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2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（3分）以下是四个城市在某一天同一时刻的气温，其中气温最低的是（　　）
A．大同：﹣14℃ B．朔州：﹣11℃ C．忻州：﹣9℃ D．太原：﹣12℃
2．（3分）中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x3+x3＝x5 B．（﹣x）2÷x＝﹣x
C．（﹣2x2）3＝﹣8x6 D．（﹣a）4 （﹣a）3＝a7
4．（3分）中国海油2月25日发布公告，我国渤海深层油气勘探取得新的重大发现．渤中26﹣6油田的新钻探井测试产能创新高，新增油气探明储量超过4000万立方米．数据4000万立方米用科学记数法表示为（　　）
A．4×103立方米 B．0.4×108立方米
C．4×107立方米 D．4000×104立方米
5．（3分）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）小敏购买了一套“龙行龘龘”艺术书签（外包装完全相同），分别为“招财祥龙”“瑞狮福龙”“龙凤呈祥”“锦鲤旺龙”四种不同的主题．小敏从中拿两个送给同学，先随机抽取一个（不放回），再从中随机抽取一个，则恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，△ABC的三个顶点均在⊙O上，BD是⊙O的直径．若∠BAC＝130°，则∠CBD的度数为（　　）
A．30° B．40° C．45° D．50°
8．（3分）如图是一面钟表，以指针的旋转中心O为坐标原点，以整9点时针和分针所在的直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系，当时间为10点10分时，分针的外端点落在点A处．若OA＝10，则点A的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为45元时，每天可售出100盒，每盒的售价每降低1元，每天的销量增加10盒，要使该款大礼包每天的销售额达到6000元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价x元，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．（45+x）（100+10x）＝6000
D．（45﹣x）（100+10x）＝6000
10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝30°，AD与CE是△ABC的两条高，点F是AC的中点，连接EF．若AD＝2，则EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．4
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝　 　．
12．（3分）为了弘扬古诗词文化，某校举办了主题为“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”的古诗词知识竞赛，进入决赛的10名学生成绩统计如下表，这10名学生决赛成绩的中位数应是 　 　分．
决赛成绩/分 98 96 95 91 90
人数/名 1 2 2 4 1
13．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AE于点M，N；分别以M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP与边CD交于点F，连接AC，则∠CAF＝　 　°．
14．（3分）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱可近似看作抛物线．如图是其中一个桥拱的示意图，拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，过点O垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，通过测量得AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，则桥拱最高点到桥面的距离OC为 　 　m．
15．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD＝8，DC＝2，则DE的长为 　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）计算：．
（2）解不等式组并在数轴上表示其解集．
17．（6分）如图，反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k2≠0）的图象交于A（2，3），两点．
（1）求m的值及一次函数的表达式．
（2）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
18．（9分）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，使BC＝AB．点E为BC上一点，连接AE交⊙O于点F，连接BF，过点C作CD⊥BC，与BF的延长线交于点D．
（1）判断AE与BD的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠DBC＝40°，求的长．
19．（8分）为了鼓励同学们多读书、读好书，某校开展了主题为“走进图书馆 悦享书世界”的读书活动．“综合实践”小组的同学想要了解本校学生在这次活动中借阅图书的情况，于是从全校1200名学生中随机抽取200名学生，并对200名学生的图书借阅记录进行统计，形成了如下的调查报告（不完整）：
××中学学生借阅图书情况调查报告
调查主题 ××中学学生借阅图书情况
调查方式 抽样调查 调查对象 ××中学学生
数据的收集、整理与描述 第一项各类图书借阅量统计 说明：A表示科普类；B表示文学类；C表示艺术类；D表示其他
第二项学生个人借阅量统计 图书借阅量/本0123…人数/名11207230…
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量，并将条形统计图补充完整．
（2）估计该校所有学生中，图书借阅数量为3本及以上的学生有多少名．
（3）在制定方案时，小亮给出的初步方案是随机抽取200名九年级学生，并对他们的图书借阅记录进行统计．但经过小组讨论，方案被否决了．请指出该方案被否决的原因．
20．（9分）在进一步发展国民经济，努力实现全体人民共同富裕的大背景下，“提高农民的收入，提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务．2023年，该镇主要的两种作物总产量如表：
类别 小麦 大豆
总产量/万公斤 1440 270
通过统计与计算，发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍，小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩．
（1）求小麦的种植面积．
（2）为提高农民收入，镇政府决定从种植小麦的土地中，拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜，要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一．求改种蔬菜的土地的最大面积．
21．（8分）阅读与思考
请阅读下面的科普材料，并完成相应的任务．
圭表是度量日影长度的一种天文仪器．古代劳动人民用正午时分圭表上日影的长短来确定一年四季，并在历书中排出了二十四个节令的日期，由此指导劳动人民的农事活动．如图1，夏至线表示夏至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，夏至是全年日影最短的一天；冬至线是冬至正午时分表的顶端落在圭上的影子的位置，冬至是全年日影最长的一天．工人师傅尝试设计了一个圭表模型，图2是其截面示意图，图中OP⊥OB，点A为夏至线所在的位置，点B为冬至线所在的位置，AB＝20cm，点O，A，B，P在同一竖直平面内，点O，A，B在同一直线上．据调查该地冬至正午时分的太阳高度角为30°，夏至正午时分的太阳高度角为77°．（注：太阳高度角是指对地球上的某个地点太阳光入射方向和地平面的夹角）……
任务
（1）填空：∠PAO＝　 　°，∠PBO＝　 　°．
（2）求OP和OA的长．
（3）已知该地春分正午时分的太阳高度角是53.5°，工人师傅想在图2中AB之间标出春分线的位置C，请直接写出OC的长度．
（结果保留一位小数．参考数据：sin77°≈0.97，cos77°≈0.22，tan77°≈4.33，sin53.5°≈0.80，cos53.5°≈0.59，tan53.5°≈1.35，）
22．（12分）综合与实践
问题情境
在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1所示的一张矩形纸片ABCD，其中AB＝4，BC＝3．
实践探究
（1）如图2，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到纸片△ABC与△A′DC′．将△A′DC′纸片沿AC方向平移，连接BD（BD与AC交于点O），AD，BC′，得到图3所示的图形．若BD⊥AC，解答下列问题：
①请你猜想四边形ABC′D的形状，并证明．
②请求出平移的距离AA′．
拓展延伸
（2）如图4，先将△A′DC′纸片沿AC方向进行平移，然后将△A′DC′纸片绕点A′顺时针旋转，使得A′C′∥AB，C′D恰好经过点C，求平移的距离AA′．
23．（13分）综合与探究
如图1，二次函数的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C．直线y＝﹣2x﹣2经过A，C两点，连接BC．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得∠ABD＝∠ABC？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将△AOC沿x轴正方向平移得到△A′O′C′（点A，O，C的对应点分别为A′，O′，C′），A′C′，O′C′分别交线段BC于点E，F，当△C′EF与△O′BF的面积相等时，请直接写出△A′O′C′与△BOC重叠部分的面积．
2024年山西省百校联考中考数学模拟试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．【解答】解：∵﹣14℃＜﹣12℃＜﹣11℃＜﹣9℃，
∴气温最低的是大同：﹣14℃，
故选：A．
2．【解答】解：从左边观看立体图形可得，左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B．
3．【解答】解：A．x3+x3＝2x3，此选项错误，不符合题意；
B．（﹣x）2÷x＝x，此选项错误，不符合题意；
C．（﹣2x2）3＝﹣8x6，此选项正确，符合题意；
D．（﹣a）4 （﹣a）3＝﹣a7，此选项错误，不符合题意；
故选：C．
4．【解答】解：4000万＝40000000＝4×107．
故选：C．
5．【解答】解：
＝
＝．
故选：A．
6．【解答】解：设“招财祥龙”为①，“瑞狮福龙”为②，“龙凤呈祥”为③，“锦鲤旺龙”为④，树形图如下：
共有12种等可能结果，其中同时抽到①③的结果有2次，所以恰好抽到书签“招财祥龙”和“龙凤呈祥”的概率为，
故选：D．
7．【解答】解：连接CD，
∵∠BAC＝130°，
∴∠D＝180°﹣130°＝50°，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠CBD＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
8．【解答】解：过点A作AB⊥x轴，于点B．
当时间为10点（10分）时，分针的外端点落在点A处，
此时分钟转动了，
∴∠AOB＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AOB中，OA＝10，
∴AB＝OA×sin30°＝5，，
又∵点A在第一象限，
∴点A坐标为．
故选：A．
9．【解答】解：设该款大礼包每盒降价x元，根据题意得：
（45﹣x）（100+10x）＝6000，
故选：D．
10．【解答】解：依题意，∠ACB＝30°，AD⊥BC，AD＝2，
∴AC＝2AD＝4，
∵AC＝BC，
∴BC＝4
∵CE⊥AB，AC＝BC
∴AE＝EB，
又∵点F是AC的中点，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．【解答】解：2x3﹣8x，
＝2x（x2﹣4），
＝2x（x+2）（x﹣2）．
12．【解答】解：先对这10位学生的成绩进行排序，
∴90，91，91，91，91，95，95，96，96，98，
∴处于中间位置的两位数是平均数为：，
∴中位数为93．
故答案为：93．
13．【解答】解：如图：作出正五边形ABCDE的外接圆O，连接CO，DO，AD，
∵正五边形ABCDE的外接圆O
∴∠COD＝360°÷5＝72°，
∵，
∴，
∵由题意可知，AP是∠CAD的平分线，
∴，
故答案为：18．
14．【解答】解：∵拱跨AB＝60m，以AB的中点O为坐标原点，
∴AO＝BO＝30m，
∴A的坐标为（30，0），B的坐标为（﹣30，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+30）（x﹣30），
∵AE＝2m，DE⊥AB且DE＝1.16m，
∴OE＝AO﹣AE＝30﹣2＝28m，
∴E的坐标为（28，1.16），
∴a（28+30）（28﹣30）＝1.16，
解得a＝﹣0.01，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.01（x+30）（x﹣30），
当x＝0时，y＝9，
∴桥拱最高点到桥面的距离OC为9m．
故答案为：9．
15．【解答】解：如图，过点A、点E分别作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足为点M、N．则AM∥EN，
∵∠BDC＝90°，BD＝8，DC＝2，
∴．
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴，
∵E为AC的中点，AM∥EN，
∴．
∴，
设DE＝x，则BE＝BD﹣DE＝8﹣x．
∵∠BNE＝∠BDC＝90°，∠EBN＝∠CBD，
∴△BNE∽△BDC，
∴，即：，
∴8（8﹣x）＝51，
解得：．
即：．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．【解答】解：（1）原式＝，
＝；
（2）解不等式①得x≥﹣2，
解不等式②得x＜3，
所以，不等式组的解集为﹣2≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
17．【解答】解：（1）∵反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，
∴把A（2，3）代入反比例函数得k1＝6，
∴反比例函数的表达式为，
把代入得m＝4，
把A（2，3），代入y2＝k2x+b得：
，解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）由图象和反比例函数和一次函数的性质可知：
当x＝2或x＝4时，y1＝y2，
当0＜x＜2或x＞4时，y1＞y2，
当2＜x＜4时，y1＜y2，
所以，当y1＞y2时，x的取值范围为0＜x＜2或x＞4．
18．【解答】解：（1）AE＝BD．理由如下：
∵BC与⊙O相切于点B，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠BCD＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，
∵∠ABE＝90°，
∴∠ABF+∠DBC＝90°，
∴∠BAF＝∠CBD，
∵AB＝BC，
∴△ABE≌△BCD（ASA），
∴AE＝BD；
（2）如图，连接OF，
∵△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD＝40°，
∴∠BOF＝80°，
∴的长＝．
19．【解答】解：（1）借阅图书的总数量为：288÷40%＝720（本）；
∴A类书籍的借阅量为：720×35%＝252（本），
C类书籍的借阅量为：720×15%＝108（本），
D类书籍的借阅量为：720×（1﹣35%﹣40%﹣15%）＝72（本），
补全统计图如下：
答：被调查的200名学生在本次活动中借阅图书的总数量为720本．
（2）（名），
答：估计该校图书借阅数量为3本及以上的学生有582名．
（3）小亮在选择样本时出现问题，小组想了解全校学生在读书活动中不同种类图书的借阅情况，他只是在九年级中选择调查对象，因此样本的选择不具备代表性．（写出一条，言之有理即可）
20．【解答】解：（1）设小麦的种植面积为x亩，
由题意得 ，
即，
方程两边同乘x（x﹣5000），
得 1080x＝1440（x﹣5000），
解得 x＝20000．
检验：当x＝20000时，x（x﹣5000）≠0，
∴x＝20000是分式方程的解．
答：小麦的种植面积为20000亩；
（2）设改种蔬菜的面积为y亩，
根据题意得．
解得y≤4000．
答：改种蔬菜的最大面积为4000亩．
21．【解答】解：（1）由题中太阳高度角的定义可知：∠PAO＝77°，∠PBO＝30°，
故答案为：77，30；
（2）∵OP⊥OB，
∴∠POB＝90°，
∴△POA，△POB是直角三角形，
设OA＝x cm，则OB＝（x+20）cm，
∴OP＝OB tan30°＝cm，OP＝OA tan77°＝4.33x cm，
则＝4.33x，
解得：x≈3.1，
即OA≈3.1cm，
∴OP＝4.33×3.1≈13.4（cm）；
（3）如图2，连接PC，
由题意得：∠PCO＝53.5°，
∵∠POC＝90°，
∴△POC是直角三角形，
∴OC＝＝≈9.9（cm），
OC的长度是9.9cm．
22．【解答】解：（1）①四边形ABC′D是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
由平移知对应线段平行且相等，
∴AB∥DC′，AB＝DC′，
∴四边形ABC′D是平行四边形，
∵BD⊥AC，
∴四边形ABC′D是菱形；
②由题意可得：A′D＝BC＝3，C′D＝AB＝4，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，
∴，
∴，
∵BD⊥AC′，
在Rt△A′DO中，，
∵四边形ABC′D是菱形，
∴OA＝OC′，
∵AA′＝CC′，
∴OA′＝OC，
∴，
∴；
（2）∵A′C′∥AB，
∴∠CA′C′＝∠A，
∵∠A＝∠C′，
∴∠CA′C′＝∠C′，
∴CA′＝CC′，
设CA′＝CC′＝x，则CD＝4﹣x，
在Rt△A′CD中，A′D2+CD2＝A′C2，
即32+（4﹣x）2＝x2，
解得：，
∴．
23．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x﹣2＝﹣2，
当y＝0时，0＝﹣2x﹣2，
解得x＝﹣1，
∴点A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣2），
把点A的坐标和点C的坐标代入得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）存在D的坐标；理由：
∵∠BOE＝∠BOC，OB＝OB，
∴△BOE≌△BOC（ASA），
∴OE＝OC＝﹣2，
∴E（0，2），
当y＝0时，，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点B的坐标是（3，0），
设BE的解析式为y＝rx+s，
，
解得，
∴直线BE的解析式为，
与联立得到
，
解得或（不合题意，舍去），
∴D；
（3）如图所示，当△C′EF与△O′BF的面积相等时，则△A′EB与△O′A′C′的面积相等，
∴A′O′ C′O′＝A′B |yE|，
设点A′的坐标为（a，0），其中a＜3，设直线A′C′的解析式为y＝mx+n，
∵AC∥A′C′，直线AC为y＝﹣2x﹣2，
∴m＝﹣2，
∴y＝﹣2x+n，
把（a，0）代入得，0＝﹣2a+n，解得n＝2a，
∴直线A′C′的解析式为y＝﹣2x+2a，
设直线BC的解析式为y＝px+q，
，
解得，
∴直线BC的解析式为，
联立得到，
解得，
即点E的纵坐标是，
当△C′EF与△O′BF的面积相等时，则△A′EB与△O′A′C′的面积相等，
∵A′O′＝AO＝1，C′O′＝OC＝2，A′B＝3﹣a，
∴
解得，a＝1或a＝5（舍去），
当a＝1时，A′B＝3﹣a＝2，OO′＝OA′+A′O′＝OA′+AO＝2，O′B＝OB﹣OO′＝1，点E的纵坐标是，
∵OC∥O′C′，
∴O′F⊥x轴，
∴点F的横坐标为2，
当x＝2时，，
∴，
S△AEB﹣S△O′FB＝AB （﹣yE）﹣O′B O′F＝＝．

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