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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.4 阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
考向一　阿氏圆模型（1）
例1．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．
【答案】
【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，根据切线的性质得BH为⊙B的半径，再根据等腰直角三角形的性质得到BHAC，接着证明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），从而计算出AD得到PA的最小值．
【详解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，如图，
∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径，∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，
∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，
∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，
∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，
而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时取等号），
而AD，∴PA+PD的最小值为，即PA的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．解决问题的关键是利用相似比确定线段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性质．
例2．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
【答案】
【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，
作DF⊥BC交BC延长线于F．
∵，，∴，∵，∴，∴，
∴，∴，∵，
∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG，故答案为：；
②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是菱形，且，　
∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，
∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，
∴，，∴，
且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，∴，
∴，∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，∴MN=BM=，BN=，
∴CN=4-，∴MC=，∴的最小值为．
【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
例3．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为或 或(3)
【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，∴，
将代入直线，得，解得，∴直线的解析式为；
将代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，∴，
①当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，得或，∴点M的坐标为；
②当时，设直线的解析式为，将代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，解得或，∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，∵，∴，∵，、∴，
又∵，∴，∴，即，∴，
∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，∴，∴的最小值．

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
考向二　阿氏圆模型（2）
例1．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，连接、，推得，因为，求出即可求出答案．
解法2：如图：连接、、，在上做点，使，连接，证明，在上做点，使，连接，证明，接着推导出，最后证明，即可求解．
【详解】解法1：如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，
∴，，四边形正方形，
又，
在与中，
故答案为：2．
解法2 如图：连接、、 根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在与中，，则
在上做点，使，则，连接
在与中，
，则 如图所示连接
在与中，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．
例2．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：由题意可得：∴点在以为圆心，以为半径的圆上，
在线段上取一点，使得，则

∵，∴
又∵∴∴∴
∴
如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值
，∴的最小值为：故答案为：
【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把转化为是解决此题的关键．
例3．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）AP+BP的最小值为3；（2）AP+PC的值最小值为5；（3）2PA+PB的最小值为，见解析.
【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF=6，AF=6，由勾股定理可求AD的长；
（2）在AB上截取BF=1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF=AP，即AP+PC=PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF=2AP，即2PA+PB=PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．
【详解】解：（1）解：（1）如图1，
连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP=AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，
∵AC=12，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=6，AF=6
∴DF=CF-CD=6-3=3∴AD==3∴AP+BP的最小值为3
（2）如图，在AB上截取BF=1，连接PF，PC，∵AB=9，PB=3，BF=1
∴，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF=AP∴AP+PC=PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF===5∴AP+PC的值最小值为5，
（3）如图，延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF
∴∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM∴OM=4，FM=4∴MB=OM+OB=4+3=7
∴FB==∴2PA+PB的最小值为．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点.
例4．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．
（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC PB=2PC 2PQ=2(PC PQ) ，
∵PC PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC PB=2(PC PQ)≤2．∴2PC PB的最大值为2．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．
例5．（2022·广东·广州市九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_______．
【答案】
【分析】取一点，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明，再利用相似三角形的性质证明，推出，根据，过点D作交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得．
【详解】解：如图所示，取一点，连接OP，PT，TD，
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O为圆心，OA为半径作，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵，，∴，
∴A，P，B，Q四点共圆，∴，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，过点D作交OC于点E，
∵D的坐标为（5，3），∴点E的坐标为（5，0），TE=4，∴
∵，∴，∴的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．
一、选择题
1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．
2．（2023·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则2AP+BP的最小值为（　　）
A．2 B．12 C． D．8
【答案】A
【分析】首先连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，则有；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△PCD∽△BCP，即可推得，AP+BP=AP+PD，即2AP+BP=2(AP+PD)，再应用勾股定理，求出AP+BP的最小值为多少即可．
【详解】解： 如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，
，
∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，∴2AP+BP=2(AP+PD)
要使2AP+BP最小，只要AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，
即：AP+BP=AP+PD最小值为AD，在Rt△ACD中，CD=1，AC=6，
∴AD==，2AP+BP的最小值为2，故选：A．
【点睛】此题主要考查了最短路线问题，圆周角定理的应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握.
3．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值．
【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，∴，
∵G是BE的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．故选：C．
【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值．
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
【答案】A
【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．
【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH
四边形ABCD是正方形，
，，即
又，即
由三角形的三边关系定理得：
由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上
由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆A的交点时，取得最小值，最小值为
，
在中，由勾股定理得
即的最小值为 故选：A．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
5．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取E（-10，0），证明△AEC∽△ACD，得到CE=CD，则可将BC+CD的最小值转化为BE的长，再利用勾股定理计算即可．
【详解】解：∵A（-12，0），B（0，4），D（-4，0），∴OA=12，OD=4，则AD=8，AC=4，
取E（-10，0），则AE=2，DE=6，在△AEC和△ACD中，∠CAE=∠DAC，，
∴△AEC∽△ACD，∴，即CE=CD，则BC+CD=BC+CE≥BE，
即BC+CD的最小值为BE的长，即为=，故选A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短原理，值得强调的是，本题是一类典型几何最值问题，构造“子母型相似”是解答此问题的关键．
二、填空题
6．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=PC，推出2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），根据PD+PT≥DT，求出DT即可解决问题．
【详解】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵∠Q=∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=180°，
∴A，P，B，Q四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC OT，
∴，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，
∴，∴PT=PC，∴2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT=，∴2PD+PC≥，
∴2PD+PC的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值______________的最小值_______
【答案】
【分析】①在BC上取点D，使CD=BC=1，利用相似三角形的判定和性质推出，得到，即可求得的最小值AD的长；
②在AC上取点E，使CE=，同①的方法即可求得的最小值BE的长．
【详解】①在BC上取点D，使CD=BC=1，连接AD，PD，PC，由题意知：PC=2，
∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴，
且，∴，
∴的最小值为，故答案为：；
②在AC上取点E，使CE=，连接PE，BE，PC，
∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．
8．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，，，
，，，，
，又在中，，，，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
9．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】取点，连接，．根据，有，即可证明，即有，进而可得，则有，利用勾股定理可得，则有，问题得解．
【详解】解：如图，取点，连接，．
，，，，，，
，，，
，，，
，，，，
，（当B、P、T三点共线时取等号）
的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
10．（2023·四川泸州·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解．
【详解】解：连接，∵为的直径，，∴，
∵在中，，∴，，
在上截取，过作于，于，连接、，
∴四边形是矩形，，
∴，，∴，
在中，，
∵，是公共角，∴，
∴，则， ∴，当共线时取等号，
故的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的基本概念、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，解答的关键是截取在上截取，构造相似三角形求得是关键．
11．（2023.广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋EF 的最小值为 ．
【答案】
【分析】连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，先证△FAE∽△GAF，得出，根据两点间距离最短得出FG+FD≥GD，即，当点G，F,D三点在同一直线上时GF+FD最短即最短=DG，然后利用30°直角三角形先证求出AH=，利用锐角三角函数求出GH=AG·cos30°=，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，
∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，
∵，，∴，∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，
∴，∴，∴FG+FD≥GD，即
当点G，F,D三点在同一直线上时GF+FD最短即最短=DG，
在Rt△GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，
∴AH=，GH=AG·cos30°=，
∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=，
∴GD=，∴．故答案为．
【点睛】本题考查圆与相似，解直角三角形联合应用，最短路径问题，勾股定理，利用辅助线构造三角形相似是解题关键．
12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．先证明，即有，可得，再根据，（当P、G、D三点共线时取等号）即可求解．
【详解】解：连接，在上取一点，使得，连接，，过点作交的延长线于．
，，，，，，
，，，，
四边形是菱形，，，
，，即，
，，，
，（当P、G、D三点共线时取等号）
，的最大值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，构造是解题的关键．
三、解答题
13．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？
【答案】
【分析】在BC上取点D，使 ，连接AD，PC，可得 ，从而得到△PCD∽△BCP，可得到 ，从而，进而的最小值为AD，即可求解．
【详解】解：如图，在BC上取点D，使 ，连接AD，PC，
由题意得：PC=2，∵CD=1，BC=4∴ ，
∵∠PCB=∠PCD，∴△PCD∽△BCP，∴ ，
∴ ，∴，∵AP+PD≥AD，∴的最小值为AD，
∵ ，∴的最小值为． 故答案为：
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
14．（2023·广东·九年级专题练习）如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
【答案】
【分析】连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．由题意易证，即得出，从而得出，由此可知当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长，最后在中利用勾股定理求出DE的长即可．
【详解】如图，连接OP，在射线OA上截取AE=6，连接PE．
∵C是OA的中点，∴．
∴在△OPC和△OEP中，，∴，
∴，即，∴，.
∴当P、D、E三点共线时，最小，最小值即为DE的长，如图，
在中， ，∴ 的最小值为．
【点睛】本题考查同圆半径相等、三角形相似的判定和性质和勾股定理等知识．正确作出辅助线并理解当P、D、E三点共线时，最小，最小值为DE的长是解答本题的关键．
15．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值．
【答案】
【分析】作于，取的中点，连接，，，根据切线的性质得为的半径，接着证明，得到，所以，而（当且仅当、、共线时取等号），从而计算出得到的最小值．
【详解】解：如图所示，作于，取的中点，连接，，，
为切线，为的半径，，
，，而，，
，，，
而（当且仅当、、共线时取等号），
而，∴的最小值为，即的最小值为．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是利用相似比确定线段．
16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：

图1 图2 图3
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明∽，得到，即可得到结论成立；（2）在BC上取一点G，使得BG=1，由△PBG∽△CBP，得到，当D、P、G共线时，的值最小，即可得到答案；（3）在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，与（2）同理得到，当点P在DG的延长线上时，，即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：如图，在BC上取一点G，使得BG=1，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴；
∵，∴当D、P、G共线时，的值最小，∴最小值为：；
（3）如图，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，
与（2）同理，可证，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD sin60°=，CF=2，在Rt△GDF中，DG=，
∴，当点P在DG的延长线上时，，
∴最大值为：.
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
17．（2022·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）13．
【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度．
（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度．
【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值．　故答案为：．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使，则有，
∵，∴∽，得，
∴，故，仅当B、P、D三点共线时，
的最小值．
（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，
则，∵，∴∽，∴，
∴，∴，仅当E、P、B三点共线时，
，即的最小值为13．
【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出∽和∽是解题的关键．本题较难．
18．（2024·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，∴．又∵，∴，
∴，即，∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．∴的最小值为；
②∵，∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，∴．
又∵，∴，∴，即，∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．∴的最小值为；
④∵，∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
19．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得
所以．
又因为，所以最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值．【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
【答案】[问题解决]；[尝试应用]，见详解；[能力提升]
【分析】[问题解决]利用勾股定理即可求出，最小值为；
[尝试应用]在上取一点C使OC=4，通过证明得到，，所以，再求出AC的值，问题即可求解；
[能力提升]由BD= 3CD确定点D的运动轨迹是一个圆，过点D作于G，若△ABD面积的最大，则DG最大，所以DG过圆心，进而求解本题.
【详解】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，故答案为：；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连续PO，PC，AC
，，，
，，，，
过点C作于D，sin，
，，
在中，，最小值为；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则，
，，，，
连接DE，DF，由，
点E，F到BD，CD的距离相等，，DE，DF是的内，外角平分线，，
点D是平面内任意一点，点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时的面积最大，，EO=3，
在中，，
，，
，△ABD面积的最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键.
20．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；②；③或(3)
【分析】（1）根据勾股定理得到，则点是关于点的勾股点；根据勾股定理结合定义得到，据此画图即可；
（2）①根据定义可得，利用菱形的性质和勾股定理可得，即可证明；②利用勾股定理求出，则点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，即可当（点O在）三点共线时，最大，据此求解即可；如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．当点在左侧时，连接．先证明，过点作，求出，，过点作，则四边形为正方形，则，，即可得到；当点在右侧时，同理求解即可．
（3）如图4，在上取点，使，则，先求出，进而证明，得到，则，故当A、E、F共线时，值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴，∴点是关于点的勾股点；
∵点是关于点的勾股点，∴
∵，∴，如图所示，即为所求；
（2）解：①∵点是关于点的勾股点，∴，
∵菱形中，，∴在中，，∴；
②∵，，∴在中，，∴，
∴点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，
∴当（点O在）三点共线时，最大，最大值为；
③如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．
当点在左侧时，连接．当时，∵，∴，
过点作，∴点为中点，即，
∴，，
过点作，则四边形为正方形，
∴，∴，∴．
当点在右侧时，可得点与点关于对称，∴∴或
（3）解：如图4，在上取点，使，则，
∵是关于点的勾股点，∴，
在中，，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∴当A、E、F共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
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【全国通用】2024中考数学二轮复习（重难点题型突破）
专题05 几何最值问题-5.4 阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
考向一　阿氏圆模型（1）
例1．（2023·山西·九年级专题练习）如图，在中，，以点B为圆心作圆B与相切，点P为圆B上任一动点，则的最小值是___________．
例2．（2023·成都市·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值_______．的最小值_______
例3．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

考向二　阿氏圆模型（2）
例1．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
例2．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

例3．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=3，则有==，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴=，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
例4．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC PB的最大值．
例5．（2022·广东·广州市九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且，则4PD+2PC的最小值为_______．
一、选择题
1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
2．（2023·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP，BP，则2AP+BP的最小值为（　　）
A．2 B．12 C． D．8
3．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为(　　)
A．6 B．4 C．4 D．6
5．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，以点A为圆心，4个单位长度为半径作圆，点C是⊙上的一个动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．
7．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值______________的最小值_______
8．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
9．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．
10．（2023·四川泸州·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
11．（2023.广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋EF 的最小值为 ．
12．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
三、解答题
13．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，的半径为2，点P是上的一动点，则的最小值为？
14．（2023·广东·九年级专题练习）如图，点A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB上，且OD＝4，动点P在上．求2PC＋PD的最小值．
15．（2022·重庆·九年级专题练习）如图，在RT△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为，点P为圆B上的一动点，求的最小值．
16．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：

图1 图2 图3
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．
17．（2022·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
18．（2024·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，②，③，④的最小值．
19．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得
所以．
又因为，所以最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值．【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
20．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
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