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【思维培优】二元一次方程组特殊解法 分类练
【题型一】整体思想解二元一次方程组
1．先阅读，再解方程组．
解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，
解得，从而进一步得这种方法被称为“整体代入法”．
请用上述方法解方程组
2．阅读以下材料，解方程组：．
王林在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得③，将③代入②，……
（1）请你替王林补全完整的解题过程．
（2）请你用“整体代入法”解方程组：．
3．请阅读下列材料，解答问题：
材料：解方程组，若设，，则原方程组可变形为，用加减消元法解得，所以，再解这个方程组得．由此可以看出，在上述解方程组过程中，把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，我们把这种解方程组的方法叫换元法．
问题：请你用上述方法解方程组．
【题型二】换元法解二元一次方程组
4．先阅读下列材料；再解决相关问题：
解方程组
解：设，，原方程组可转化为
解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．
（1）如果用换元法解方程组：，可以设______，______，则该方程组可以转化为关于、的方程组：______；
（2）用换元法解方程组：
5．【材料阅读】换元法是数学中很重要，且应用广泛的解题方法，我们通常把未知量称为“元” ．所谓换元法，就是在解题时，把某个式子看成整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元法的实质是问题转化，关键是构造元和设元．
【方法引领】
用换元法解方程组：．
分析：由于方程组中含有式子和，所以可设．
原方程组可化为．
解得 ，即 ．
进而可求得原方程组的解．
……
【问题解决】用换元法解决下列问题：
（1）若关于x，y的方程组的解是，则关于a，b的方程组的解是 ；（直接写答案）
（2）已知方程组，求x，y的值．
6．【知识累计】解方程组
解：设，原方程组可变为
解得：．所以，解得．此种解方程组的方法叫换元法．
【拓展提高】运用上述方法解下列方程组：
【能力运用】已知关于的方程组的解为，
直接写出关于的方程组的解为______．
【题型三】二元一次方程组的整数解
7．求关于的方程的整数解．
8．阅读材料：已知关于，的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（为整数）．问题：求方程得所有正整数解．
解：该方程有一组整数解为，则全部整数解可表示为（为整数）．
∵，∴．
∵为整数，∴或．
∴该方程的正整数解为或．
根据以上解法，回答下列问题：
（1）方程的全部整数解表示为（为整数），则__________；
（2）请你参照上述解题方法，求方程的全部正整数解．
9．阅读材料：
已知关于x，y的二元一次方程有一组整数解，则方程的全部整数解可表示为（t为整数）．问题：求方程的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该问题如下：
解：该方程一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得
因为t为整数，所以t=0或-1．
所以该方程的正整数解为和．
通过你所知晓的知识，请解决以下问题：
（1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则______；
（2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；
（3）若a，b均为正整数，试判断二元一次方程组有几组正整数解？并写出其解．
【题型四】二元一次方程组大数据问题
10．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由，得
，即
．③
，得
．④
，得
，
从而可得
．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
11．解下方程组
（1） （2）
12．解答题：
解方程组时，由于，的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，不仅计算量大，而且易出现运算错误，而采用下面的解法则比较简单：
①②得，所以③，
③①得，
解得，从而，
所以原方程组的解是．
请你运用上述方法解方程组：．
【题型五】二元一次方程组新定义问题
13．对于有理数x，y，定义新运算：x&y＝ax+by，xy＝ax﹣by，其中a，b 是常数．已知1&1＝1，32＝8．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
14．我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．
①，②，③．
（2）若数对是“差积等数对”，求的值．
（3）是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由．
15．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数．已知．
（1）求a，b的值；
（2）若关于x，y的方程组 的解也满足方程，求m的值；
（3）若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．
【题型六】二元一次方程组有解、无解、无穷组解问题
16．k、b为何值时，关于x、y方程组有唯一解？无解？有无数解？
17．当m，n为何值时，方程组
（1）有唯一解； （2）有无数多个解： （3）无解
18．数学乐园：解二元一次方程组，得：，
当时，，同理：；
符号称之为二阶行列式，规定：，
设，，，那么方程组的解就是
（1）求二阶行列式的值；
（2）解不等式：；
（3）用二阶行列式解方程组；
（4）若关于、的二元一次方程组无解，求的值．
参考答案
1．
【分析】将①变形为，再整体代入②中，即可求出y的值．再将y的值代入，即可求出x的值，方程组得解．
解：
由①得，，
代入②得，
解得，
把代入③得，，
解得．
故原方程组的解为．
【点拨】本题考查解二元一次方程组．读懂题意，掌握“整体代入法”的步骤是解题关键．
2．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据阅读材料补全完整的解题过程即可；
（2）整理方程组后，由③得代入④得到关于y的方程，求出y的值，进而求出x的值，即可确定出方程组的解．
（1）解：由①得③，将③代入②，得，
解得：，
把代入①，得，解得，
故原方程组的解是．
（2）解：，整理得，
把③代入④，得，
解得：，
把代入③，得，
解得：，
故原方程组的解是．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握消元的方法：代入消元法与加减消元法是解题的关键．
3．
【分析】根据材料提供的换元法，设，，得到一个关于、的方程组，解出、后得到关于、的方程组，解之可得答案．
解：设，，
则原方程组可变形为，解得：，
∴，解得：，
∴原方程组的解为．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，常用的方法是代入消元法和加减消元法，灵活使用这些方法是解题的关键．
4．（1），；（2）
【分析】（1）观察方程组的特点，可以设，即可解决问题；
（2）设，然后根据题目提供的解方程组的方法解答即可．
（1）解：用换元法解方程组：，可以设，
则该方程组可以转化为关于、的方程组；
故答案为：，；
（2）设，
则原方程组可以转化为关于、的方程组，
解这个方程组，得，
即，
解得．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的求解，正确理解题意、掌握换元法求解的方法是解题的关键．
5．（1）；（2）x=4，y=3．
【分析】（1）根据题意，利用换元法解决此题．
（2）根据题意，利用换元法解决此题．
（1）解：由题意知，a+b=1，a-b=2．
得．
故答案为：
（2）设．
原方程组可化为．
解得．
即．
解得，x=4，y=3．
【点拨】本题主要考查解二元一次方程组，理解阅读材料，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
6．拓展提高：；能力运用：
【分析】本题考查了换元法解方程组，正确理解换元法的意义是解题的关键．
拓展提高：设，，原方程组可变为，求解即可．
能力运用：设，，原方程组可变为，求解即可．
解：拓展提高：设，，原方程组可变为，
解方程组，得，
∴，
解方程组，得．
能力运用：设，，原方程组可变为，
∵关于，的方程组的解为，
∴，
解得，
故答案为：．
7．或或或
【分析】本题考查解二元二次方程和因式分解的应用；
先对方程左边分解因式，再分类讨论求解即可求解．
解：∵，
∴，
∴或或或，
解得：或或或
8．（1）；（2）或或
【分析】（1）把代入，求得，这就是对应的，计算即可．
（2）先求得方程的一组正整数解，仿照阅读提供的解法，计算即可．
解：（1）把代入，
解得，
∴，
故答案为：；
（2）∵是方程的一组正整数解，
∴的全部整数解可表示为（为整数）．
∵，
∴．
∵为整数，
∴或1或2．
∴该方程的正整数解为或或．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，理解题意，掌握解题方法是解题的关键．
9．（1）-1；（2），，；（3）该方程组有3组正整数解，分别为：，，．
【分析】（1）把x=2代入方程3x-5y=11得，求得y的值，即可求得θ的值；
（2）参考小明的解题方法求解即可；
（3）先根据（2）得到关于a、b的二元一次方程，再结合a、b均为正整数确定a、b的值，进而得到方程组的所有解．
（1）解：把x=2代入方程3x-5y=11得，6-5y=11，
解得y=-1，
∵方程3x-5y=11的全部整数解表示为：（t为整数），则θ=-1，
故答案为-1；
（2）解：方程2x+3y=24一组整数解为，则全部整数解可表示为（t为整数）．
因为，解得-1＜t＜3．
因为t为整数，
所以t=0，1，2．
所以方程2x+3y=24的全部正整数解为：，，．
（3）解：由（2）得：9a+2b=24或6a+4b=24或3a+6b=24
∵a、b均为正整数
∴
∴该方程组有3组正整数解，分别为：，，．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解、一元一次不等式的整数解等知识点，理解题意、正常列出方程组和不等式是解答本题的关键．
10．
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组，采用代入消元法或加减消元法，结合题干给出的方法求解即可．
解：解法一：
，得
，即
．③
，得
．
把代入，得
．
所以原方程组的解为
解法二：
，得
，即
，
所以．③
把代入，得
，
解得
．
把代入，得
．
所以原方程组的解为
11．（1）；（2）
【分析】（1）消去y求解即可得到答案；
（2）先根据即可得到x，y的关系，再代入消元求解即可得到答案；
（1）解：得，
，
解得，
将代入①得，
，
解得，
∴原方程组的解为：；
（2）解：得，
，
∴③，
将③代入②得，
，
解得：，
将代入③得，
，
∴原方程组的解为：；
【点拨】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握两种消元法，消元解一元一次方程．
12．
【分析】仿照例子，利用加减消元法可解方程组求解．
解：，
得：，
∴③，
③①得：，
解得：，
将代入③得：，
∴原方程组的解为．
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的解法，解二元一次方程组由代入消元法和加减消元法．
13．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据x+y=5进行求解即可；
（3）可令再根据同解题意可知关于m、n的方程组的解为，则据此求解即可；
（1）解：由题意得：，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又∵关于x，y的方程组的解也满足方程x+y＝5，
∴，
∴
（3）解：∵，
∴可令，
∴，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴关于m、n的方程组的解为，
∴，
解得．
【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．
14．（1）①；②；（2）；（3）存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则运算，理解“和积等数对”和“差积等数对”的定义是解题的关键．
（1）根据题目所给定义进行逐个计算判断即可；
（2）根据定义建立方程，再求解x即可；
（3）根据新定义可得，可用m来表示n，代入方程即可求解m，即可．
（1）解：∵
∴，
∴是“差积等数对”；
∵
∴，
∴是“和积等数对”；
∵
∴既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”；
故答案为：①；②
（2）解：∵数对是“差积等数对”，
∴，
解得：；
（3）解：存在，
∵数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，
∴，
∴，
即，
把代入得：，
解得：，
∴．
即存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”．
15．（1）；（2）m；（3）
【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；
（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；
（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．
（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：依题意得，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
（3）解：由题意得： 方程组的解为，
∴由方程组得方程组，
∴方程组的解满足，
解得．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解、定义新运算、“整体思想”等知识；熟练掌握“整体思想”，找出等量关系列出方程组是解题的关键．
16．当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解．
【分析】两式作差，得到关于x的方程，确定此方程解得情况即可．
解：
可得：，化简可得：
（1）当时，即，方程有唯一解，即方程组有唯一解；
（2）当，时，即，，方程无解，即方程组无解；
（3）当，时，即，，方程有无数解，即方程组有无数解；
综上，当时，方程组有唯一解；当，时，方程组无解；当，时，方程组有无数解．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的求解，一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解方法．
17．（1）；（2）；（3）
【分析】先把①变形得到，代入②使方程变为只含y的一元一次方程，根据y的系数讨论方程组（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解时m，n的取值即可．
解：解方程组
由①变形得到代入②得到，
∴，
（1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解
将此y的值代入中，
得：x＝，因而原方程组有唯一一组解；
（2）当＝0且＝0时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解；
（3）当＝0且≠0时，即时，方程无解，因此原方程组无解．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
18．（1）的值是；（2）不等式的解集为；（3）；（4）
【分析】（1）根据，即可求出；
（2）根据，得，解出，即可；
（3）根据，，，那么方程组的解就是，即可求出的解；
（4）根据无解，得，即可求出的值．
解：（1）∵
∴
∴的值是．
（2）∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴的解集为．
（3）∵方程组
∴方程组中，，，，，，
∴
，
∴方程组的解为：．
（4）∵
∴方程组中，，，，，，
∴
∵无解
∴
∴
解得．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是理解题意新定义算法，根据二阶行列式计算．

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