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变力做功的计算
功是表示力在空间上的累积作用效果的物理量，被定义为力、物体的位移、力的方向与物体位移方向间夹角余弦三者的积。
如何计算变力的功？
1. 微元分析，化“变”为“恒”，运用公式 计算
微
元
分
析
所谓微元分析，就是将变力做功的空间（位移）无限划分为相等的小段，这样，在每个小段里变力便可看作恒力，每个小段里的功可由公式计算，整个过程中变力的功就是各小段里“恒力”功的总和，即
1
用水平拉力拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知滑块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。求此过程中摩擦力所做的功。
例1
由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用公式求解。但是我们可以把圆周分成无数微元段，如图2所示，每一小段近似为直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得整个过程中摩擦力的功。
例1——分析与求解
把圆轨道分成无穷多个微元段、……，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，， ， ，…… 摩擦力在一周内所做的功
例1——分析与求解
如何计算变力的功？
1. 微元分析，化“变”为“恒”，运用公式 计算
2. 转换研究对象，化“变”为“恒”，运用公式 计算
转
换
研
究
对
象
牵引运动问题中，在一些特定条件下，可以找到与变力功相等的恒力的功，这样，就可将计算变力的功转化为计算恒力的功，运用公式计算。
2
如图3所示，用恒力作用在细绳一端，通过光滑定滑轮把静止在水平面的物体从位置拉到位置，物体的质量为，定滑轮距水平面的高度为，物体在水平面上位置、时细绳与水平方向的夹角分别为、。求拉动过程中拉力对物体做的功。
例2
拉动物体过程中，人作用在细绳一端的拉力大小、方向均不变，由于定滑轮不改变力的大小，因此，作用在物体上的拉力大小亦保持不变。拉动过程中，物体在水平方向发生位移，作用在物体上的拉力的方向与位移方向间的夹角在发生变化，即拉动过中，作用在物体上的拉力是变力，若以物体为研究对象，无法用公式
由于题中的滑轮是光滑的，因此，拉力对物体做的功等于人对细绳一端做的功，由于作用在细绳一端的力是恒力，其功可用公式 求解。
例2——分析与求解
以细绳被拉一端为研究对象，则物体被从A拉至B过程中，细绳被拉端的位移大小为，方向竖直向下，与方向一致，故人对细绳被拉端做的功为，由于滑轮是光滑的，所以，拉力对物体做的功与拉力（人）对细绳被拉端做的功相等，也是。
例2——分析与求解
如何计算变力的功？
1. 微元分析，化“变”为“恒”，运用公式 计算
2. 转换研究对象，化“变”为“恒”，运用公式 计算
3. 巧用“面积”，运用图像求解
巧
用
﹃
面
积
﹄
由 可知，当力的方向与位移方向一致（）时，。在-图像中，功可以用图线与坐标轴所围成的图形的面积来表示。因此，可建立图像，通过计算“面积”求解变力的功。
3
一辆汽车质量为1×105 kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。牵引力的大小与车前进的距离是线性关系，且，当该车前进100 m时，牵引力做了多少功？
例3
由题知，阻力。牵引力为。作出-图像如图4所示，图中梯形OABD的面积表示牵引力的功，所以：。
例3——分析与求解
如何计算变力的功？
1. 微元分析，化“变”为“恒”，运用公式 计算
2. 转换研究对象，化“变”为“恒”，运用公式 计算
3. 巧用“面积”，运用图像求解
4. 等量代换，运用动能定理求解
等
量
代
换
由动能定理知，作用在物体上的外力的功的代数和等于物体动能的增量。这些外力中，有些是恒力，有些是变力。那么，通过计算物体动能的变化量，也就可求得变力的功。
4
如图5所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5 m，速度为6 m/s。若物体的质量为1 kg。则下滑过程中物体克服阻力所做的功为多少？
例4
物体从A运动到B的过程中，所受的阻力是变力，不能用公式 计算其功。对物体的这一运动过程运用动能定理有：，即，代入已知数据解得：。即物体克服阻力做的功为32 。
例4——分析与求解
如何计算变力的功？
1. 微元分析，化“变”为“恒”，运用公式 计算
2. 转换研究对象，化“变”为“恒”，运用公式 计算
3. 巧用“面积”，运用图像求解
4. 等量代换，运用动能定理求解
5. 寻找守恒量，运用守恒定律求解
寻
找
守
恒
量
寻找守恒量是求解变力做功的重要途径，如利用机械能守恒定律、能量守恒定律等。
5
如图6所示，质量的小球系在轻细橡皮条一端，另一端固定在悬点O处。将橡皮条拉直至水平位置OA处（橡皮条无形变）然后将小球从A处由静止释放，小球到达O点正下方处的B点时的速度为。求小球从A运动到B的过程中橡皮条的弹力对小球所做的功。取。
例5
取小球、橡皮条和地球组成的系统为研究对象，在小球从A运动到B的过程中，只有系统内的重力和弹力做功，机械能守恒。
取过B点的水平面为零重力势能参考平面，橡皮条为原长时的弹性势能为零。设在B时橡皮条的弹性势能为，由机械能守恒定律得：，代入已知数据解得，小球由A运动至B过程中，橡皮条的弹性势能增加了。故，橡皮条的弹力对小球做的功是：－6 J。
例5——分析与求解
如何计算变力的功？
1. 微元分析，化“变”为“恒”，运用公式 计算
2. 转换研究对象，化“变”为“恒”，运用公式 计算
3. 巧用“面积”，运用图像求解
4. 等量代换，运用动能定理求解
5. 寻找守恒量，运用守恒定律求解
小结
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