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专题01 集合与逻辑用语（选题题8种考法）
考法一 数集的运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则.故选：A.
【例1-2】（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，，
根据交集的运算可知，.故选：A
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为全集，集合，所以，
又，所以，故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，，所以,
所以.故选：D.
3．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；故选：A.
考法二 点集运算
【例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，解得：或，故.故选：A
【变式】
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．［1，2]
【答案】C
【解析】.故选:C.
2.（2022·河南省直辖县级单位）已知集合，，则（ ）
A． B． C．M D．N
【答案】D
【解析】，
因为当时，，所以函数过点，所以，所以.
故选：D.
3（2023北京）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.
考法三 （真）子集个数
【例3-1】（2023·河南·校联考二模）集合的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
集合的子集个数为.故选：D.
【例3-2】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件的集合有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【解析】∵，
∴或或或，共4个．故选：C．
【变式】
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】C
【解析】由得，所以，
解不等式得，
所以，所以的子集个数为.
故选：C
2．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，
有，则结合诱导公式易知，
可取的值是4或5.
故选：B
3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立可得，因为，解得，
所以，方程组的解为或，
所以，，
所以，集合的真子集个数为.故选：C.
考法四 集合求参
【例4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合，若 ，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【答案】B
【解析】由集合，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足 ；
当时，解得，要使得 ，则满足，可得，
所以实数的值为或.
故选：B.
【例4-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，
因为，所以，故．
故选：C．
【例4-3】（2023·江苏镇江）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当时,即,时成立;
当时,满足,解得;
综上所述:.
故选:C.
【例4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【答案】A
【解析】时，与圆相交有两个交点
时，∴直线与圆相交，有两个交点故选：A
【变式】
1（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）集合，，且，实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
【答案】D
【解析】由集合，且，
又由，可得，
当时，此时集合，满足；
当时，可得，要使得，则满足或，解得或，
综上可得，实数的值为或或.
故选：D.
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知集合，，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】或，
因为，所以，
①当时，，满足题意；
②当时，，
要使，则，解得，
综上所述，实数m的取值范围是．
故选：B.
3．（2023·河北·模拟预测）已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为或，所以或，由，
所以当时，不成立，所以集合为空集，满足题意，
当时，，由，所以，
所以有，综上所述实数的取值范围是，故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】B
【解析】因为，所以直线与直线平行，
所以所以. 经检验，当时，两直线平行.故选：B.
考法五 韦恩图
【例5】（2023·福建龙岩·统考二模）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，即，
又，故阴影部分为.故选：D
【变式】
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由Ven图可知，阴影部分表示为，
因为，或，所以，
所以，故选：C.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设得，则，
由图知：阴影部分为.
故选：D
3．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】如图，

对于A，，则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，，故，故C正确；
对于D，，故D错误，故选：AC．
考法六 充分、必要条件
【例6-1】（2022·天津·统考高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当为整数时，必为整数；
当为整数时，比一定为整数，
例如当时，.
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
【例6-2】（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
考法七 含有一个量词命题
【例7-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
故“，”的否定是“，”，
故选：B．
【例7-2】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设命题为真，即在上恒成立，所以，
则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，故选：A．
【例7-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若“，使成立”的否定是：
“，使”为真命题，
即；令，
由，得，所以，
所以，
故选：C.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知命题p：“，”，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“，”的否定是“，”．
故选：C．
2.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，所以，时，，
因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是故选：C
3.（2023·甘肃兰州·校考一模）若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－1，1) D．(－1，1]
【答案】A
【解析】命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的否定是：对任意的，.
若对任意的，为真命题，则：
当时，，显然不是恒成立，故舍去；
当时，，且，解得.综上所述，.
又因为原命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，故任意的，是假命题.
故.故选：.
考法八 新定义集合
【例8】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，，，，一共4种．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故选：C．
【变式】
1．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【答案】A
【解析】由题设知，所有元素之和为，故选：A.
2．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，
故选：D.
3．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知，又，
所以．故选：A
4．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【解析】对于条件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，
又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，例如.故选：B.
一．单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，而，所以.故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】方法一：因为，而，所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．
3．（2022·天津·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，故，故选：A.
4．（2022·全国·统考高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以．故选：A.
5．（2022·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，所以．故选：A.
6．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知,对比选项知，正确,错误故选:
7．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
8．（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故，
故选：D
9．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
10．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】全集，集合，
或，
所以，
则．
故选：B．
11．（2023·河南·模拟预测）已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合中恰有两个元素，得，解得．故选：B．
12．（2023·辽宁·校联考三模）若为全体实数，集合．集合．则的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
【答案】D
【解析】由集合得且，
由集合可得或，
故子集个数为．
故选:．
13．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知集合，.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得：或，即，
，，，即实数的取值范围为.
故选：B.
14．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合，若，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】集合，则，且，解得，且，
由，得，或，
解，得或（舍去）；解，得（舍去）或（舍去），
所以.
故选：A
15．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知集合，，若，则实数b的值为（ ）
A．1 B．0或1 C．2 D．1或2
【答案】D
【解析】由中不等式解得：，因为，所以，，
，，且，或2，故选：D．
16．（2023·山东德州·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
因为，所以，解得.故选：B.
17．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵，则，即，
∴a的取值范围
由题意可得：选项中的取值范围对应的集合应为的真子集，
结合选项可知B对应的集合为为的真子集，其它都不符合，
∴符合的只有B，
故选：B.
18．（2023·四川宜宾·统考二模）命题：存在唯一，使得是真命题，则实数的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】不妨设，显然的定义域为关于原点对称，
且有，
所以函数是上的偶函数，
由题意可知函数在上有且仅有一个零点，
则只能，
否则若则由偶函数的性质可知，此时与题意矛盾，
所以，解得，
此时有，且当且仅当时，，故符合题意.
故选：B.
19．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）不等式“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，解得，，解得，
因为，但，
故“”是“”成立的充分不必要条件.
故选：A
20．（2023·河南·模拟预测）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，恒成立，
当时，则，解得，
综上所述，不等式恒成立时，，
所以选项中“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是.
故选：D.
21．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】集合B中圆的半径为1，圆心到集合A中直线的距离，
所以直线与圆相交，有两个交点，
所以集合中有两个元素，其子集个数为4.
故选：A.
22．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
【答案】A
【解析】方法一：联立 ，解得 或，
,
集合的真子集的个数为.
方法二：在同一直角坐标系中画出函数 以及的图象，由图象可知两图形有2个交点，所以的元素个数为2，进而真子集的个数为.

故选：A.
23．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且,,则称a为集合A的孤立元素．若集合,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合的三元子集个数为，
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为
，一共35种，
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故选：C．
24（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【答案】D
【解析】若，则，
故，即．
又，故或，充分性不成立；
若，即，所以，
所以，所以必要性成立．
故选：D．
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】向量，由向量的夹角为钝角，
即有，解得且，
即“”不能推出“且”即“向量的夹角为钝角”；
“向量的夹角为钝角”即“且”能推出“”；
故“”是“且”的必要不充分条件，
即“”是“向量的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
26．（2023·河南·模拟预测）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】二次函数图象的对称轴为，
若函数在区间上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，即，
故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件．
故选：A．
27．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
28．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集，，所以，．
故选：A．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故选：B
30．（2023·湖南永州·统考一模）“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意，
在中，
当函数在上单调递减时，，
在中，函数是偶函数，
∴，解得：，
∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
二、多选题
31．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．，
B．，
C．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为
D．若，，使得，则实数的最小值为
【答案】BD
【解析】对于A，因为，，开口向上，，，故A错误；
对于B，令，则，即为，而在上单调递减，故，故B正确；
对于C，显然，且，解得，故C错误；
对于D，当时，，当时，，故，所以，故D正确.
故选：BD．
32．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据“影子关系”集合的定义，
可知，，为“影子关系”集合，
由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
33．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】函数的定义域为，，
即函数是上的偶函数，当时，，
求导得，则函数在上单调递增，
对于A，取，满足，而，A不是；
对于B，取，满足，而，B不是；
对于CD，，于是，由函数是偶函数得，CD是.
故选：CD
34．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）以下说法正确的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】CD
【解析】A选项，，解得，
所以“”是“”的充分不必要条件，A选项错误.
B选项，因为由，得，即，
命题“，”的否定是“，”，所以B选项错误.
C选项，；
所以，所以“”是“”的充分不必要条件，
所以C选项正确.
D选项，由于，所以“”是“”的必要不充分条件，
所以D选项正确.
故选：CD
35．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】AD
【解析】对A，，得到：或，由可以得到，但是，若，显然成立，但不成立，故A正确；
由全称量词命题的否定易知B错误；
对C，由“且”，显然可以得出“”，故C错误；
对D，且，则由无法得到，但是由可以得到，故D正确.
故选：AD.
36．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知条件p：；条件q：.若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由，得或，
由，得.
因为是的必要不充分条件，可知或，解得或.
故选：BC.
37．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A． B． C．- D．0
【答案】BCD
【解析】设，,
因为p是q的必要条件，所以，
当时，由无解可得，符合题意；
当时，或，当时，由解得，
当时，由解得.
综上，的取值为0，，.
故选：BCD
38．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直线，有 D．存在直线，有
【答案】AC
【解析】A：若，则直线可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在平面，有，所以本选项正确；
B：若，则，即垂直于同一平面的两条直线平行；若，则存在平面，有，所以本选项不正确；
C：若，则直线可以平行，也可以相交，还可以异面；若，则存在直线，有，所以本选项正确；
D：若，则，即平行于同一直线的两直线平行，若，则存在直线，有，所以本选项不正确，
故选：AC
39.（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若，则
D．的最大值为
【答案】AD
【解析】对于A，“若，则”是假命题，因为，而；“若，则”是假命题，
因为，而，即“”是“”的既不充分也不必要条件，A正确；
对于B，命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此它的否定是“，”，B错误；
对于C，当时，成立，因此成立，不一定有，C错误；
对于D，函数的定义域为，，
而函数在上单调递增，因此当时，，D正确.
故选：AD
40．（2023·山东济南·济南外国语学校校考模拟预测）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，集合都是单元素集，而元素与不同，A不是；
对于B，集合的元素为有序实数对，而集合的元素为实数，B不是；
对于C，集合都含有两个元素4，5，只是排列顺序不同，而集合的元素具有无序性，C是；
对于D，集合有两个元素1，2，而集合只有一个元素，D不是.
故选：ABD
三、填空题
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合有15个真子集，则的一个值为 .
【答案】（或，或，填其中一个即可）
【解析】由集合有15个真子集，
可得集合中含有4个元素，则有4个因数，则除1和它本身外，还有2个因数，
所以的值可以为，故的一个值为6（或8，或10）.
故答案为：（或，或，填其中一个即可）.
42．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由解得，所以，
由于，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
43．（2023·北京东城·统考二模）若，则实数的一个取值为 .
【答案】（答案不唯一）
【解析】因为，
且当时，即时，，
当时，即时，才有可能使得，
当的两根刚好是时，即，此时的解集为刚好满足，
所以，所以实数的一个取值可以为.
故答案为:
44．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列的前n项和为，且，则“”是“”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）
【答案】充分不必要
【解析】当时，，
当时，，
当时，，
因为满足上式，
所以，
所以，，
所以成立，
由可得，
，
，
所以此时满足，但不一定，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要
45．（2023·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是 .
【答案】（只需满足即可）
【解析】由可得，则，
所以，，解得，
因为“”是“”的一个充分条件，故的一个可能取值为.
故答案为：（只需满足即可）.
46．（2023·全国·模拟预测）若“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数对一切恒有意义，
即在上恒成立，
即恒成立．
由“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，
故在上恒成立，
令，为关于b的一次函数，
要使在上恒成立，只需，
即，注意到，
解得．
所以a的取值范围是.
故答案为：.
47．（2023·上海松江·统考一模）已知集合.设函数的值域为，若，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由得，即，所以，解得.所以.
因为，所以，所以，
因为，所以解得，所以实数的取值范围为.故答案为：.
48．（2023·重庆·校联考三模）已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 .
【答案】8
【解析】周期为4，当时，；当时，；
当时，；当时，，所以集合的子集个数为个.
故答案为：8个.
49．（2023·陕西渭南·统考一模）设三元集合，则 .
【答案】1
【解析】依题意，，
所以，所以，，
此时两个集合都是，符合题意.
所以.
故答案为：
50．（2023·江西九江·校考模拟预测）满足条件的集合M的个数为 ．
【答案】6
【解析】因为，
所以，因此，或，或，或，或，或，共6个，
故答案为：6专题01 集合与逻辑用语（选题题8种考法）
考法一 数集的运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
考法二 点集运算
【例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．［1，2]
2.（2022·河南省直辖县级单位）已知集合，，则（ ）
A． B． C．M D．N
3（2023北京）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
考法三 （真）子集个数
【例3-1】（2023·河南·校联考二模）集合的子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件的集合有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【变式】
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
2．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ）
A． B． C． D．
考法四 集合求参
【例4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合，若 ，则实数（ ）
A．或1 B．0或1 C．1 D．
【例4-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（2023·江苏镇江）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．无法确定
【变式】
1（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）集合，，且，实数的值为（ ）
A． B． C．或 D．或或
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知集合，，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北·模拟预测）已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（ ）
A．-3 B． C． D．3
考法五 韦恩图
【例5】（2023·福建龙岩·统考二模）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A． B．
C． D．
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A． B． C． D．
考法六 充分、必要条件
【例6-1】（2022·天津·统考高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例6-2】（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
考法七 含有一个量词命题
【例7-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例7-2】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例7-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知命题p：“，”，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·甘肃兰州·校考一模）若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－1，1) D．(－1，1]
考法八 新定义集合
【例8】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
2．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
一．单选题
1．（2023·天津·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．2
3．（2022·天津·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·统考高考真题）集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·北京·统考高考真题）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·全国·统考高考真题）若集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
10．（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设全集，集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·河南·模拟预测）已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·辽宁·校联考三模）若为全体实数，集合．集合．则的子集个数为（ ）
A．5 B．6 C．16 D．32
13．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知集合，.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2023·河南·校联考模拟预测）设集合，若，则实数（ ）
A． B． C．或 D．或
15．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）已知集合，，若，则实数b的值为（ ）
A．1 B．0或1 C．2 D．1或2
16．（2023·山东德州·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·福建宁德·福鼎市第一中学校考模拟预测）命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023·四川宜宾·统考二模）命题：存在唯一，使得是真命题，则实数的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
19．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）不等式“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2023·河南·模拟预测）“不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
22．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．7 C．15 D．31
23．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且,,则称a为集合A的孤立元素．若集合,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A． B． C． D．
24（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
25．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）若向量，则“”是“向量的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．（2023·河南·模拟预测）“”是“函数在区间上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
27．（2023·全国·统考高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
28．（2023·全国·统考高考真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·全国·统考高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
30．（2023·湖南永州·统考一模）“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
31．（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）下列命题正确的是（ ）
A．，
B．，
C．若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为
D．若，，使得，则实数的最小值为
32．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． B． C． D．
33．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数，设，则成立的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
34．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）以下说法正确的有（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的充分不必要条件
D．设，，则“”是“”的必要不充分条件
35．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）下面命题正确的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“若，则”的否定是“存在，”
C．设，则“且”是“”的必要不充分条件
D．设，则“”是“”的必要不充分条件
36．（2023·海南省直辖县级单位·嘉积中学校考模拟预测）已知条件p：；条件q：.若p是q的必要条件，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C． D．
37．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（ ）
A． B． C．- D．0
38．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知表示空间内两条不同的直线，则使成立的必要不充分条件是（ ）
A．存在平面，有 B．存在平面，有
C．存在直线，有 D．存在直线，有
39.（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的既不充分也不必要条件
B．命题“，”的否定是“，”
C．若，则
D．的最大值为
40．（2023·山东济南·济南外国语学校校考模拟预测）下列各组集合不表示同一集合的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
41．（2023·河南·校联考模拟预测）已知集合有15个真子集，则的一个值为 .
42．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为 .
43．（2023·北京东城·统考二模）若，则实数的一个取值为 .
44．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）数列的前n项和为，且，则“”是“”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中的一种）
45．（2023·山东潍坊·统考二模）若“”是“”的一个充分条件，则的一个可能值是 .
46．（2023·全国·模拟预测）若“”是“函数对一切恒有意义”的充分条件，则a的取值范围是 ．
47．（2023·上海松江·统考一模）已知集合.设函数的值域为，若，则实数的取值范围为
48．（2023·重庆·校联考三模）已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 .
49．（2023·陕西渭南·统考一模）设三元集合，则 .
50．（2023·江西九江·校考模拟预测）满足条件的集合M的个数为 ．

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