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第二单元 长方体（一）
一、长方体的认识
1、在长方体或正方体中，围成长方体或正方体的平面图形叫做长方体或正方体的面；面和面相交的边叫做长方体或正方体的棱；三条棱又交于一点，这个点叫做顶点。
2、长方体和正方体的特点
共同点：都有6个面，12条棱，8个顶点。
不同点：长方体的6个面都是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），正方体的6个面都是正方形；长方体相对的面形状相同、面积相等，正方体的6个面都相同；长方体中每一组互相平行的4条棱长度相等，正方体的12条棱长度都相等。
二、展开图
1、长方体的展开图
正方体的展开图:
三、长方体的表面积
1、长方体的表面积
（1）长方体的表面积的意义:长方体6个面的面积之和叫作它的表面积。
（2）长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2
或长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2
2、正方体的表面积
（1）正方体的表面积的意义:正方体6个面的面积之和叫作它的表面积。
（2）正方体的表面积=棱长×棱长×6
四、露在外面的面
在数露在外面的面的方法：逐一观察每一个小正方体，把它们露出来的面的数量分别数出来，然后相加。
1、n个小正方体平放一排的规律：
露在外面的面的个数=3n+2
2、n个小正方体竖放一排的规律：
露在外面的面的个数=4n+1
3、计算堆放在墙角的正方体露在外面的面积的方法：先数露在外面的面的总个数，再用1个面的面积乘露在外面的面的总个数。
一、选择题
1．下面各包装方式中，最省包装纸的是（ ）。
A． B． C．
2．下图是摆放在桌子上的3个正方体，有（ ）个面露在外面。
A．16 B．14 C．12
3．用玻璃做一个无盖的棱长为4分米的正方体鱼缸，至少需要玻璃（ ）平方分米。
A．96 B．80 C．64 D．100
4．下图是一根长方体木料，把它截成长为3m的长方体，表面积增加了（ ）m2。
A．0.8 B．1.6 C．2.4 D．4.8
5．有三种长度为15cm、10cm、8cm的小棒各若干根，下面（ ）种搭法无法搭出长方体或正方体。
A．三种各4根 B．12根15cm
C．8根10cm和4根8cm D．10cm和8cm各6根
6．至少用（ ）个大小、形状相同的正方体可以拼成一个较大的正方体。
A．2 B．4 C．8 D．9
7．一个长方体的茶叶盒，长10厘米，宽8厘米，高12厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上、下面不贴），这张商标纸的面积至少有（ ）平方厘米。
A．120 B．432 C．592 D．960
8．2022年2月4日晚，举世瞩目的北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行。龙龙买了一个本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩具，准备寄给好友岗岗，需要用到一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的长方体木框架进行打包，龙龙至少要准备（ ）分米长的木条。
A．13 B．26 C．135 D．260
二、填空题
9．如图是一个正方体展开图，其中与2号面相对的是( )号。
10．一个正方体无盖纸盒，棱长为8厘米，制作这个纸盒至少需要( )平方厘米纸板。
11．将几个棱长为5分米的正方体纸箱摆放在墙角处（如图），露在外面的面面积是( )分米2，在此基础上要把它堆成一个大正方体，至少还要( )个这样的正方体纸箱。

12．将3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和( )（填“增加”或“减少”）( )平方分米。
13．一个上下两层的长方体储物柜，每层高0.3米，后来往上又加了一层，这时储物柜的形状是正方体，这个储物柜现在占地( )平方米。
14．下图中，A面的面积是40cm2。那么：
(1)B面的面积是( )cm2。
(2)要做这个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。
15．如图，把一个棱长15厘米的正方体分成3个相同长方体，表面积增加了( )平方厘米，每个小长方体的表面积是( )平方厘米。
16．把四个相同的正方体拼成一个长方体，长方体表面积比四个正方体的表面积之和减少150平方厘米，拼成的长方体表面积是( )或是( )。
三、判断题
17．一个长方体的棱长之和是36厘米，它的一组长、宽、高之和是12厘米。( )
18．下图是一个正方体的平面展开图，与汉字“渭”相对面上的的汉字是“河”。( )
19．一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要94平方分米的铁皮。( )
20．如图，从正方体的上面挖去一个小正方体之后，表面积会减少。( )
四、计算题
21．计算下图的表面积。（单位：厘米）
五、作图题
22．笑笑准备制作一个封闭的正方体盒子，她先用5个大小一样的正方形制成如下图所示的拼接图形，经过折叠后发现还少一个面，请你在下图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形经过折叠后能成为一个正方体盒子。

六、解答题
23．淘气用一张长40厘米、宽25厘米的长方形纸板做了一个无盖的长方体纸盒。（纸盒的展开图如图所示）
（1）这个纸盒的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，高是（ ）厘米。
（2）把这个纸盒放在地上，最多占地多少平方厘米？
24．如图是王叔叔用木条做成的长方体框架。
（1）制作这个长方体框架至少需要多少厘米木条？
（2）张叔叔用同样长的木条制作一个正方体框架，正方体框架的棱长是多少厘米？
25．一根绳子长6米，现要捆扎一种礼盒（如下图）。如果结头处要用掉绳子25厘米，这根绳子最多可以捆扎几个这样的礼盒？（单位：厘米）
26．六一儿童节，妈妈给冬冬买了一套故事书，有上中下三册（每册书的大小如下图），如果用彩色的包装纸包装起来，至少需要多大面积的包装纸？

27．如图，“水立方”是2008年北京奥运会标志性建筑物之一，它的长约200米、宽约200米、高约30米。如果要清洗它的顶部和外墙面的贴膜（包含门窗面积），每平方米清洗费用为5元，一共需要清洗费多少元？
28．如图有2盒糖果，如果要将这2盒糖果包装在一起，怎样包才能节约包装纸？至少需要多大面积的包装纸？（接口处不计）
29．大小不同的两个正方体积木粘在一起，构成下图所示的立体图形，其中小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点。如果大积木的棱长为4分米，那么这个立体图形的表面积是多少平方分米？
参考答案
1．B
【分析】
包装三个一样的长方体物品，会减少4个重合的长方形面积；让长方体中面积最大的面重合，会使拼成的长方体表面积最小，这样最省包装纸。
从图中可知，长方体的上下面的面积＞前后面的面积＞左右面的面积，所以让每个长方体的上下面重合，这种包装方式最少包装纸。可举例计算说明。
【详解】设每个长方体的长是5cm，宽是4cm，高是2cm。
A．表面积减少了：5×2×4＝40（cm2）
B．表面积减少了：5×4×4＝80（cm2）
C．表面积减少了：4×2×4＝32（cm2）
80＞40＞32
最省包装纸的包装方式是。
故答案为：B
2．C
【分析】
前面、后面、左面、右面和上面露在外面，其中前面和后面看到的形状一样，左面和右面看到的形状一样，观察可知，前面看有3个小正方形，右面看有2个小正方形，上面看有2个小正方形，前面看到的个数×2＋右面看到的个数×2＋上面看到的个数＝露在外面的个数，据此分析。
【详解】3×2＋2×2＋2
＝6＋4＋2
＝12（个）
有12个面露在外面。
故答案为：C
3．B
【分析】
正方体的6个面都是正方形且面积相等，同时因为题目中该正方体鱼缸是无盖的，也就是少了向上的一个正方形面，所以只剩下5个正方形的面，用5乘正方形的面积即可。
【详解】由分析可得：
4×4×5
＝16×5
＝80（平方分米）
综上所述：用玻璃做一个无盖的棱长为4分米的正方体鱼缸，至少需要玻璃80平方分米。
故答案为：B
4．B
【分析】一根长方体木料，把它截成长为3m的长方体，即截成6÷3＝2（段），需要截2－1＝1（次），表面积增加两个横截面的面积；据此解答。
【详解】6÷3＝2（段）
一根长方体木料，把它截成2段，需要截：2－1＝1（次）
表面积增加了：
0.8×1×2
＝0.8×2
＝1.6（m2）
表面积增加了1.6m2。
故答案为：B
【分析】解答此题的关键是要弄清楚：一根长方体木料，把它截成2段，需要截1次，表面积增加了2个横截面的面积。
5．D
【分析】长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；正方体有12条棱，每条棱长度都相等，根据长方体、正方体的特征作答即可。
【详解】A．根据长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱，可以用15cm、10cm、8cm长的小棒各4根，搭出一个长、宽、高分别是15cm、10cm、8cm的长方体；
B．根据正方体的特征，可以用12根15cm长的小棒搭出一个棱长是15cm的正方体；
C．根据长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱，可以用10cm长的小棒8根，8cm长的小棒4根，搭出一个长、宽、高分别是10cm、10cm、8cm的长方体；
D．根据长方体、正方体的特征，10cm和8cm各6根无法搭出长方体或正方体。
故答案为：D
【分析】此题主要考查了长方体、正方体的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确长方体、正方体的特征。
6．C
【分析】根据正方体的特征即可知道至少用8个相同的正方体才能拼成一个较大的正方体。
【详解】如右图：
至少用8个相同的正方体才能拼成一个较大的正方体。
故答案为：C
【分析】本题考查了正方体的认识，8个相同的较小的正方体才能拼成一个较大的正方体。
7．B
【分析】已知这个长方体的长宽高，且要求只围着侧面贴一圈商标纸，这就意味着只求长方体的前后两面、左右两面的面积之和即可。
【详解】（10×12＋8×12）×2
＝（120＋96）×2
＝216×2
＝432（平方厘米）
这张商标纸的面积至少有432平方厘米。
故答案为：B
【分析】明确所求部分面积属于长方体的哪几个面，从而确定所运用的相关元素，这是解题关键。
8．B
【分析】求龙龙至少要准备的木条的长度，就是求这个长方体木架的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详解】（30＋20＋15）×4
＝（50＋15）×4
＝65×4
＝260（厘米）
260厘米＝26分米
2022年2月4日晚，举世瞩目的北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行。龙龙买了一个本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩具，准备寄给好友岗岗，需要用到一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的长方体木框架进行打包，龙龙至少要准备26分米长的木条。
故答案为：B
【分析】熟练掌握长方体棱长总和公式的应用，注意单位名数的换算。
9．4
【分析】
1－4－1型正方体展开图，将4号看作底面（即下面），2号是上面，则3号和5号是左右两个面，1号和6号是前后两个面，据此分析。
【详解】根据分析，上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对，与2号面相对的是4号。
10．320
【分析】
根据题意，制作一个棱长为8厘米的无盖正方体纸盒，那么这个正方体只有5个面；根据“棱长×棱长×5”即可求出制作这个纸盒至少需要纸板的面积。
【详解】8×8×5
＝64×5
＝320（平方厘米）
制作这个纸盒至少需要320平方厘米纸板。
11． 275 22
【分析】从正面看露在外面是4个小正方形，从上面看露在外面是3个小正方形，从右面看露在外面是4个小正方形，即露在外面的面一共有：4＋3＋4＝11（个），一个正方形的面积：5×5＝25（平方分米），再乘小正方形的个数即可求解；由于搭建一个更大的正方体，更大一点的正方体每条棱长都有3个小正方体组成，即一共需要3×3×3＝27（个）小正方体，由于已经有5个，再需要27－5＝22（个）即可。
【详解】5×5＝25（分米2）
4＋3＋4
＝7＋4
＝11（个）
25×11＝275（分米2）
由于更大的正方体每条棱上是3个小正方体。
3×3×3－5
＝9×3－5
＝27－5
＝22（个）
露在外面的面的面积一共是275分米2，在此基础上要把它堆成一个大正方体，至少还要22个这样的正方体纸箱。
【分析】本题主要考查组合体的表面积以及正方体的体积公式，熟练掌握正方体的体积公式并灵活运用。
12． 减少 16
【分析】将3个棱长2分米的正方体拼成一个长方体，会有4个面拼到里面，则这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和减少了4个正方形的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，即可求出减少的面积。
【详解】2×2×4＝16（平方分米）
这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和减少16平方分米。
【分析】本题考查立体图形的切拼。明确“3个正方体拼成一个长方体，表面积减少了4个正方形的面积”是解题的关键。
13．0.81
【分析】上下两层的长方体储物柜，又加了一层变成了正方体，每层高0.3米，证明正方体的棱长为0.3×3＝0.9（米），根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【详解】0.9×0.9＝0.81（平方米）
这个储物柜现在占地0.81平方米。
【分析】此题主要考查正方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
14．(1)56
(2)80
【分析】（1）根据图分析，A面是一个长方形，宽是5cm，面积是40cm2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据求出A面的长是多少。A面的长，也是B面的长，同时也是整个长方体的长，B面的宽为7cm，代入长方形面积公式可求B面面积。
（2）根据长方体的特征，它有12条棱，分为3组，每组4条棱的长度相等，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，从图上可知该长方体高为5cm，宽为7cm，再利用上一问求出的长方体的长，计算即可。
【详解】（1）（1）40÷5＝8（cm）
8×7＝56（cm2）
B面的面积是56cm2。
（2）（8＋7＋5）×4
＝（15＋5）×4
＝20×4
＝80（cm）
要做这个长方体框架，至少需要80cm的铁丝。
【分析】本题主要考查了长方形的面积公式和长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。
15． 900 630
【分析】通过观察图形可知，把一个棱长15厘米的正方体分成3个相同长方体，表面积增加4个截面的面积，每个乘长方体的长是（15÷3）厘米，宽和高都是15厘米，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。
【详解】15×15×4
＝225×4
＝900（平方厘米）
（5×15＋5×15＋15×15）×2
＝（75＋75＋225）×2
＝375×2
＝750（平方厘米）
表面积增加了900平方厘米，每个小长方体的表面积是750平方厘米。
【分析】此题主要考查正方体、长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
16． 450平方厘米/450 300平方厘米/300
【分析】如图，四个相同的正方体拼成一个长方体，有两种情况：
①②
由图可知，第一种情况减少了6个面的面积，第二种情况减少了8个面的面积，原来四个正方体公有（6×4）个面，根据已知条件，先分别求出两种情况下一个面的面积，再用一个面的面积乘剩下的面的个数即可求得拼成的长方体的表面积。
【详解】第一种情况：
150÷6×（6×4－6）
＝25×（24－6）
＝25×18
＝450（平方厘米）
第二种情况：
150÷8×（6×4－8）
＝18.75×（24－8）
＝18.75×16
＝300（平方厘米）
【分析】本题主要考查立体图形的拼组，明确两种情况下减少的面的个数是解答的关键。
17．×
【分析】
长方体棱长总和÷4＝一组长、宽、高之和，据此列式计算。
【详解】36÷4＝9（厘米）
一个长方体的棱长之和是36厘米，它的一组长、宽、高之和是9厘米，所以原题说法错误。
故答案为：×
18．√
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，“保”与“条”相对，“护”与“例”相对，“渭”与“河”相对；据此解答。
【详解】根据分析可知，下图是一个正方体的平面展开图，与汉字“渭”相对面上的的汉字是“河”。
故答案为：√
【分析】熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。
19．×
【分析】
由于是无盖的，即这个长方体的表面积是求5个面的面积和，根据无盖长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个无盖水桶的表面积，即做这个水桶需要的铁皮面积，即可解答。
【详解】4×3＋（4×5＋3×5）×2
＝12＋（20＋15）×2
＝12＋35×2
＝12＋70
＝82（平方分米）
一个长方体的无盖水桶，长4分米，宽3分米，高5分米，做这个水桶至少需要82平方分米的铁皮。
原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键。
20．×
【分析】大正方体挖去一个小正方体，仔细观察，凹下去图形是4个面的面积，而原来缺失的是2个面的面积，所以大正方体的表面积和以前相比，多了2个面的面积，据此解答。
【详解】根据分析，这个组合体的表面积与之前相比，表面积增加了。所以原题的说法是错误的。
故答案为：×
【分析】从一个立体图形中挖去部分后，再观察这个立体图形的表面积有什么变化，这种题有一定的难度，需要同学们仔细看图、认真分析，培养空间观察和想象能力。
21．150平方厘米
【分析】在长方体上面放一个小正方体，则表面积比长方体多了4个正方形面，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方形的面积＝边长×边长，用（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4即可求出这个立体图形的表面积。
【详解】（8×3＋8×3＋3×3）×2＋3×3×4
＝（24＋24＋9）×2＋3×3×4
＝57×2＋3×3×4
＝114＋36
＝150（平方厘米）
立体图形的表面积是150平方厘米。
22．见详解
【分析】观察已知5个面可知：图形符合正方体展开图的3－3型或3－2－1型；据此解答。
【详解】画图如下：

【分析】本题主要考查正方体展开图的认识。
23．（1）30；15；5；
（2）450平方厘米
【分析】
（1）从图中可知，在长方形纸板的四个角上分别剪去边长为5厘米的正方形，然后把四边折起来即可做成一个无盖长方体纸盒，那么这个长方体的长是（40－5－5）厘米，宽是（25－5－5）厘米，高是5厘米。
（2）物体的底面积叫做占地面积。把长方体纸盒面积最大的面放在地上，就是占地最多的面积。
【详解】
（1）长：40－5－5＝30（厘米）
宽：25－5－5＝15（厘米）
这个纸盒的长是30厘米，宽是15厘米，高是5厘米。
（2）30×15＞30×5＞15×5
30×15＝450（平方厘米）
答：最多占地450平方厘米。
24．（1）420厘米
（2）35厘米
【分析】
（1）求制作这个长方体框架至少需要木条的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。
（2）已知用同样长的木条制作一个正方体框架，那么正方体的棱长总和等于这些木条的长度之和，即上一题中长方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求解。
【详解】
（1）4分米＝40厘米
（40＋23＋42）×4
＝105×4
＝420（厘米）
答：制作这个长方体框架至少需要420厘米木条。
（2）420÷12＝35（厘米）
答：正方体框架的棱长是35厘米。
25．5个
【分析】通过观察图形可知，捆扎一个这样的礼品盒需要绳子的长度等于这个长方体的2条长，加2条宽，加4条高，再加上结头处要用的绳子25厘米，据此可以求出捆扎一个礼品盒需要绳子的长度，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。
【详解】6米＝600厘米
10×2＋15×2＋8×4＋25
＝20＋30＋32＋25
＝107（厘米）
600÷107＝5（个）……65（厘米）
答：这根绳子最多可以捆扎5个这样的礼盒。
【分析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方体棱长总和的计算方法及应用。
26．977平方厘米
【分析】求至少需要多大的面积的包装纸，就是把三本书面积最大的面重合起来，重合后长方体的长是14厘米，宽是23厘米，高是1.5×3＝4.5厘米，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】包装后长方体的长是14厘米，宽是23厘米，高是1.5×3＝4.5（厘米）
（14×23＋14×4.5＋23×4.5）×2
＝（322＋63＋103.5）×2
＝（385＋103.5）×2
＝488.5×2
＝977（平方厘米）
答：至少需要977平方厘米大面积的包装纸。
【分析】本题考查长方体的表面积，明确用包装纸最少得包装方式是解题的关键。
27．320000元
【分析】根据题意，要求“水立方”的顶部和外墙面的贴膜面积，即是求长方体除底面外的5个面的面积之和，则要清洗的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出要清洗的面积。再乘每平方米清洗的费用即可求出一共需要清洗费多少元。
【详解】200×200＋（200×30＋200×30）×2
＝40000＋（6000＋6000）×2
＝40000＋24000
＝64000（平方米）
64000×5＝320000（元）
答：一共需要清洗费320000元。
【分析】本题主要考查长方体表面积的应用。根据实际情况，灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。
28．将2盒糖果的25×20面相粘合，最节约包装纸；2800平方厘米
【分析】将长方体最大的面连接在一起最节约包装纸，如图：，则该长方体的长为25厘米，宽为20厘米，高为10×2＝20厘米，然后根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。
【详解】[25×20＋25×（10×2）＋20×（10×2）]×2
＝[500＋500＋400]×2
＝1400×2
＝2800（平方厘米）
答：将2盒糖果的25×20面相粘合，最节约包装纸，至少需要2800平方厘米的包装纸。
【分析】本题考查长方体的表面积，熟记公式是解题的关键。
29．128平方分米
【分析】如图，因为小积木的下底面的四个顶点，恰好是大积木的上底面各边的中点，所以大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍，因此，这个立方体图形的表面积＝大正方体的表面积＋小正方体四个侧面的面积；据此解答。
【详解】由分析得：
6×4×4＋4×（4×4÷2）
＝96＋4×8
＝96＋32
＝128（平方分米）
答：那么这个立体图形的表面积是128平方分米。
【分析】本题主要考查组合体的表面积计算，关键是明确大正方体一个面的面积是小正方体一个面的面积的2倍。

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