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湖南省2024年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A． B．﹣1﹣（﹣5） C．﹣（﹣） D．﹣2×0
2．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．石墨烯是一种纳米材料，它的理论厚度仅为0.00000000034米，数据0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
6．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
8．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
9．实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
二、填空题：本题共8小题，共24分。
11．某校九（1）班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成下表：则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为 ．
次数 4 5 6 7 8
人数 2 3 2 2 1
12．小师和小滨进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小师出了3次石头，6次剪刀，1次布 ②小滨出了2次石头，4次剪刀，4次布 ③10次中没有平局 ④你不知道她们的出拳顺序．则这次对决中赢者是 ．
13．若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是 ．
14．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ．
15．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，则点A的对应点的坐标为 ．
16．根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品 设原计划平均每天可生产箱药品，则列方程为 ．
17.对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的序号为 ．

A．3 B．4 C．5 D．6
18．如图，在Rt△中， ， 为边上的高，若，，则的长等于__________.
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
20．先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
21．某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校随机抽取部分学生进行了你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）的问卷调查．并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)参加问卷调查的学生人数是__________人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为__________；
(2)若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人；
(3)现从喜好编导表演的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
22．如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，．
（1）求证：为的切线；
（2）若当点为的中点时，的半径为1，求矩形的面积．
23．对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的、两种新型运输车运输土方．已知4辆型运输车与3辆型运输车一次共运输土方64吨，2辆型运输车与4辆型运输车一次共运输土方52吨．
（1）请问一辆型运输车和一辆型运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该运输集团决定派出、两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？
24.矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
（1）如图1，若点恰好在边上．
①求证：△∽△；②求的长；
（2）如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长．
图1 图2
25.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．
（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为 　　；
②函数y＝x2+2x﹣2图象上的“立信点”坐标为 　 　．
若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和
+＝﹣1且求k的值；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．
26.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P是抛物线L上一动点．
①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；
②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标；
（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．中小学教育资源及组卷应用平台
湖南省2024年中考数学模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1．下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A． B．﹣1﹣（﹣5） C．﹣（﹣） D．﹣2×0
【答案】A．
【详解】解：∵ = -1，是负数，∴A符合题意；∵﹣1﹣（﹣5）=4，是正数，∴B不符合题意；
∵﹣（﹣）=，是正数，∴C不符合题意；∵﹣2×0=0，既不是正数，也不是负数，∴D不符合题意；
故选:A．
2．下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C．
【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．
3．石墨烯是一种纳米材料，它的理论厚度仅为0.00000000034米，数据0.00000000034用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【详解】解：，故选：D．
4．下列计算结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【详解】解：A、，故错误，不符合题意；B、，故错误，不符合题意；
C、，故错误，不符合题意；D、，故正确，符合题意；故选：D．
5．已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D．
【详解】解：根据题意得：，∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：D．
6．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A．
【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC= sinαAB=12 sinα（米），故选：A．
7．把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【详解】解①得，解②得，不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，
故选：C．
8．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】D．
【详解】解：由题意可得，黑球的个数为：，故选：D．
9．实数（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数是（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B．
【详解】∵，∴，0，，是有理数.∴无理数有：﹣π，0.1010010001…．共有2个.
故选B．
10．如图，，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【答案】B．
【详解】解：∵ ，∴∠AEC=∠1（两直线平行，内错角相等），∵EC平分∠AED，
∴∠AEC=∠CED=∠1，∵∠1=65°，∴∠CED =∠1=65°，∴∠2=180°-∠CED -∠1=180°-65°-65°=50°．
故选：B．
二、填空题：本题共8小题，共24分。
11．某校九（1）班10名同学进行“引体向上”训练，将他们做的次数进行统计，制成下表：则这10名同学做的次数组成的一组数据中，中位数为 ．
次数 4 5 6 7 8
人数 2 3 2 2 1
【答案】5.5
【详解】解：将这组数据从小到大排列为：4，4，5，5，5，6，6，7，7，8，这组数据共有10个，第5个数是5，第6个数都是6，所以中位数是．故答案为：5.5．
12．小师和小滨进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小师出了3次石头，6次剪刀，1次布 ②小滨出了2次石头，4次剪刀，4次布 ③10次中没有平局 ④你不知道她们的出拳顺序．则这次对决中赢者是 ．
【答案】小师
【详解】解：因为10次对决中没有平局，所以小师6次剪刀只能对应小滨的2次石头和4次布，
所以这6局中小师赢4局，同理，小师3次石头和1次布只能对应小滨4次剪刀，所以这4局中小师赢3局，所以小师共赢了局，小滨赢了3局．故答案为：小师．
13．若一个圆锥的底面圆半径为，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是 ．
【答案】
【详解】解：设圆锥的母线长是，则有，整理得，
解得（不合题意，舍去），，圆锥的母线长是；故答案为：．
14．如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为 ．
【答案】45°
【详解】，，∵，∴，
∴，
故答案为：45°．
15．在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到△，则点A的对应点的坐标为 ．
【答案】（﹣2，1）或（2，﹣1）
【详解】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，得到△ ，A（﹣4，2），
∴点A的对应点的坐标为A（﹣4×，2×）或A（﹣4×（﹣），2×（﹣）），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
16．根据市场需求，某药厂要加速生产一批药品，现在平均每天生产药品比原计划平均每天多生产500箱，现在生产6000箱药品所需时间与原计划生产4500箱药品所需时间相同，那么原计划平均每天生产多少箱药品 设原计划平均每天可生产箱药品，则列方程为 ．
【详解】解：设原计划平均每天可生产箱药品，则实际每天生产箱药品，
原计划生产4500箱所需要的时间为：，现在生产6000箱所需要的时间为：，
由题意得：．
17.对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（m为任意实数），⑥当时，y随x的增大而减小．其中结论正确的序号为 ．

A．3 B．4 C．5 D．6
【详解】解：①由图象可知：，∵对称轴为直线：，∴，∴，故①正确；②∵抛物线与轴有两个交点，∴，∴，故②正确；③∵对称轴为直线，则与的函数值相等，∴当时，，故③错误；④当时，，∴，故④正确；⑤当时，取到最小值，此时，，
而当时，，所以，故，即，故⑤正确，⑥当时，y随的增大而减小，故⑥正确，综上，正确的是①②④⑤⑥．
18．如图，在Rt△中， ， 为边上的高，若，，则的长等于__________.
【详解】解：∵AD＝6，BD＝18，∴AB＝AD+BD＝24．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴AC2＝AD AB＝6×24，∴AC＝12．故答案是：12．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：
【答案】4
【详解】解：．
20．先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】﹣x+3，2
【详解】解：原式＝×= =
==﹣（x－3）=﹣x+3，∵x≠ ±2，∴可取x＝1，则原式＝﹣1+3＝2．
21．某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，学校随机抽取部分学生进行了你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）的问卷调查．并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

(1)参加问卷调查的学生人数是__________人，扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为__________；
(2)若该校共有学生1500名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人；
(3)现从喜好编导表演的甲，乙，丙、丁四名学生中任选两人搭档彩排双人相声，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．
【详解】（1）解：人，∴参加问卷调查的学生人数是240人，
∴扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为，故答案为：240，36；
（2）解：人，∴样本中最喜欢A课程的人数为60人，
∴样本中最喜欢C课程的人数为人，
∴估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有人；
（3）解：用A、B、C、D表示甲、乙、丙、丁四人，列表如下：
A B C D
A （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D）
由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数有2种，
∴恰好甲和丁同学被选到的概率为．
22．（青竹湖）如图，在矩形中，点为边上一点，以点为圆心，为半径的与对角线相交于点，连接，．
（1）求证：为的切线；
（2）若当点为的中点时，的半径为1，求矩形的面积．
【详解】解：证明：（1）连接，
四边形是矩形，，，，
，，为的半径，是的切线；
（2）解：在中，点为的中点，，，，
，在中，，，，，，矩形的面积为．
23．对于企业来说：科学技术永远是第一生产力，在长沙市里程最长、站点最多的地铁6号线建设过程中，某知名运输集团承包了地铁6号线多标段的土方运输任务，该集团为了出色完成承接任务，拟派出该集团自主研发的、两种新型运输车运输土方．已知4辆型运输车与3辆型运输车一次共运输土方64吨，2辆型运输车与4辆型运输车一次共运输土方52吨．
（1）请问一辆型运输车和一辆型运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该运输集团决定派出、两种型号新型运输车共18辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于169吨，且型运输车至少派出4辆，则有哪几种派车方案？
【详解】解：（1）设一辆型运输车一次运土吨，一辆型运输车一次运土吨，
由题意可得：，解得，
答：一辆型运输车一次运土10吨，一辆型运输车一次运土8吨；
（2）设派出型号的新型运输车辆，则型号的新型运输车辆，
由题意可得：，解得，为整数，或14，
有两种派送方案，
方案一：派出型号的新型运输车13辆，型号的新型运输车5辆；
方案二：派出型号的新型运输车14辆，型号的新型运输车4辆．
24.（广益）矩形中，，，将矩形折叠，使点落在点处，折痕为．
（1）如图1，若点恰好在边上．
①求证：△∽△；②求的长；
（2）如图2，若是的中点，的延长线交于点，求的长．
图1 图2
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠BEP＝90°，
由折叠知，∠DPE＝∠BAD＝90°，∴∠BPE+∠CPD＝90°，∴∠BEP＝∠CPD，∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EBP∽△PCD；
②∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝12，由折叠知，PE＝AE，DP＝
AD＝12，在Rt△DPC中，CP＝＝4，∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP2，∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）2，∴AE＝18﹣6；
（2）如图，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x，∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），
∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，
∴＝，∴＝，∴BF＝3．
25.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“立信点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（2022，2022）…，都是“立信点”．
（1）①函数y＝﹣2x+1图象上的“立信点”坐标为 　　；
②函数y＝x2+2x﹣2图象上的“立信点”坐标为 　 　．
若二次函数y＝x2+2（k+2）x+k2的图象上存在A（x1，x1），B（x2，x2）两个“立信点”和
+＝﹣1且求k的值；
（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上有且只有一个“立信点”，令s＝b2+4a，当t≤b≤t+1时，s有最小值t，试求t的值．
【详解】解：（1）①当x＝y时，x＝﹣2x+1，此时坐标为（）；
②当x＝y时，x＝x2+2x﹣2，此时坐标为（﹣2，﹣2）或（1，1）．
故答案为：①（）；②（﹣2，﹣2）或（1，1）．
（2）由题意可知，x1＝，，
∴x1，x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的两个根，由根与系数关系可得，
x1+x2＝﹣（2k+3），x1 x2＝k2，∵+＝﹣1，＝﹣1，∴，解得k＝3或﹣1．
（3）由题意可知，ax2+（b﹣1）x+1＝0，有两个相等的实数根，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0，∴（b﹣1）2＝4a，
∴s＝b2+4a＝b2+（b﹣1）2＝2b2﹣2b+1＝2（b2﹣b+）+＝2（b﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为b＝，当t+1＜时，当b＝t+1时，s有最小值，
∴s＝（t+1）2+t2＝t，方程无解，当t≤≤t+1时，当b＝时，s有最小值，∴t＝；
当t＞时，当b＝t时，s有最小值，∴s＝t2+（t﹣1）2＝t，解得t＝（舍去）或t＝1，
综上，t的值为或1．
26.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）点P是抛物线L上一动点．
①以点P为圆心，PF为半径作⊙P，试判断⊙P与直线l的位置关系，并说明理由；
②若点Q（2，3），当|PQ﹣PF|的值最大时，求点P的坐标；
（3）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切．
【详解】解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2…①；
（2）①点F（0，1），设：点P（m，m2），则PF＝＝m2+1，
而点P到直线l的距离为：m2+1，则⊙P与直线l的位置关系为相切；
②当点P、Q、F三点共线时，|PQ﹣PF|最大，将点FQ的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：
直线FQ的函数表达式为：y＝x+1…②，联立①②并解得：x＝2±2，
故点P的坐标为：（2+2，3+2）或（2﹣2，3﹣2）；
（3）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，
设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），则BC＝2k2+2，
设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切．

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