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第二章 投影基础
第三节 体表面上点、直线、平面的投影
章节简介
能力目标
本节主要介绍形体表面的点、线、面这三种几何元素的空间位置状态及投影特性。
1、掌握点、线、面的投影规律及基本作图方法。
2、掌握点的相互位置关系，直线和平面的投影特征，学会根据投影图正确判断识读点、线、面的投影图，并判断其空间位置状态。
面
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素，掌握其投影规律，是掌握复杂形体投影规律的基础。
B
C
D
A
线
点
一、 点的投影 1、点的投影规律
2、点的相互位置关系
二、 直线的投影
1、直线的投影特性
2、各种位置直线及其投影特征
三、平面的投影 1、平面的投影特性
2、各种位置平面及其投影特征
1、点的投影规律
如图所示，请把立体图中A、B两点在投影图中的位置标出来。
A
B
a’
a”
a
b’
b”
b
Α—空间点A；
a —点A的水平(H)投影;
a′ —点A的正面(V)投影;
a″ —点A的侧面(W)投影。
思考： 1、如何在三面投影图中正确表达点的投影？ 2、点的投影规律是怎样的？
空间点的位置和直角坐标
空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用下列的书写形式：A(x,y,z)。
点到各投影面的距离，为相应的坐标数值X，Y，Z 。
X ——点到W面的距离
Y ——点到V面的距离
Z ——点到H面的距离
1、点的投影规律
a a⊥OX轴; a a ⊥OZ轴;
a到OX轴的距离= a 到OZ轴的距离
Aa′=aax= a az=ay0=yA——A点到V面的距离
Aa =a ax= a ay=az0=zA——A点到H面的距离
Aa″=aay= a az=ax0=xA——A点到W面的距离
X
V
Y
O
W
Z
a
a
Y
a
Z
a
X
a″
a′
H
ZA
YA
XA
A
1、点的投影规律
●
●
a
a
ax
例1：已知点的两个投影，求第三投影。
●
a
●
●
a
a
ax
az
az
解法一:
解法二:
a
●
通过作45°线使a az=aax
用圆规直接量取a az=aax
例2:已知A点的坐标值A(12，10，15)，求作A点的
三面投影图。
作投影轴；
量取：
Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等点 ；
步骤:
a
a
''
a
'
O
X
Y
W
H
Y
Z
a
Z
15
YW
a
YH
a
10
a
X
12
过ax、az、aYH、aYW等点分别作所在轴的垂线，交点a、a′、a″既为所求。
点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。
x 坐标大的在左；
y 坐标大的在前；
z 坐标大的在上。
判断方法：
B点在A点的
左、下、前方。
上
下
后
左
右
前
2、两点的相互位置关系
当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。
重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，以示区别。
两点重影
( )
H面重影，被挡住的投影加( )
例3：判断两点的相对位置
( )
a'
a"
a
b'
b
b"
c'
c
c"
XB小于XA；
YB大于YA；
ZB大于ZA。
点B在点A的
右方
下方
前方。
点C在点A的
正左方，因为：
XC大于XA；
YC=YA；ZC=ZA。
称点A、点C为对 W 面的重影点
两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同面投影。
1、直线的投影特性
直线对一个投影面的投影特性
A
M
B
●
a≡b≡m
●
●
●
直线垂直于投影面
投影重合为一点
积　聚　性
A
B
●
●
●
●
a
b
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB 实形性
●
●
A
B
●
●
a
b
α
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab=ABcosα类似性
直线投影的基本特性
一般情况下， 直线的投影仍然为直线，特殊情况为一个点。
a
a
a
b
b
b
●
●
●
●
●
●
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
2、各种空间位置直线及其投影特征
投影面平行线
平行于某一投影面而
与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
如图所示，请把立体图中的直线在投影图中的位置标出来。
A
B
C
D
E
F
a’(b’)
a
b
b”
a”
c’
d’
c(d)
e’
f’
e
f
e“(f”)
c”
d”
AB—— 正垂线
CD—— 铅垂线
EF—— 侧垂线
思考： 1、如何在三面投影图中正确表达直线的投影？ 2、各种直线的投影特征是怎样的？
投影面垂直线
投影特性：
H面投影积聚成一点；
V、W面投影反映实长，即a′b′=a″b″=AB；V、W面投影，分别垂直于H面的两面根轴，即： a′b′⊥ox轴 a″b″ ⊥oyw轴 。
对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。
铅垂线投影特征:
b″
a″
a
(b)
b′
a′
Y
O
Z
Y
H
X
W
投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
2.另外两个投影面上，投影反映线段实长。
且垂直于相应的投影轴。
1.在其垂直的投影面上，投影积聚成一点。
投影特性:
●
c (d )
c
d
d
c
●
a
b
a(b)
a
b
●
e
f
e
f
e (f )
积聚为点
积聚为点
积聚为点
如图所示，请把立体图中的直线在投影图中的位置标出来。
A
B
C
D
E
F
a
b
a’
b’
b”
a”
c
d
c’
d’
d”
c”
e
f
e’
f’
e”
f”
AB—— 正平线
CD—— 水平线
EF—— 侧平线
投影面平行线
投影特性：
1. 水平线的H面投影反映线段实长。即：ab=AB;
水平线的V、W面投影分别平行于H面的两根轴。
即 a′b′∥ox轴，a″b″∥OYW轴；
3. 水平线的H面投影与OX轴夹角反映该直线对V面的倾角β；与OYH轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。
水平线的投影特征：
对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。
Y
O
W
Y
H
Z
X
a′
b′
a
b
a″
b″
b
a
a
b
a
b
b
a
a
b
b
a
投影面平行线
1. 在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线
侧平线
正平线
γ
投 影 特 性：
与H面的夹角:α 与V面的角:β 与W面的夹角:γ
实长
实长
实长
β
γ
α
α
β
b
a
a
a
b
b
投影特性：
三个投影都缩短了。即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
一般位置直线
3、直线投影图的识读
方法： 1、有一个投影为点的直线是投影面垂直线；
2、有两个投影都平行于投影轴的直线是投影面垂直线；
3、有一个投影平行于投影轴，另一个倾斜于投影轴的直线是投影面平行线；
4、有两个投影都倾斜于投影轴的直线是一般位置直线。
水平线
侧平线
例4：判断直线的空间位置
铅垂线
s
●
a
●
b
●
a
●
b
●
s
●
a
●
b
●
●
a
●
a
●
b
●
b
●
s
●
s
不在同一直线上的三个点
直线及线外一点
两平行直线
两相交直线
平面图形
平面的表示法
s
●
a
●
b
●
s
●
a
●
b
●
●
a
●
a
●
b
●
b
●
s
●
s
c
●
d
●
●
a
●
a
●
b
●
b
●
s
●
s
●
a
●
a
●
b
●
b
c
●
●
c
●
d
●
d
●
a
●
a
●
b
●
b
●
s
●
s
平行
垂直
倾斜
投 影 特 性
平面平行投影面-----投影就把实形现
平面垂直投影面-----投影积聚成直线
平面倾斜投影面-----投影类似原平面
实形性
类似性
积聚性
平面对一个投影面的投影特性
1、平面的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面
与三个投影面都倾斜
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
2、各种空间位置平面及其投影特征
如图所示，请把立体图中的平面在投影图中的位置标出来。
A
B
C
a'
a
a"
b
b'
b"
c"
c
c'
A——正垂面
B——铅垂面 C——侧垂面
思考： 1、如何在三面投影图中正确表达平面的投影？ 2、平面的投影特征是怎样的？
投影面垂直面的投影特性
铅垂面Ｐ
铅垂面Ｐ的三面投影
p
p″
p′
β
γ
投影特征：
1、H面投影积聚成一条直线，并反映对V面，W面的倾角。
2、V面和W面投影为类似形。
同样可以分析得出正垂面，侧垂面的投影特征。
投影面垂直面的投影特征
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
γ
β
γ
α
α
β
积聚性
积聚性
积聚性
类似性
类似性
类似性
铅垂面
正垂面
侧垂面
如图所示，请把立体图中的平面在投影图中的位置标出来。
a’
a
a”
b
b’
b”
A
B
C
c’
c
c”
A——正平面
B——水平面 C——侧平面
水平面Q
q
Ｑ
q″
q′
q′
q
q″
水平面Q的三面投影
1、H面投影反映实形；
2、V面和W面投影积聚成直线，并分别平行于H面的两根轴：V面投影//OX轴，W面投影//OY轴。
投影特征：
同样可以分析的出正平面和侧平面的投影特征
a
b
c
a
b
c
a
b
c
投影特性：
1、在它所平行的投影面上的投影反映实形。
2、另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。
a'
b'
c'
a
b
c
a"
c"
b"
a"
b"
c"
a'
b'
c'
a
b
c
实形
实形
实形
积聚性
积聚性
积聚性
投影面平行面的投影特征
水平面
正平面
侧平面
c
b
a
a′
b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
一般位置平面的投影
new
Ｏ
YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
一般位置平面的投影
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
投影为小于三角形实形的类似形
new
投影特征：
平面投影图的识读方法：
1、有一个投影为直线且平行于投影轴的平面是投影面平行面；
2、只有一个投影为斜直线的平面是投影面垂直面；
3、有两个投影都是平面图形的投影面是一般位置平面或投影面垂直面。
4、只有一面投影是平面图形的是投影面平行面。

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