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专题06 角平分线模型
【模型说明】
在初几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】
【模型】一、角平分线垂两边
角平分线+外垂直
当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.
【模型】二、角平分线垂中间
角平分线+内垂直
当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.
【模型】三、角平分线构造轴对称
角平分线+截线段等
当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.
【模型】四、角平分线加平行线等腰现
角平分线+平行线
当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
【例题精讲】
【题型一、角平分线垂两边】
例1．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．
【答案】证明过程见详解
【分析】如图所示（见详解），过点作的延长线于，平分，于点，可证，，可求出，可证，则有，，由此即可求证．
【详解】解：如图所示，过点作的延长线于，
∵平分，，
∴，为公共边，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴在，中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，本题难点在于要进行二次全等证明．
例2．在中，和的平分线交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)当为等边三角形时，求证：；
(3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查角平分线性质及判定，内角和定理，全等性质及判定，等边三角形性质．
（1）过点作，，，利用角平分线性质即可得到，，再利用角平分线判定即可得到本题答案；
（2）作于，利用等边三角形性质得，，即可得到本题答案；
（3）设，作于，于，于，利用三角形内角和定理得，再利用全等三角形判定及性质即可得到本题答案．
【详解】（1）证明：过点作，，，垂足分别为，
，
∵在的平分线上，
∴，
∵在的平分线上，
∴，
∴，
∴点在的平分线上，
∴平分；
（2）证明：∵为等边三角形，平分，
∴，同理，
作于，
，
∵平分，，
∴，同理，
∴，
∴；
（3）解：成立，理由如下：
设，作于，于，于，则点在线段上，点在线段上，
，
∵和的平分线，交于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，分别平分，，
∴，
∵，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
变式1．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP= ．
【答案】54°
【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得出答案
【详解】
解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠BPC=36°，
∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-36°），
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x-（x-36°）-（x-36°）=72°，
∴∠CAF=108°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，
PA=PA，PF=PM，
∴Rt Rt（HL），
∴∠FAP=∠PAC=54°．
故答案为：54°．
【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF是解决问题的关键．
变式2．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，根据角平分线的定义可证得DG=DH=DK，从而根据角平分线的判定定理可证得结论；
（2）作，，在上取一点，使，通过证明和得到，从而根据等角对等边判断即可；
（3）延长至，使，连接，通过证明得到，再结合即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图所示，过D点分别作三边的垂线，垂足分别为G、H、K，
∵，分别是和的角平分线，
∴，
∴平分；
（2）证明：如图，作，，在上取一点，使．
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
在四边形中，，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴；
（3）证明：延长至，使，连接．
∵，分别是和的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的性质与判断，以及全等三角形的判定与性质，灵活结合角平分线的性质构造辅助线是解题关键．
【题型二、角平分线垂中间】
例．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析
【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD；
（2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形．
【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：
如图，延长BE、AC交于点H，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝∠AEH＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠HAE，
在△BAE和△HAE中，
，
∴△BAE≌△HAE（ASA），
∴BE＝HE＝BH，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，
∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，
在△BCH和△ACD中，
，
∴△BCH≌△ACD（ASA），
∴BH＝AD，
∴BE＝AD．
（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：
∵AC＝BC，AF＝BF，
∴CF⊥AB，
∴AG＝BG，
∴∠GAB＝∠GBA，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，
∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，
∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，
∵∠BEG＝90°，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴EG＝EB，
∴△BEG是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．
变式1．如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12
【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案；
任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案；
应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论．
【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等；
任务二：……
，
，
；
应用：延长、交于点，

平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
变式2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【答案】见解析
【分析】分别延长BE、CA交于点F，首先结合题意推出△CFE≌△CBE，从而得到BE＝EF＝BF，然后证明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出结论．
【详解】证明：分别延长BE、CA交于点F，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC＝∠FEC＝90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCE＝∠BCE．
在△CFE与△CBE中，
∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，
∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝BF．
在△CFE与△CAD中，
∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝ 90°，∴∠F＝∠ADC．
在△BFA与△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，
∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．
∴BE＝CD．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．
【题型三、角平分线构造轴对称】
例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
【答案】AC+BD=AB，理由见见解析
【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解．
【详解】解：AC+BD=AB，证明如下：
在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示：
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，
∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD，
在△BEF和△BED中，，∴（SAS），∴∠BFE=∠D，
∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，
∵∠AFE+∠BFE=180°，
∴∠AFE+∠D=180°，∴∠AFE=∠C，
在△AEF和△AEC中，，
∴（AAS），∴AF=AC，
∵AF+BF=AB，
∴AC+BD=AB．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
变式1．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解；
（2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解．
【详解】（1）解：在上截取，连接．

∵平分，
∴．
在和中，
∴
∴，．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
变式2．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
【答案】40°
【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得
【详解】解：如图，在上截取，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
，，
∴DE=DF，
，
又，，
，
，
在和中，
，
故．
【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
【题型四、角平分线加平行线等腰现】
例.如图,//,、分别平分和.探究:在线段上是否存在点，使得.
分析：已知条件中出现、分别平分和，点为角平分线上任一点时，猜侧属于角平分线基本模型四.辅助线的作法可尝试过点作//，或//.即有()是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
解析：点作//.
∥,.
又平分,
即,.
又∥,∥,
同理可得.
又.
线段上存在点，使得.
变式.如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________.
【分析】这里出现角平分线，又有平行，应该想到模型3，即可构造出等腰三角形，结合相似模型，即可解出答案.
【解析】：如图，延长BQ交射线EF于点M.
E、F分别是AB、AC的中点，
EF//BC
∠CBM =∠EMB
BM平分∠ABC，∠ABM =∠CBM
∠EMB =∠EBM，EB =EM
EP +BP =EP +PM =EM
CQ =CE，EQ =2CQ
由EF//BC得，
【课后训练】
1．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
2．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型．过作，交的延长线于，证，进而得出①正确，再证，进而得到③④正确，没有条件能证明②，进而即可解决问题．
【详解】
解：如图，过作，交的延长线于，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故③正确；
，故④正确；
，
，故②错误，
综上所述：正确的是①③④．
故选：D．
3．如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为 ．用含的式子表示）

【答案】
【分析】过作于，于，即可得到，得到，再由四边形内角和可得，即可根据求解．
【详解】过作于，于，则

∵平分，
∴，
∵点D是的中点，且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形中，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，利用角平分线的性质作辅助线是解题的关键．
4．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ．
【答案】5
【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解．
【详解】过D作，，交延长线于F，
∵AD平分，，，
∴，，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．
5．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ．
【答案】①②③④
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；过点P作，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，③正确；由三角形全等的判定定理可得出，故可得出，再由可得出，④正确；即可得出结论．
【详解】解：∵、分别是与的角平分线，，
∴，
∴，①正确；
过点P作，
∵、分别是与的角平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线，②正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，，
∴，
∴，③正确；
在与中，，
∴，
同理，，
∴，
两式相加得，，
∵，
∴，④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
6．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】如下图，先构造并证明，从而得出，再根据可推导出，最后在Rt△ACM中求解．
【详解】解析：连接，过点作于点，于点，
，
，
，，
，
，，
，．
设，则，
．
．
设，则，
，，
在中，由勾股定理得
解得．
．
【点睛】本题考查了构造并证明全等三角形、勾股定理的运用，解题关键是利用进行角度转化，得到边．
7．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，
(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；
(2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)结论仍成立，理由见解析
【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键．
（1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）同（1）可证明．
【详解】（1）解：过作于，于，
∵是的平分线，
∴，，
∵，，
∴
，
∴．
（2）画出图形，结论仍成立，
理由如下：
过作于，于，
∵是的平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
8．如图，在四边形中，于M，，．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先作辅助线，证明，再证明，最后用邻补角的定义和等量代换即可证明；
（2）利用（1）中三角形全等，得出相等线段，再等量代换即可．
【详解】（1）证明：如图，过C点作，交的延长线于E点．
∵，，
∴，
在和中，
∴．
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴．
（2）由(1)知，
，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，通过添加辅助线，证明三角形全等是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台
专题06 角平分线模型
【模型说明】
在初几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题。不少同学遇到这类问题时，不清楚应该怎样去作辅助线。实际上这类问题是有章可循的，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。能做到这三点，就能在解题时得心应手。
【知识总结】
【模型】一、角平分线垂两边
角平分线+外垂直
当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.
【模型】二、角平分线垂中间
角平分线+内垂直
当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.
【模型】三、角平分线构造轴对称
角平分线+截线段等
当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题.
【模型】四、角平分线加平行线等腰现
角平分线+平行线
当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题.
【例题精讲】
【题型一、角平分线垂两边】
例1．如图，四边形中，平分，于点，．求证：．
例2．在中，和的平分线交于点，连接．
(1)求证：平分；
(2)当为等边三角形时，求证：；
(3)当不是等边三角形，且时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请加以证明，若不成立，说明理由．
变式1．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=36°，则∠CAP= ．
变式2．如图1，在中，，分别是和的角平分线，和相交于点．
（1）求证：平分；
（2）如图2，过作于点，连接，若，，求证：；
（3）如图3，若，求证：．
【题型二、角平分线垂中间】
例．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．
（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；
（2）判断BEG的形状，并说明理由．
变式1．如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．

该问题的解答过程如下：
解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，

平分，
．
，
．
在和中，，
（依据1）
（依据2），，
，．
……
任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________；
任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整；
应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．

变式2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．求证：BE＝CD．
【题型三、角平分线构造轴对称】
例．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明．
变式1．如图，在五边形中，，平分，．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
变式2．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
【题型四、角平分线加平行线等腰现】
例.如图,//,、分别平分和.探究:在线段上是否存在点，使得.
变式.如图所示，在△ABC中，BC =6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ =CE时，EP+BP =________.
【课后训练】
1．如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
2．已知：如图，平分，，，下列结论：①；②；③， .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
3．如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为 ．用含的式子表示）

4．已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是 ．
5．如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有 ．
6．如图，四边形中，，为上一点，连接，，，若，则线段的长为 ．
7．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动，
(1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：；
(2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由．
8．如图，在四边形中，于M，，．求证：
(1)；
(2)．

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