平行于，则角等于 ．
31．已知矩形的对角线长为13，周长为34，则这个矩形的面积为 ．
32.（05,潍坊）如图,在直角坐标系中,将长方形OABC沿OB对折,使点A落在A1处,已知OA=,AB=1,则点A1的坐标是（ ）
A.（） B.（） C.（） D.（）
（六）面积的问题：各种四边形面积的求法和等积变换
33．如图，E为边CD上一点，的面积为S，则△ABE的面积为（ ）
A、S B、S C、S D、
34．如图，在ABCD中，AD⊥BD，∠A=∠ABC，如果AD=2，
那么ABCD的周长是 ，面积是 ．
35．如图，在矩形ABCD中，过BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN和PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2 (填“>”、“=”或“<”)

36．如图，在中，点P在BC上，PQ∥BD交CD与Q，则图中和△ABP面积相等的三角形有 个，它们分别是: ．
37．如图，E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，
DE交BC于F．求证：
38．如图，点E、F分别在的边DC、CB上，
且AE=AF，DG⊥AF，BH⊥AE，G、H是垂足．
求证：DG=BH．
（七）运动变换的思想在本章中的应用．
39．（希望杯第9届初二第二试）已知ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的值．
40．在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,P是AD边上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF= ．

41．（1）如图41(1)(2)，已知⊿ABD,⊿BCE,⊿ACF是等边三角形，
求证：四边形ADEF是平行四边形.

(2)如图41(3)，已知⊿ABC,以AB、AC为边分别作等边三角形⊿ABD,⊿ACF，再以AD、AF为邻边作平行四边形ADEF，求证：三角形BCE是等边三角形.
（3）如图41(4)，已知⊿ABD,⊿BCE是等边三角形，A,F是CE，EB上一点，且CA=EB，求证：四边形ADFC是平行四边形.
42、（2007浙江台州）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段
相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
43、（2007江苏扬州）如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，边与交于点．
（1）以图中已标字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；
（2）若正方形的边长为，重叠部分（四边形
）的面积为，求旋转的角度．
44．（2007甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．
（1）求证：AE=CG；
（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，
并证明你的猜想．
45．（2007淄博）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是一个正方形？并给出证明．
46.（05，青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别为AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM的中点.
⑴求证：△ABM≌△DCM;
⑵四边形MENF是什么图形？请证明你的结论；
⑶若四边形MENF是正方形，则梯形的高与底边
BC有何数量关系？并请说明理由.
47．（2007四川资阳）如图47(1)，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图47(2)，若四边形PECF绕点C旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请证明之；若不是，请举出反例；
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之.
（八）函数的思想在本章中的运用
48、（2007南充改编）等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o． M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．
（2）设t=10-x,用t表示△AMN的面积．
（3）求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN的形状．

49．（2006泰州）将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点， C在x轴上，OA=6，OC=10.
（1）如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
（2）如图2，在OA′、OC′边上选取适当的点E′、F，将△E′OF沿E′F折叠，使O点落在A′B ′ 边上的D′点，过D ′作D 'G//A′O 交E′F于T点，交OC ′于G点，求证：TG=A ′E′.
（3）在（2）的条件下，设T（x，y），探求：y与x之间的函数关系式.并指出变量x的取值范围.
（4）如图3，如果将矩形OABC变为平行四边形OA＂B＂C＂，使OC＂=10， OC＂边上的高等于6，其他条件均不变，探求：这时T（x，y）的坐标y与 x之间是否仍然满足（3）中所得的函数关系，若满足，请证明之；若不满足，写出你认为正确的函数关系式.
50.（08通州22改编）如图，在中，AB=8 cm，AD=6 cm，
∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2 cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x，
⑴试用含x的代数式表示△CGF的面积；
⑵当GF⊥AD时，求AE的值.

（九）翻折问题（特殊四边形的折叠问题）
51.沿特殊四边形的对角线折叠
（06.浙江嘉兴）如图，矩形纸片ABCD，AB=2， ∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD落在同一平面内），则A、E两点间的距离为____________.
第51题图 第52题图
52.沿特殊四边形的对称轴折叠
如图，已知矩形ABCD的边AB=2，AB≠BC，矩形ABCD的面积为S，
沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________.
53.使特殊四边形的对角顶点重合折叠
（05，山东威海）如图，梯形纸片ABCD， ∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，
BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=___________.
第53题图 第54题图 第55题图
54.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠
如图，折叠矩形的一边CD，使点C落在AB上的点F处，已知AB=10cm， BC=8cm，则EC的长为________.
55.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠
（崇文）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，将梯形对折，使点D、C分别落在AB上的D′、C′处，折痕为EF，若CD=3cm，EF=4cm，则AD′+BC′=________cm.
56.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1)
如图，已知EF为正方形ABCD的对称轴，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点处，则∠DKG=_____.
第56题图 第57题图
57.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2)
如图，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边的中点，将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连结PQ.
(1)求MP的长度; ⑵求证：以PQ为边长的正方形的面积等于.
58.两次不同方式的折叠
（06.淄博市）如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，
BC、BD为折痕，折叠后AB与EB在同一条直线上,
则∠CBD的度数为（ ）
A.大于90° B.等于90° C.小于90° D.不能确定
59.三次不同方式的折叠
（03，山西）如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下:
第一步:先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图①;
第二步:再把B点叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图②;
第三步:沿EB′线折叠得折痕EF，如图④. 利用展开图③探究:
⑴△AEF是什么三角形?证明你的结论;
⑵ 对于任意的矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形? 并证明之.
（十）动手操作实践
60.（2007湖南怀化）如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开可以拼成不同形状的四边形，请画出所有可能四边形并写出的它的名称
61.（05枣庄,9分）如图1,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形.
（1）求出梯形ABCD四个内角的度数;
（2）试探究梯形ABCD四条边之间存在的等量关系,并证明之;
（3）现有图1 中的等腰梯形若干个,利用它们你能拼出一个菱形吗?

62.（06.宁波）如图,剪四刀把等腰直角三角形分成五块,请用这五块拼成一个平行四边形或梯形（请按1：1的比例画出所拼的图形）
第62题图 第63题图
（十一）动点问题
63.如图所示,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动, 点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t表示运动的时间（0≤t≤6）,那么:
（1）当t为何值时,△QAP为等腰三角形?
（2）求四边形QAPC的面积;提出一个与计算结果有关的结论.
64.如图，矩形ABCD的边AC在x轴上，点A在原点，AB=3，AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D的路线运动，当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也停止运动.
（1）求P点从A点运动到D点所需的时间；
（2）设P点运动时间为t（秒）；
①当t=5时，求出点P的坐标；
②若△OAP的面积为S，试求S与t之间的函数关系式.
（并写出相应的自变量t的取值范围）.
（十二）开放探究
65.（2005 资阳）如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图1矩形ABEF即为△ABC的“友好矩形”.显然，当△ABC是钝角三角形时，其“友好矩形′只有一个.
(1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”.
(2)如图2，若△ABC为直角三角形，且∠C=90°，在图2中画出△ABC的所有“友好矩形” ，并比较这些矩形面积的大小.
(3)若△ABC是锐角三角形，且BC>AC>AB，在图3中画出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并证明之.

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