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上海市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、填空题：（本题共有12个小题，每小题4分，满分48分）
1．（2023高一上·上海市月考）函数的定义域是　 　.
2．（2023高一上·上海市月考）已知函数（其中且）的图像恒过定点，则点坐标为　 　.
3．（2023高一上·上海市月考）设全集，集合，则　 　.
4．（2023高一上·上海市月考）若函数是定义在上的奇函数，则　 　.
5．（2023高一上·上海市月考）函数的值域是　 　.
6．（2023高一上·上海市月考）已知不等式对一切不为零的实数恒成立，则实数的取值范围是　 　.
7．（2023高一上·上海市月考）已知函数是上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的的取值范围为　 　.
8．（2023高一上·上海市月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是　 　.
9．（2023高一上·上海市月考）函数在上是严格减函数，则的取值范围是　 　.
10．（2023高一上·上海市月考）函数的定义域为，值域为，则的最大值为　 　.
11．（2023高一上·上海市月考）“求方程的解”有如下解题思路：设，则是上的严格减函数，且.，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，可得不等式的解集为　 　.
12．（2023高一上·上海市月考）已知.函数与同时满足以下两个条件：①对任意实数都有或；②总存在，使得成立，则的取值范围是　 　.
二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）
13．（2023高一上·上海市月考）已知，则“”是“”的（　　）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2023高一上·上海市月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
15．（2023高一上·上海市月考）下列选项中正确的是（　　）
A．函数上的单调递减区间是
B．若对于区间上的函数，满足对于任意的，则函数在上是增函数
C．已知函数满足，则
D．已知函数满足：当时，，则
16．（2023高一上·上海市月考）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
三、解答题：（本题共有4大题，满分36分解题时要有必要的解题步骤）
17．（2023高一上·上海市月考）已知函数，其中.
（1）讨论函数的奇偶性：
（2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.
18．（2023高一上·上海市月考）已知，函数在区间上的最小值为
（1）求函数的表达式；
（2）若，求的值及此时函数的最大值.
19．（2023高一上·上海市月考）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量.
20．（2023高一上·上海市月考）已知函数对一切实数都有成立，且.
（1）求的值和的解析式；
（2）将函数的图象向左平移一个单位得到函的图象，若，且，求的取值范围；
（3）若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：令，
解得，
定义域是.
故答案为：.
【分析】根据二次根式和分母有意义的条件列式求解即可.
2．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于函数 ，
令x-1=0，x=1，
则y=5，
即函数，
的图象恒过定点(1，5)，
即点P坐标为(1，5)，
故答案为(1，5)：.
【分析】根据指数函数的性质，令令x-1=0，求出y的值，即可得答案.
3．【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解： ∵集合，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先解不等式，再求补集即可.
4．【答案】0
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵是定义在上的奇函数，
∴，
即a=0，b=0，
∴ 0，
故答案为：0.
【分析】根据奇函数的性质确定a、b的值求解即可.
5．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴，
函数值域是，
故答案为：.
【分析】化简求出范围，再求出值域即可.
6．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：
，
当时取等号，
即时，
∴，
即，
实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据不等式的基本性质求出不等式的取值，再确定实数的取值范围.
7．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∵函数是上的奇函数，且是上的严格减函数，
∴在上的严格减函数，
当时，无解，
当时， 的取值范围为，
故答案为：.
【分析】根据奇函数的性质求出，判断出在上的严格减函数，分情况讨论取值范围.
8．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：当m=0时，，定义域为R，
当m0时
只要满足m>0且即可
解得 实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的非负性和二次函数的性质列出不等式求出m的取值范围.
9．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：对数定义可知a>且a1.
令t=3- ax，所以 t在上是减函数，
根据复合函数单调性可知在(1.2)上是增函数，即a>1.
3-2a≥0即可且满足真数恒大于零，即只需
∴.
故答案为：.
【分析】根据对数函数的性质确定a的取值范围，再根据符合函数的性质求出a的具体取值范围.
10．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解： ，
函数图象如图所示，
令 ，
解得或者
根据图像可得，
的最大值为，
故答案为：.
【分析】写成分段函数，画出函数图象，确定b-a的最大值.
11．【答案】
【知识点】不等式的证明
【解析】【解答】解：不等式 变形
为
令u =x，v=(x - 2) ，
则 u +u>v +v
函数f(x) =x +x，
知f(x)在R上为增函数，
不等式可化为x > (x- 2) ，
解得1∴不等式的解集为：(1，4).
故答案为：.
【分析】根据题意构造新的函数，判断函数的单调性，列出不等式求出解即可.
12．【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：∵，
∴时，，
对于 成立 ，
只要成立即可，
故答案为：.
【分析】列出不等式求出取值范围.
13．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：∵，
∴根据对数函数的单调递增性可知a>b>0，
∴成立，
但是成立时，a>b，
不等得到，
∴充分不必要条件
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的性质可得a>b>0，再根据指数函数的性质可得a>b，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
14．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数的定义域为 ，
∴，
∴，
解得
故答案为：D .
【分析】根据函数的定义域列出不等式，求出现在函数的定义域即可.
15．【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解： A：函数上的单调递减区间是，选项错误；
B：若对于区间上的函数，满足对于任意的，
则函数在上是减函数，选项错误；
C：已知函数满足，则，选项正确；
D：已知函数满足：当时，，则，选项正确；
故答案为：D.
【分析】Ａ选项在每个象限内单调递减，Ｂ选项根据函数的单调性即可解决．
16．【答案】B
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解： 关于的方程有四个不同的实数解
当k= 0时，原式为 ，解得x=0，不满足题意；
当k 0时
可转化成故k ≠ 0，则
|x| - kx (x - 4)=|x| - k|x| (x -4)=|x|[1 - k|x|(x-4)] =0
∴|x| = 0或1-k|x|(x-4) = 0，
∴x =0或1 -k|x|(x-4)= 0，
∴x=0时，是此方程的1个根，
故关于x的方程1-k|x|(x-4)= 0有3个不同的非零非4的实数解，
∴
有3个不同的非零非4的实数解，
即函数，
有三个不同的交点，
根据图像可知，
，
即，
故答案为：B.
【分析】利用转换思想，利用图形结合即可求出.
17．【答案】（1）解：当时，，
所以的定义域为，关于原点对称，
又，所以是偶函数；
当时，，所以，
所以是非奇非偶函数；
（2）解：由题意得任取且，则恒成立，
即，即，
因为，所以，所以恒成立，
又，所以，则，
所以实数的取值范围
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)、当时，，根据偶函数的性质判断即可；
(2)、根据函数的单调递增性，列出不等式求出a的取值范围.
18．【答案】（1）解：
当，即时，，即；
当，即时，在上单调递减，故；
当，即时，在上单调递增，故；
所以函数的表达式为；
（2）解：由（1）知
若显然不合题意：
若，显然不合题意；
若，则，即，解得或（舍）
所以时，，即，
因为，所以，
所以当时，函数的最大值为5.
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】 (1)、 函数变成顶点式，根据二次函数的性质确定最小值，求出函数的表达值.
(2)、 根据(1)确定的表达式，把值代入求出最大值.
19．【答案】（1）解：每台机器人的平均成本，
当且仅当，即时，等号成立，
所以若使每台机器人的平均成本最低，问应买300台；
（2）解：当时，，
当时，300台机器人每日的平均分拣量的最大值为144000件；
当时，300台机器人每日的平均分拣量为件，
所以300台机器人每日的平均分拣量为144000件，
若传统人工分拣量达到最大值时，则需人数为人.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)、 根据均值不等式的性质求出最低成本.
(2)、 当时，求出最大分拣量；当时，求出最大分拣量.
20．【答案】（1）解：令，则，得，
再令，则，得；
（2）解：由题可得，
由，及，得且，
所以，设，
令，则，
因为，所以，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，即的取值范围为；
（3）解：，令，且，则的图象如下，
则由，得，
记方程（*）的根为，当或时，原方程有三个不同的实数解，如上图，
记，所以或解得或，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】 (1)、 令，求出 的值 ，再令，再求出 的解析式.
(2)、 由题可得，设，根据函数的递减性质证明即可.
(3)、 ，令，且，则，构造新的函数，数形结合列出不等式求出k的取值范围.
1 / 1上海市重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、填空题：（本题共有12个小题，每小题4分，满分48分）
1．（2023高一上·上海市月考）函数的定义域是　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：令，
解得，
定义域是.
故答案为：.
【分析】根据二次根式和分母有意义的条件列式求解即可.
2．（2023高一上·上海市月考）已知函数（其中且）的图像恒过定点，则点坐标为　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：对于函数 ，
令x-1=0，x=1，
则y=5，
即函数，
的图象恒过定点(1，5)，
即点P坐标为(1，5)，
故答案为(1，5)：.
【分析】根据指数函数的性质，令令x-1=0，求出y的值，即可得答案.
3．（2023高一上·上海市月考）设全集，集合，则　 　.
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解： ∵集合，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】先解不等式，再求补集即可.
4．（2023高一上·上海市月考）若函数是定义在上的奇函数，则　 　.
【答案】0
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵是定义在上的奇函数，
∴，
即a=0，b=0，
∴ 0，
故答案为：0.
【分析】根据奇函数的性质确定a、b的值求解即可.
5．（2023高一上·上海市月考）函数的值域是　 　.
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴，
函数值域是，
故答案为：.
【分析】化简求出范围，再求出值域即可.
6．（2023高一上·上海市月考）已知不等式对一切不为零的实数恒成立，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较大小
【解析】【解答】解：
，
当时取等号，
即时，
∴，
即，
实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据不等式的基本性质求出不等式的取值，再确定实数的取值范围.
7．（2023高一上·上海市月考）已知函数是上的奇函数，且是上的严格减函数，若，则满足不等式的的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴，
∵函数是上的奇函数，且是上的严格减函数，
∴在上的严格减函数，
当时，无解，
当时， 的取值范围为，
故答案为：.
【分析】根据奇函数的性质求出，判断出在上的严格减函数，分情况讨论取值范围.
8．（2023高一上·上海市月考）若函数的值域为，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：当m=0时，，定义域为R，
当m0时
只要满足m>0且即可
解得 实数的取值范围是，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的非负性和二次函数的性质列出不等式求出m的取值范围.
9．（2023高一上·上海市月考）函数在上是严格减函数，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间
【解析】【解答】解：对数定义可知a>且a1.
令t=3- ax，所以 t在上是减函数，
根据复合函数单调性可知在(1.2)上是增函数，即a>1.
3-2a≥0即可且满足真数恒大于零，即只需
∴.
故答案为：.
【分析】根据对数函数的性质确定a的取值范围，再根据符合函数的性质求出a的具体取值范围.
10．（2023高一上·上海市月考）函数的定义域为，值域为，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】解： ，
函数图象如图所示，
令 ，
解得或者
根据图像可得，
的最大值为，
故答案为：.
【分析】写成分段函数，画出函数图象，确定b-a的最大值.
11．（2023高一上·上海市月考）“求方程的解”有如下解题思路：设，则是上的严格减函数，且.，所以原方程有唯一解，类比上述解题思路，可得不等式的解集为　 　.
【答案】
【知识点】不等式的证明
【解析】【解答】解：不等式 变形
为
令u =x，v=(x - 2) ，
则 u +u>v +v
函数f(x) =x +x，
知f(x)在R上为增函数，
不等式可化为x > (x- 2) ，
解得1∴不等式的解集为：(1，4).
故答案为：.
【分析】根据题意构造新的函数，判断函数的单调性，列出不等式求出解即可.
12．（2023高一上·上海市月考）已知.函数与同时满足以下两个条件：①对任意实数都有或；②总存在，使得成立，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：∵，
∴时，，
对于 成立 ，
只要成立即可，
故答案为：.
【分析】列出不等式求出取值范围.
二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）
13．（2023高一上·上海市月考）已知，则“”是“”的（　　）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：∵，
∴根据对数函数的单调递增性可知a>b>0，
∴成立，
但是成立时，a>b，
不等得到，
∴充分不必要条件
故答案为：A.
【分析】根据对数函数的性质可得a>b>0，再根据指数函数的性质可得a>b，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
14．（2023高一上·上海市月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：∵函数的定义域为 ，
∴，
∴，
解得
故答案为：D .
【分析】根据函数的定义域列出不等式，求出现在函数的定义域即可.
15．（2023高一上·上海市月考）下列选项中正确的是（　　）
A．函数上的单调递减区间是
B．若对于区间上的函数，满足对于任意的，则函数在上是增函数
C．已知函数满足，则
D．已知函数满足：当时，，则
【答案】D
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解： A：函数上的单调递减区间是，选项错误；
B：若对于区间上的函数，满足对于任意的，
则函数在上是减函数，选项错误；
C：已知函数满足，则，选项正确；
D：已知函数满足：当时，，则，选项正确；
故答案为：D.
【分析】Ａ选项在每个象限内单调递减，Ｂ选项根据函数的单调性即可解决．
16．（2023高一上·上海市月考）若关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解： 关于的方程有四个不同的实数解
当k= 0时，原式为 ，解得x=0，不满足题意；
当k 0时
可转化成故k ≠ 0，则
|x| - kx (x - 4)=|x| - k|x| (x -4)=|x|[1 - k|x|(x-4)] =0
∴|x| = 0或1-k|x|(x-4) = 0，
∴x =0或1 -k|x|(x-4)= 0，
∴x=0时，是此方程的1个根，
故关于x的方程1-k|x|(x-4)= 0有3个不同的非零非4的实数解，
∴
有3个不同的非零非4的实数解，
即函数，
有三个不同的交点，
根据图像可知，
，
即，
故答案为：B.
【分析】利用转换思想，利用图形结合即可求出.
三、解答题：（本题共有4大题，满分36分解题时要有必要的解题步骤）
17．（2023高一上·上海市月考）已知函数，其中.
（1）讨论函数的奇偶性：
（2）若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，
所以的定义域为，关于原点对称，
又，所以是偶函数；
当时，，所以，
所以是非奇非偶函数；
（2）解：由题意得任取且，则恒成立，
即，即，
因为，所以，所以恒成立，
又，所以，则，
所以实数的取值范围
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】 (1)、当时，，根据偶函数的性质判断即可；
(2)、根据函数的单调递增性，列出不等式求出a的取值范围.
18．（2023高一上·上海市月考）已知，函数在区间上的最小值为
（1）求函数的表达式；
（2）若，求的值及此时函数的最大值.
【答案】（1）解：
当，即时，，即；
当，即时，在上单调递减，故；
当，即时，在上单调递增，故；
所以函数的表达式为；
（2）解：由（1）知
若显然不合题意：
若，显然不合题意；
若，则，即，解得或（舍）
所以时，，即，
因为，所以，
所以当时，函数的最大值为5.
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】 (1)、 函数变成顶点式，根据二次函数的性质确定最小值，求出函数的表达值.
(2)、 根据(1)确定的表达式，把值代入求出最大值.
19．（2023高一上·上海市月考）某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元.
（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？
（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，当机器人日平均分拣量达最大值时，若完成这些分拣任务，求所需要的传统的人工数量.
【答案】（1）解：每台机器人的平均成本，
当且仅当，即时，等号成立，
所以若使每台机器人的平均成本最低，问应买300台；
（2）解：当时，，
当时，300台机器人每日的平均分拣量的最大值为144000件；
当时，300台机器人每日的平均分拣量为件，
所以300台机器人每日的平均分拣量为144000件，
若传统人工分拣量达到最大值时，则需人数为人.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)、 根据均值不等式的性质求出最低成本.
(2)、 当时，求出最大分拣量；当时，求出最大分拣量.
20．（2023高一上·上海市月考）已知函数对一切实数都有成立，且.
（1）求的值和的解析式；
（2）将函数的图象向左平移一个单位得到函的图象，若，且，求的取值范围；
（3）若，关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：令，则，得，
再令，则，得；
（2）解：由题可得，
由，及，得且，
所以，设，
令，则，
因为，所以，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，即的取值范围为；
（3）解：，令，且，则的图象如下，
则由，得，
记方程（*）的根为，当或时，原方程有三个不同的实数解，如上图，
记，所以或解得或，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】 (1)、 令，求出 的值 ，再令，再求出 的解析式.
(2)、 由题可得，设，根据函数的递减性质证明即可.
(3)、 ，令，且，则，构造新的函数，数形结合列出不等式求出k的取值范围.
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