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第四章 综合指标
第一节　 总量指标
第二节 相对指标
第三节 平均指标
第四节 标志变异指标
第四章
学习目标
了解总量指标、 相对指标、 平均指标、 标志变异指标的意义和区别
掌握总量指标、 相对指标、 平均指标、 标志变异指标的计算和应用
第四章
统计研究离不开各种指标, 因此, 有人把统计指标称作统计研究的语言。 常见常用的统计指标有总量指标、 相对指标、 平均指标与标志变异指标, 这些指标从不同的角度综合反映客观现象的特征, 被统称为综合指标, 用这些指标分析现象的特征、 认识现象的本质称作综合指标法。 在这些指标中最基本的是总量指标。
第三节 平均指标
一、 平均指标概述
1. 平均指标的概念
平均指标是反映同质总体内各单位某一数量标志在一定条件下所达到的一般水平的综合指标, 又称平均数。
2. 平均指标的特点
平均指标有两个主要特点:
第一, 平均指标是一个抽象化的数值, 反映现象的集中趋势。 平均指标把总体各单位的差异通过计算给抹平了, 抽象化为反映总体特征的综合性数值。
第四章
2. 平均指标的特点
第二, 平均指标是一个代表值, 它代表大多数总体单位某一标志值达到或接近的水平。 平均指标究竟有无代表性以及代表性的大小主要取决于总体内部的差异程度, 差异大, 代表性就相对比较弱, 差异小, 代表性就相对强一些; 另外与计算方法也有一定的关系, 为了增强其代表性, 应该根据具体情况选择合适的方法来计算平均数。
3. 平均指标的作用
第一, 平均指标可用于同类现象在不同空间条件下的对比。 第二, 平均指标可用于分析研究同一现象在不同时间上发展变化的趋势。第三, 平均指标可以作为评判事物和经济活动的参考标准。第四, 平均指标可以分析现象之间的依存关系。
4. 平均指标的种类
常用的平均指标有算术平均数 (包括简单式、 加权式、 调和式)、 位置平均数 (包括众数、 中位数)、 几何平均数 (简单式、 加权式) 三大类。
第四章
第三节 平均指标
二、 算术平均数
算术平均数是总体中各个总体单位某个数量标志的总和与总体单位总量的比值, 计算分析过程中用 表示。
算术平均数根据所掌握的资料不同有三种计算方法, 分别是简单法、 加权法、 调和法。 它们有一个基本的计算公式:
算术平均数=总体标志总量/总体单位总量
与强度相对数相比, 这个公式的特点是: 第一, 分子分母的数值有一一对应的关系; 第二, 分子分母不能互换。
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
1. 简单算术平均数
在分子分母资料齐全的条件下, 可以用简单法计算平均数。简单算术平均数计算公式:
式中 —平均数; x—变量值, 即各个标志值;n—总体单位数; ∑—求和符号。
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
1. 简单算术平均数
【例4—18】假设某生产小组有7名工人组装某种产品, 某日每个人完成的数量为30、32、35、29、38、26、25件, 计算7名工人当天的平均产量。
解: 7名工人的平均日产量
计算表明: 7名工人平均日产量是30.7件。
从上面的计算中可以看出, 这种条件下计算平均数确实比较简单, 但同时, 简单算术平均数易受极大值或极小值的影响。 因此, 在一些竞技比赛中, 通常会去掉一个最高分、 去掉一个最低分, 然后加总平均, 以防个别极值抬高或拉低平均值。
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
2. 加权算术平均数
在分母资料齐全, 缺少分子资料的情况下, 可以使用加权平均法计算平均数。计算公式为:
式中 x—各组变量值;f—各组单位数 (次数、 频数)。
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
2. 加权算术平均数
【例4—19】 计算某小组工人的平均日产量见右表。
解: 平均日产量
计算表明: 某小组1 0名工人的平均日产量是11 .8件。
可以看出, 在分组而且各组的人数 (次数) 不等的情况下计算平均指标, 分母位置上的总体单位总量, 将各组人数 (次数) 直接相加即可得到, 分子位置上的标志总量则需要先求出各组的标志量相加后才能得到。
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
2. 加权算术平均数
【例4—20】 比较不同的次数结构对平均数的影响, 见右表。
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
2. 加权算术平均数
平均数的大小受两个因素的影响: 一个是变量值, 另一个是各组次数。 如果人数结构已定, 变量值增大或减小, 平均数也会随着增大或减小; 如果变量值已定, 各组次数的多少 (或结构的变化),对平均数的大小起着权衡轻重的影响。 因此, 通常把影响平均数大小的因素即次数称作权数, 把这种计算方法称作加权法, 把用这种方法计算得到的平均数称作加权算术平均数。
有时计算加权算术平均数时权数不是用次数, 而是用结构相对数 (比重) 即 计算公式为:
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
2. 加权算术平均数
【例4—21】 用结构相对数 (比重) 计算工人的平均日产量, 见下表。
解: 平均日产量
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
2. 加权算术平均数
【例4—22】 赵楚想在本村庙会上推销一批杂拌水果糖, 购进的价格及数量资料如下, 计算平均购进单价。
解: 平均购进单价
计算表明: 赵楚购进的糖果平均价格为每500克11 .8元。
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第三节 平均指标
二、 算术平均数
3. 调和平均数
在掌握了分子位置上的资料而没有分母位置上的资料时, 使用调和平均法。 其计算公式是:
式中 m—各组的标志总量; x— 各组变量值。
设m=x f 则
由此可见, 调和法计算平均数的公式是加权法公式的变形, 只是计算过程稍有不同, 如果是同样一份资料, 计算的结果应该是一样的。
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二、 算术平均数
3. 调和平均数
【例4—23】 计算某地小麦的平均亩产量 (千克 /亩), 见下表。
已知各组的亩产量、 各组总产量, 缺少分母资料播种面积的情况下, 求总体的平均亩产量。 先求出各组的播种面积, 然后计算平均亩产量。
解: 平均亩产量
计算表明: 某地小麦的平均亩产量是433.92千克。
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二、 算术平均数
4. 组距式数列计算算术平均数
由组距式数列计算算术平均数, 与前面讲到的单项式数列略有不同。
【例4—24】 计算某地小麦的平均亩产量 (千克 /亩 ), 见下表。
解: 平均亩产量
计算表明: 某地小麦的平均亩产量是433.92千克。
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三、 位置平均数
位置平均数是根据其位置而确定的平均数, 包括中位数和众数。 这两种平均数最大的特点是, 计算时不受极大值和极小值的影响。 在总体中有极大值或者极小值存在的情况下, 算术平均数的代表性会受到一定影响, 使用位置平均数更能够说明问题。
1. 中位数
中位数是指总体各单位标志值按照大小顺序排列后, 处于变量数列中间位置的变量值, 用 Me表示。 中位数的确定根据所掌握的资料不同分三种情况。
由未分组资料确定中位数
【例4—25】某学生社团的6位成员, 在一次大型赛事中, 某项技能的得分为3、 6、7、 8、 8、 9分, 确定中位数。
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三、 位置平均数
1. 中位数
由未分组资料确定中位数
【例4—25】解: 第一步, 确定中位数的位置。
中位数的位置=(n+1)/2
式中 n—项数。
本例中, 中位数所在位置=（6+1）/2 =3 .5。
第二步, 计算中位数。 第3 .5项应该是第三个数值与第四个数值的平均值, 所以中位数应该是（7+8）/2 =7.5分。计算表明: 6位成员的平均得分为7.5分。
当n 为奇数时, 确定中位数的位置更加容易些, 用公式 计算出中位数所在位置后, 正对着那个位置上的变量值即为中位数。
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三、 位置平均数
1. 中位数
(2) 由单项式数列确定中位数
分组后的资料有单项式数列和组距式数列两种情况, 由单项式数列确定和计算中位数的具体步骤如下：
【例4—26】 某车间工人的日产量资料见下表, 确定和计算中位数。
第四章
三、 位置平均数
1. 中位数
(2) 由单项式数列确定中位数
分组后的资料有单项式数列和组距式数列两种情况, 由单项式数列确定和计算中位数的具体步骤如下：
【例4—26】 解: 第一步, 计算累计次数。向上累计与向下累计均可。
第二步, 确定中位数的位置。分组资料中位数的位置=∑f/2
式中的∑f 为次数之和。本例中, 中位数位置=∑f/2 =70/2=35。
第三步, 确定中位数。中位数是处于数列中间位置上的那个变量值。
根据计算, 中间位置是累计人数第35名工人, 本例中无论是向上累计还是向下累计, 第35名工人均在第三组, 因此, 第三组所对应的日产量“18件 /人”即为中位数。
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三、 位置平均数
1. 中位数
(3) 由组距式数列确定和计算中位数
组距式数列确定和计算中位数的具体步骤见下例。
【例4—27】 某公司职工的月工资资料见下表, 确定和计算中位数。
第四章
三、 位置平均数
1. 中位数
(3) 由组距式数列确定和计算中位数
【例4—27】 解: 第一步, 计算累计次数。 向上累计与向下累计均可。
第二步, 确定中位数的位置。
根据公式, 本例中中位数位置=∑f/2 =1200/2=600
中位数应该在累计第600名工人所在的位置, 第600名工人在第三组, 第三组的月工资在2000~2500元, 究竟是哪一个数值, 还要通过计算才能够确定。
第三步, 计算中位数。
第四章
三、 位置平均数
1. 中位数
(3) 由组距式数列确定和计算中位数
中位数的位置确定以后, 计算中位数有两个公式。
下限公式:(向上累计使用)
上限公式:(向下累计使用)
第四章
式中
三、 位置平均数
1. 中位数
(3) 由组距式数列确定和计算中位数
【例4—27】分别用下限公式、 上限公式计算本例中的中位数:
计算表明: 某公司职工的月平均工资为2138.9元。
从上面的计算可见, 同一份资料计算中位数, 使用上限、下限公式计算结果是一样的。
第四章
三、 位置平均数
2. 众数
众数是总体中出现次数最多的那个变量值, 用 M0 表示。 根据所掌握资料的不同,众数的计算也分三种情况。
(1) 由未分组资料确定众数
由未分组资料确定众数, 用直接观察的方法, 看哪一个变量值出现次数最多, 它就是众数。
(2) 由单项式数列确定众数
由单项式数列确定众数的具体步骤和由未分组资料确定众数的方法是一样的。 根据分组资料直接观察, 出现次数最多的那个组的变量值即为众数。
(3) 由组距式数列确定和计算众数
第四章
三、 位置平均数
2. 众数
(3) 由组距式数列确定和计算众数
由组距式数列确定和计算众数的具体步骤如下:
第一步, 确定众数所在组。
第二步, 计算众数。
计算众数有下限、 上限公式。
下限公式:
上限公式：
第四章
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
算术平均数、 中位数、 众数虽然均代表总体的一般水平, 反映事物的集中趋势, 但是又各有其特点, 而且三者之间还存在一定的数量关系, 在应用时应有清楚的认识。
【例4—28】 某公司员工的月工资资料见下表, 计算分析算术平均数、 中位数、众数。
第四章
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
【例4—28】解: 这是一个变量值变动比较均匀, 等距离半开口式, 没有包含极大值、 极小值的
数列, 依据其资料计算得到:
计算表明: 某公司员工月工资的算术平均数、中位数、众数均为2250元。
第四章
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
如果x不是呈现均匀的正态分布, 而是适当偏态, 三者会是什么样的结果 用与例4—28同样的步骤和方法通过计算得到x 适当偏态分布时三者的数值及其之间的数量关系, 见下表。
第四章
适当偏态分布时算术平均数、 中位数、 众数关系分析表
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
做图来显示上表中的数据, 则x 的分布状况更加直观些。
第四章
x 正态分布图
x 偏小分布图
x 偏大分布图
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
如果数列中有极大值或极小值, 虽然分布状态未变, 但不会呈现如上表中显示的数量关系。
【例4—29】 承接例4—28中某公司员工的月工资资料, 在分布状态相同, 但变量x 有极大值时计算其算术平均数、中位数、众数并分析三者的关系, 见下表。
第四章
偏小分布极大值对算术平均数、 众数、 中位数的影响计算分析表
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
【例4—29】解: 这是一个异距离全封闭数列, 数列中有极大值, 依据资料计算得到:
第四章
计算结果表明: 某公司员工月平均工资的算术平均数是2537.5元 /人、中位数是2138.9元、 众数为2214.3元。
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
用同样步骤和方法计算出变量x 正态分布、 偏大分布时极大值对算术平均数、 中位数、 众数的影响结果, 见下表。
第四章
极大值对算术平均数、 中位数、 众数关系的影响分析表
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
为了便于比较分析, 把上表中的部分数据组合在一起形成下表。
第四章
有极大值、 无极大值分析表
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
综合分析算术平均数、中位数、 众数的特点及数量关系:
(1) 在没有极值的情况下, 算术平均数的大小与变量值在各组的分布次数有关正态分布时它与众数、 中位数相等, 适当偏态时它趋近分布次数比较多的变量值;众数接近于次数较多的变量值; 中位数则始终处于所有变量值的中间位置。
(2) 极大值对算术平均数的影响显著在有极大值的情况下, 算术平均数的大小与变量值在各组的分布次数仍然有一定关系, 但极大值的影响十分显著, 无论偏小分布、 偏大分布, 还是正态分布, 算术平均数均大于中位数和众数许多; 而众数、 中位数是由其位置而定的, 其数值则与无极大值时的计算结果一样; 与无极大值数列对比, 三种分布的曲线状态与其基本一致, 区别是曲线均与x 轴同方向延伸, 如下图所示。
第四章
四、 算术平均数、 中位数、 众数的关系及应用
1. 算术平均数、 中位数、 众数的关系
综合分析算术平均数、中位数、 众数的特点及数量关系:
第四章
x 有极大值正态分布图
x 有极大值偏小分布图
x 有极大值偏大分布图
2. 算术平均数、 中位数、 众数的应用
综上所述, 在应用时首先尽可能在同质总体中计算几种平均指标, 在不同质的总体中计算算术平均数, 其代表性会受到很大影响。 如果在这种情况下或者即使是在同质总体中仍然出现了极值, 那么应首选众数或中位数, 其代表性会更高些。
五、 几何平均数
几何平均数是n项变量值连乘积的n 次方根。 它适合计算平均速度、 平均比率等指标。计算几何平均数有简单式和加权式两种情况。
1. 简单几何平均数
简单几何平均数适用于未分组资料计算平均比率或平均速度, 其计算公式为:
第四章
五、 几何平均数
几何平均数是n项变量值连乘积的n 次方根。 它适合计算平均速度、 平均比率等指标。计算几何平均数有简单式和加权式两种情况。
1. 简单几何平均数
简单几何平均数适用于未分组资料计算平均比率或平均速度, 其计算公式为:
第四章
五、 几何平均数
1. 简单几何平均数
【例4—30】 某公司某种电器产品有流水线作业生产车间四个, 四个车间某季度产品的合格率分别是96%、96%、95%、98%, 计算其平均合格率。
解: 平均合格率
计算表明: 四个流水线作业车间某种电器产品的平均合格率是96.24%。
2. 加权几何平均数
加权几何平均数适用于分组资料计算平均比率或平均速度, 其计算公式为:
第四章
五、 几何平均数
2. 加权几何平均数
【例4—31】 某商户在银行存款, 第1~3年的本利率是102%, 第4~5年的本利率是104%, 第6~8年的本利率是103%, 计算该商户8年间的年平均本利率。
解: 依题意有: 年平均本利率
两边取对数得:
查反对数表得：
计算表明: 该商户8年间年平均存款本利率为102 .9%, 利率为2.9% (102.9%-100%)。
第四章
六、计算和应用平均指标的原则
1. 平均指标只能运用于同质总体
平均指标计算和表明的是同质总体的状况, 只有在同质总体内, 各单位才具有共同的特征, 才能计算和使用平均数来说明现象的一般水平, 如果把不同总体放在一起计算平均数, 会扭曲事物的本质。 违背这一原则计算出的平均指标, 其代表性会受到人们的质疑。
2. 应以组平均数补充说明总平均数
用组平均数来补充说明总平均数, 可以更好地揭示事物内部结构的影响, 避免对事物的片面认识。
3. 应以分配数列补充说明平均数
用分配数列补充说明平均数, 能够使我们了解总体各单位的差异状况。
第四章
六、计算和应用平均指标的原则
3. 应以分配数列补充说明平均数
用分配数列补充说明平均数, 能够使我们了解总体各单位的差异状况。
【例4—32】某大型企业集团的35个下属企业上年完成利润计划情况见下表,分析说明企业完成计划的情况。
第四章
六、计算和应用平均指标的原则
3. 应以分配数列补充说明平均数
用分配数列补充说明平均数, 能够使我们了解总体各单位的差异状况。
【例4—32】解: 计划完成百分数=实际完成数计划任务数×100%=339522≈111.4%。
计算结果表明: 某企业集团3 5个下属单位平均完成利润计划程度为111 .4%。
综合分析: 某企业集团利润计划整体完成得比较好, 平均超额完成计划11.4%; 但是如果结合分配数列来看, 计划完成情况并不均衡, 有6个单位未完成预定计划, 应该分析原因, 进一步挖掘积极的因素, 为下一个计划期的经营创造条件。
4. 应结合标志变异指标说明平均数的代表性
平均数的代表性是应用平均指标最为核心的问题。 标志变异指标能够测定总体各单位的差异程度, 从而衡量平均数的代表性。
第四章
谢谢观赏！
统计基础

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