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贵州省贵阳市第二十八中学2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷（1月）
一、选择题:以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分.
1．（2020九上·宝安期中）已知x=1是一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0的一个根，则m的值为（　　）．
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0，
∴m-2+4-m2=0，
∴m2-m-2=0，
∴（m+1）（m-2）=0，
∴m1=-1，m2=2，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m=-1.
故答案为：B.
【分析】把把x=1代入一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0，得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程二次项系数不能为，得出m≠2，即可得出答案.
2．（2023九上·贵阳月考）如图所示，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若=，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，=，
∴，
∴=.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解.
3．（2023九上·贵阳月考） 已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：AB：BC=4：3，
A、长：宽=2：1.5=4：3，A符合题意；
B、长：宽=2：1.2=5：8，B不符合题意；
C、长：宽=3：2，C不符合题意；
D、长：宽=2.5：1.5=5：3，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据两个矩形长、宽对应成比例即可相似进行分析解答即可.
4．（2023九上·贵阳月考）如图所示，电线杆上的路灯距离地面6 m，身高 1.2 m的小丽(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20 m的A处，则小丽的影子AM长约为（　　）
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
解得AM= 5 m.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得，代入数据得，解之即可求解.
5．（2023九上·贵阳月考）点(-5，y1)，(-3，y2)，(3，y3)都在反比例函数y=(k>0)的图象上，则（　　）
A．y1>y2>y3 B．y3>y1>y2 C．y2>y1>y3 D．y1>y3>y2
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k>0，
∴反比例函数y=(k>0)的图象在第一、三象限，在每一个象限，y随x的增大而减小，
∵(-5，y1)，(-3，y2)，(3，y3)，
∴(-5，y1)，(-3，y2)在第三象限，(3，y3)在第一象限，
∴y3>y1>y2.
故答案为：B.
【分析】根据k>0得反比例函数y=(k>0)的图象在第一、三象限，在每一个象限，y随x的增大而减小，结合已知得(-5，y1)，(-3，y2)在第三象限，(3，y3)在第一象限，根据反比例函数性质即可得解.
6．（2023九上·贵阳月考）如图所示，一块长方形绿地的长为100 m，宽为50 m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4 704 m2，则根据题意可列出方程（　　）
A．5 000-150x=4 704 B．5 000-150x-x2=4 704
C．5 000-150x+=4 704 D．(100-x)(50-x)=4 704
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得 (100-x)(50-x)=4704.
故答案为：D.
【分析】如图，把两条道路平移到边上，根据图形结合题意即可列出方程.
7．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（　　）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．
故答案为：B．
【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。
8．（2023九上·贵阳月考）函数y=与y=kx+k(k为常数且k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象得，y=中k＞0，y=kx+k中一次项系数k＞0，常数k＞0，A符合题意；
B、由图象得，y=中k＜0，y=kx+k中一次项系数k＞0，常数k＜0，B不符合题意；
C、由图象得，y=中k＞0，y=kx+k中一次项系数k＞0，常数k＜0，C不符合题意；
D、由图象得，y=中k＞0，y=kx+k中一次项系数k＜0，常数k＞0，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数和一次函数的系数与图象的关系，对选项进行逐一分析即可判断求解.
9．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（　　）
A． B．3 C． D．5
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC于点F，AF=3，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴CF+CE=9，
在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，
∴，
解得x=5，
∴CE=5.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC=45°，从而得△AEF是等腰Rt△，由△EFC的周长为12，得CF+CE=9，在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
10．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线 y=相交于点C，且BC∶OC=1∶2，则k的值为（　　）
A．-3 B．- C．3 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AB⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OBA，
∵△AOB的面积为，且BC∶OC=1∶2，
∴，
∴，
∴k=-×2=-3.
故答案为：A.
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，可得CD∥AB，△OCD∽△OBA，根据相似三角形的性质得，代入△AOB的面积为求得，从而得解.
11．（2023九上·贵阳月考）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为(　　）
A．40 B．48 C．52 D．56
【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设的四个数中最小数为x，则其它三个数为x+1，x+7，x+8，
∵围出的四个数中最小数与最大数的积为153，
∴x(x+8)=153，
解得x1=-17(舍去)，x2=9，
∴x+1=10，x+7=16，x+8=17，
∴9+10+16+17=52，
∴这四个数的和为52.
故答案为：C.
【分析】根据题意和月历表中的数据，可以先设出最小的数为x ，则其它三个数为x+1，x+7，x+8，根据罢出的四个数中最小数与最大数的积为153，即可列出相应的方程，然后求出x的值，从而可以得到其它的数，再将它们相加即可求解.
12．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　）
A．(，2) B．(2，2) C．(，2) D．(4，2)
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设正方形是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A、B的坐标分别为( -2，6)和(7，0)，
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴=2，
∵⊥BC，
∴∠=90°，
∴∥AC，
∴△∽△BCA，
∴
∴，
∴，
∴OC1=7-2-3=2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2，2).
故答案为：B.
【分析】根据A、B的坐标分别为( -2，6)和(7，0)，得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O1E1=O1C1=2，根据相似三角形的性质得到BO1=3，于是得到结论.
二、填空题:每小题4分,共16分.
13．（2023九上·贵阳月考）如图所示的是家住在北京的小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是　 　.
【答案】④③①②
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：利用平行投影的特征和北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长.
∴先后顺序是④③①②.
故答案为：④③①②.
【分析】利用平行投影的特征和北半球影长的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长，从而可求解.
14．（2023九上·贵阳月考）如图所示，P为反比例函数y=的图象上的点，过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数表达式为　 　.
【答案】　y=-　
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，
∴k=-2，
∴这个反比例函数表达式为y=-.
故答案为： y=-.
【分析】根据k值的几何意义即可求解.
15．（2023九上·贵阳月考）从数-2，-1，4，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b，若k=ab，则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是　 　.
【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有12种等情况，其中正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，
∴正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是 .
故答案为： .
【分析】画树状图，共有12种等情况，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，再由概率公式求解即可.
16．（2023九上·贵阳月考）如图所示，矩形A1B1C1D1的边长是A1D1=8，A1B1=6，顺次连接各边中点，得到A2B2C2D2，顺次连接A2B2C2D2各边中点，得到A3B3C3D3，……，以此类推，则A10B10=　 　.
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；探索图形规律；三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1C1，B1D1，
∵四边形A1B1C1D1是矩形，
∴A1C1=B1D1，
又A2，B2，C2，D2是矩形A1B1C1D1边的中点，由三角形中位线性质得：
A2B2=C2D2=A1C1，A2D2=B2C2=B1D1，
∴A2B2=C2D2=A2D2=B2C2，四边形A2B2C2D2是菱形.
在直角△A1B1C1中，根据勾股定理得：
A1C1=10，
∴A2B2=A1C1=×10=5，
所以四边形A2B2C2D2的边长为5.
通过观察分析归纳总结各个图形有如下关系：四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2与四边形AnBnCnDn相似，
且四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2的边长是四边形AnBnCnDn边长的一半，
因此四边形A10B10C10D10的边长是四边形A2B2C2D2的，
所以四边形A10B10C10D10也是菱形，A10B10=.
故答案为：.
【分析】通过观察计算发现规律，四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2与四边形AnBnCnDn相似，且四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2的边长是四边形AnBnCnDn边长的一半，因此四边形A10B10C10D10的边长是四边形A2B2C2D2的，从而得出四边形A10B10C10D10也是菱形，进而确定菱形的边长.
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023九上·贵阳月考） 解下列一元二次方程：
（1）2x2-4x-3=0；
（2）2(x-3)=3x(x-3).
【答案】（1）解：两边同除以2，得x2-2x=，
配方，得x2-2x+1=+1，(x-1)2=，
两边开平方，得x-1=±，
∴x1=1+，x2=1-.
（2）解：2(x-3)-3x(x-3)=0，
∴(x-3)(2-3x)=0.
即x-3=0或2-3x=0，
解得x1=3，x2=.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据配方法解一元二次方程的步骤进行求解即可；
(2)根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行求解即可.
18．（2022·沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是　 　；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，故答案为：；
【分析】（1）求出随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，即可作答；
（2）先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种， 最后求概率即可。
19．（2023九上·贵阳月考）由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，数字表示该位置的小正方体个数.
（1）请画出它的主视图和左视图；
（2）如果要给这个几何体喷上颜色(底面不喷色)，需要喷色的面积为　 　；
（3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加　 　个小正方体.
【答案】（1）解：主视图和左视图如图所示.
（2）32
（3）1
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：(2)给这个几何体喷上颜色( 底面不喷色)，需要喷色的面有上面4，左面5，右面5，前面7，后面7，中间夹缝里4，一共32个，所以喷色的面积为32.
故答案为：32.
(3)在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加1个小正方体.
故答案为：1.
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形.
20．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.
【答案】（1）解：见解析；如图所示，△A1B1C1为所求.
（2）解：见解析；如图所示，△A2B2C2为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1） 如图所示，△A1B1C1为所求.
（2）如图所示，△A2B2C2为所求.
【分析】（1）根据轴对称和平移的性质即可作出图形；
（2）根据位似的作图步骤即可作出图形.
21．（2020九上·合山月考）已知x=2是关于x的方程x2-(m+4)x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长。
【答案】（1）解：把x=2代入方程x2-(m+4)x+4m=0得4-2(m+4)+4m=0，
解得m=2；
（2）解：方程化为x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
∵2 +2=4，
∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2，
∴△ABC的周长为4+4+2=10
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程解一个关于m的方程即可求得m值.
（2）将（1）中m值代入一元二次方程，解方程可得方程的解，再结合等腰三角形定义和三角形三边之间的关系可求得三角形的周长.
22．（2023九上·贵阳月考）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在某平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元
（2）小李的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售
【答案】（1）解：设售价应定为x元/件，则每件的利润为(x-40)元，
日销售量为20+=(140-2x)件，
由题意，得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20，
整理，得x2-110x+3 000=0，
解得x1=50，x2=60(舍去).
答：售价应定为50元/件.
（2）解：该商品需要打a折销售，
由题意，得62.5×≤50，
解得a≤8.
即该商品至少需打8折销售.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设售价应定为x元/件，则每件的利润为(x-40)元， 利用日利润=每件利润×日销售量，可求出方程 (x-40)(140-2x)=(60-40)×20， 解方程取其较小值即可得出结论；
(2)设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式 62.5×≤50， 求解即可.
23．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点，AB⊥x轴，垂足为B，若S△AOB=3，一次函数y=mx+2与x轴交于点C(-1，0).
（1）求k，m的值；
（2）有一点P(1，2)，过点P作x轴的平行线，分别交y=mx+2和y=(x>0)的图象于点M，N.判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）解：∵S△AOB=3，
∴=3，|k|=6.
又∵图象位于第一象限，
∴k>0.∴k=6.
∵一次函数y=mx+2的图象经过C(-1，0)，
代入，得0=-m+2，
∴m=2.
（2）解：PN=2PM.理由如下：
如图所示，过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N，
∴设M(a，2)，N(b，2)将 y=2 分别代入y=2x+2，y=，
解得a=0，b=3，
∴M(0，2)，N(3，2).
∴PM=1，PN=3-1=2.
∴PN=2PM.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据 S△AOB=3， 求出k的值，将点C坐标代入一次函数求出m；
(2) 过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N， 设M(a，2)，N(b，2)，将y=2分别代入y=2x+2， y=， 得a=0，b=3，得到点M，N的坐标，求出PM， PN的长，从而得到其数量关系.
24．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，过点E作EG⊥EC交AB于点F，交CB的延长线于点G，且EF=CE.
（1）求证：DC=AE；
（2）若DE=6，矩形ABCD的周长为48，求CG的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°.
∴∠AEF+∠AFE=90°.
∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°.
∴∠AFE=∠DEC.
在△AEF和△DCE中，
∠A=∠D，∠AFE=∠DEC，EF=EC，
∴△AEF≌△DCE(AAS).
∴DE=AF，DC=AE.
（2）解：设CD=AE=x，则AD=x+6，
∵矩形ABCD的周长为48，
∴2(x+6+x)=48，解得x=9.
∴AE=CD=9，AB=CD=9，AD=BC=15.∴BF=AB-AF=AB-DE=3.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BG.∴△AEF∽△BGF.
∴=，即=，
∴BG=4.5.
∴CG=BC+BG=15+4.5=19.5.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出∠A=∠D=90°，由角的互余关系证出∠AFE=∠DEC，利用AAS证明△AEF≌△DCE，根据全等三角形的性质即可求解；
(2)设CD=AE=x，则AD=x+6，根据矩形的周长列出方程 2(x+6+x)=48， 解方程求出AE、CD，得出BF、BC，再证明△AEF∽△BGF，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BG，即可求解.
25．（2023九上·贵阳月考）小星和小红在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行探究.
（1）问题解决
如图(1)所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，连接AE，BF，且AE⊥BF，求证：△ABE≌△BCF；
（2）类比探究
如图(2)所示，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AD，AB，CD边上的点，连接EF，GH，且EF⊥GH，求证：EF=GH；
（3）迁移应用
如图(3)所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC的中点，E是AC边上的点，连接AD，BE，且BE⊥AD，求AE∶CE的值.
【答案】（1）证明：如图①所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，
AB=BC.
∵AE⊥BF，∠ABC=90°，
∴∠1+∠ABC=∠2+∠ABF=90°.
∴∠1=∠2.∴△ABE≌△BCF.
（2）证明：如图②所示，分别过点G，E作GM⊥CD，EN⊥AD垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD为正方形.
∴AB=BC=CD，AB∥CD，∠A=∠B=∠D=90°.
∵GM⊥CD，∴∠GMD=∠D=∠A=90°.
∴四边形ADMG为矩形.
∴GM∥AD，GM=AD.
同理EN∥AB，EN=AB.
∴GM⊥EN，GM=EN.
∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.
∵∠ENF=∠GMH=90°，
∴△ENF≌△GMH.∴EF=GH.
（3）解：如图③所示，分别过点A，C作AG∥BC，CG∥AB，交于点G，延长BE交CG于点H，
∵AG∥BC，CG∥AB，
∴四边形ABCG为平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCG为矩形.
∵AB=BC，∴矩形ABCG为正方形.
∵BE⊥AD，
由(1)得△ABD≌△BCH.
∴BD=CH.
∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=2CH=AB.
∵CG∥AB，
∴∠BAC=∠1，∠2=∠3.
∴△BAE∽△HCE.
∴==2.
即AE∶CE=2∶1.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】(1)则正方形的性质得出∠ABC=∠C=90°，AB=BC，根据垂直的定义得出∠1+∠ABF=∠2+∠ABF=90°，推出∠1=∠2，即可得出结论；
(2)分别过G，E作GM⊥CD，EN⊥AD垂足分别为M，N，根据正方形的性质得出AB=BC=CD，AB∥CD，∠A=∠B=∠D=90°，再证明四边形ADMG为矩形，得出GM∥AD，GM=AD，同理得出： EN∥AB，EN=AB，从而得到△ENF≌△GMH，即可求解；
(3) 分别过点A，C作AG∥BC，CG∥AB，交于点G，延长BE交CG于点H， 证明四边形ABCG为正方形，再证明 △BAE∽△HCE，根据相似三角形的性质即可求解.
1 / 1贵州省贵阳市第二十八中学2023-2024学年九年级上学期数学月考考试试卷（1月）
一、选择题:以下每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确,每小题3分,共36分.
1．（2020九上·宝安期中）已知x=1是一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0的一个根，则m的值为（　　）．
A．-1或2 B．-1 C．2 D．0
2．（2023九上·贵阳月考）如图所示，直线a∥b∥c，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若=，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2023九上·贵阳月考） 已知在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023九上·贵阳月考）如图所示，电线杆上的路灯距离地面6 m，身高 1.2 m的小丽(AB)站在距离电线杆的底部(点O)20 m的A处，则小丽的影子AM长约为（　　）
A．4 m B．5 m C．6 m D．8 m
5．（2023九上·贵阳月考）点(-5，y1)，(-3，y2)，(3，y3)都在反比例函数y=(k>0)的图象上，则（　　）
A．y1>y2>y3 B．y3>y1>y2 C．y2>y1>y3 D．y1>y3>y2
6．（2023九上·贵阳月考）如图所示，一块长方形绿地的长为100 m，宽为50 m，在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4 704 m2，则根据题意可列出方程（　　）
A．5 000-150x=4 704 B．5 000-150x-x2=4 704
C．5 000-150x+=4 704 D．(100-x)(50-x)=4 704
7．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c -0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0 的一个解x的范围是（　　）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
8．（2023九上·贵阳月考）函数y=与y=kx+k(k为常数且k≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为（　　）
A． B．3 C． D．5
10．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线 y=相交于点C，且BC∶OC=1∶2，则k的值为（　　）
A．-3 B．- C．3 D．
11．（2023九上·贵阳月考）如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为(　　）
A．40 B．48 C．52 D．56
12．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　）
A．(，2) B．(2，2) C．(，2) D．(4，2)
二、填空题:每小题4分,共16分.
13．（2023九上·贵阳月考）如图所示的是家住在北京的小红在某天四个时刻看到一根木棒及其影子的情况，那么她看到的先后顺序是　 　.
14．（2023九上·贵阳月考）如图所示，P为反比例函数y=的图象上的点，过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数表达式为　 　.
15．（2023九上·贵阳月考）从数-2，-1，4，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b，若k=ab，则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是　 　.
16．（2023九上·贵阳月考）如图所示，矩形A1B1C1D1的边长是A1D1=8，A1B1=6，顺次连接各边中点，得到A2B2C2D2，顺次连接A2B2C2D2各边中点，得到A3B3C3D3，……，以此类推，则A10B10=　 　.
三、解答题:本大题9小题,共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2023九上·贵阳月考） 解下列一元二次方程：
（1）2x2-4x-3=0；
（2）2(x-3)=3x(x-3).
18．（2022·沈阳）为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是　 　；
（2）小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
19．（2023九上·贵阳月考）由若干个棱长为1的小正方体搭成的几何体的俯视图如图所示，数字表示该位置的小正方体个数.
（1）请画出它的主视图和左视图；
（2）如果要给这个几何体喷上颜色(底面不喷色)，需要喷色的面积为　 　；
（3）在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加　 　个小正方体.
20．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2.
（1）先作△ABC关于直线l成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；
（2）以图中的点O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.
21．（2020九上·合山月考）已知x=2是关于x的方程x2-(m+4)x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长。
22．（2023九上·贵阳月考）直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在某平台上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元
（2）小李的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过(1)中的售价，则该商品至少需打几折销售
23．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=(x>0)图象上一点，AB⊥x轴，垂足为B，若S△AOB=3，一次函数y=mx+2与x轴交于点C(-1，0).
（1）求k，m的值；
（2）有一点P(1，2)，过点P作x轴的平行线，分别交y=mx+2和y=(x>0)的图象于点M，N.判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由.
24．（2023九上·贵阳月考）如图所示，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，过点E作EG⊥EC交AB于点F，交CB的延长线于点G，且EF=CE.
（1）求证：DC=AE；
（2）若DE=6，矩形ABCD的周长为48，求CG的长.
25．（2023九上·贵阳月考）小星和小红在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行探究.
（1）问题解决
如图(1)所示，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点，连接AE，BF，且AE⊥BF，求证：△ABE≌△BCF；
（2）类比探究
如图(2)所示，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AD，AB，CD边上的点，连接EF，GH，且EF⊥GH，求证：EF=GH；
（3）迁移应用
如图(3)所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC的中点，E是AC边上的点，连接AD，BE，且BE⊥AD，求AE∶CE的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把x=1代入一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0，
∴m-2+4-m2=0，
∴m2-m-2=0，
∴（m+1）（m-2）=0，
∴m1=-1，m2=2，
∵m-2≠0，
∴m≠2，
∴m=-1.
故答案为：B.
【分析】把把x=1代入一元二次方程（m-2）x2+4x-m2=0，得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，再根据一元二次方程二次项系数不能为，得出m≠2，即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，=，
∴，
∴=.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解.
3．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：AB：BC=4：3，
A、长：宽=2：1.5=4：3，A符合题意；
B、长：宽=2：1.2=5：8，B不符合题意；
C、长：宽=3：2，C不符合题意；
D、长：宽=2.5：1.5=5：3，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据两个矩形长、宽对应成比例即可相似进行分析解答即可.
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用；中心投影
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
解得AM= 5 m.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形对应边成比例得，代入数据得，解之即可求解.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k>0，
∴反比例函数y=(k>0)的图象在第一、三象限，在每一个象限，y随x的增大而减小，
∵(-5，y1)，(-3，y2)，(3，y3)，
∴(-5，y1)，(-3，y2)在第三象限，(3，y3)在第一象限，
∴y3>y1>y2.
故答案为：B.
【分析】根据k>0得反比例函数y=(k>0)的图象在第一、三象限，在每一个象限，y随x的增大而减小，结合已知得(-5，y1)，(-3，y2)在第三象限，(3，y3)在第一象限，根据反比例函数性质即可得解.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：如图，
根据题意得 (100-x)(50-x)=4704.
故答案为：D.
【分析】如图，把两条道路平移到边上，根据图形结合题意即可列出方程.
7．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．
故答案为：B．
【分析】根据表中数据得到x=3.24时，ax2+bx+c=-0.02＜0；x=3.25时，ax2+bx+c=0.01＞0，于是可判断x在3.24和3.25之间取某一值时，ax2+bx+c=0，由此得到方程ax2+bx+c=0（x≠0）的一个解x的范围。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由图象得，y=中k＞0，y=kx+k中一次项系数k＞0，常数k＞0，A符合题意；
B、由图象得，y=中k＜0，y=kx+k中一次项系数k＞0，常数k＜0，B不符合题意；
C、由图象得，y=中k＞0，y=kx+k中一次项系数k＞0，常数k＜0，C不符合题意；
D、由图象得，y=中k＞0，y=kx+k中一次项系数k＜0，常数k＞0，D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数和一次函数的系数与图象的关系，对选项进行逐一分析即可判断求解.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵EF⊥AC于点F，AF=3，
∴EF=AF=3，
∵△EFC的周长为12，
∴CF+CE=9，
在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，
∴，
解得x=5，
∴CE=5.
故答案为：D.
【分析】根据正方形的性质得∠BAC=45°，从而得△AEF是等腰Rt△，由△EFC的周长为12，得CF+CE=9，在Rt△CEF中，设CE=x，则CF=9-x，根据勾股定理列方程，解方程即可求解.
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵AB⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△OCD∽△OBA，
∵△AOB的面积为，且BC∶OC=1∶2，
∴，
∴，
∴k=-×2=-3.
故答案为：A.
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，可得CD∥AB，△OCD∽△OBA，根据相似三角形的性质得，代入△AOB的面积为求得，从而得解.
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设的四个数中最小数为x，则其它三个数为x+1，x+7，x+8，
∵围出的四个数中最小数与最大数的积为153，
∴x(x+8)=153，
解得x1=-17(舍去)，x2=9，
∴x+1=10，x+7=16，x+8=17，
∴9+10+16+17=52，
∴这四个数的和为52.
故答案为：C.
【分析】根据题意和月历表中的数据，可以先设出最小的数为x ，则其它三个数为x+1，x+7，x+8，根据罢出的四个数中最小数与最大数的积为153，即可列出相应的方程，然后求出x的值，从而可以得到其它的数，再将它们相加即可求解.
12．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设正方形是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A、B的坐标分别为( -2，6)和(7，0)，
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴=2，
∵⊥BC，
∴∠=90°，
∴∥AC，
∴△∽△BCA，
∴
∴，
∴，
∴OC1=7-2-3=2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为(2，2).
故答案为：B.
【分析】根据A、B的坐标分别为( -2，6)和(7，0)，得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O1E1=O1C1=2，根据相似三角形的性质得到BO1=3，于是得到结论.
13．【答案】④③①②
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：利用平行投影的特征和北半球影长的规律可知：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长.
∴先后顺序是④③①②.
故答案为：④③①②.
【分析】利用平行投影的特征和北半球影长的规律：从早晨到傍晚物体的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短再变长，从而可求解.
14．【答案】　y=-　
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵过P分别向x轴和y轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，
∴k=-2，
∴这个反比例函数表达式为y=-.
故答案为： y=-.
【分析】根据k值的几何意义即可求解.
15．【答案】
【知识点】正比例函数的图象和性质；列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如下：
共有12种等情况，其中正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，
∴正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是 .
故答案为： .
【分析】画树状图，共有12种等情况，正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的情况有8种，再由概率公式求解即可.
16．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；探索图形规律；三角形的中位线定理；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：如图，连接A1C1，B1D1，
∵四边形A1B1C1D1是矩形，
∴A1C1=B1D1，
又A2，B2，C2，D2是矩形A1B1C1D1边的中点，由三角形中位线性质得：
A2B2=C2D2=A1C1，A2D2=B2C2=B1D1，
∴A2B2=C2D2=A2D2=B2C2，四边形A2B2C2D2是菱形.
在直角△A1B1C1中，根据勾股定理得：
A1C1=10，
∴A2B2=A1C1=×10=5，
所以四边形A2B2C2D2的边长为5.
通过观察分析归纳总结各个图形有如下关系：四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2与四边形AnBnCnDn相似，
且四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2的边长是四边形AnBnCnDn边长的一半，
因此四边形A10B10C10D10的边长是四边形A2B2C2D2的，
所以四边形A10B10C10D10也是菱形，A10B10=.
故答案为：.
【分析】通过观察计算发现规律，四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2与四边形AnBnCnDn相似，且四边形An+2Bn+2Cn+2Dn+2的边长是四边形AnBnCnDn边长的一半，因此四边形A10B10C10D10的边长是四边形A2B2C2D2的，从而得出四边形A10B10C10D10也是菱形，进而确定菱形的边长.
17．【答案】（1）解：两边同除以2，得x2-2x=，
配方，得x2-2x+1=+1，(x-1)2=，
两边开平方，得x-1=±，
∴x1=1+，x2=1-.
（2）解：2(x-3)-3x(x-3)=0，
∴(x-3)(2-3x)=0.
即x-3=0或2-3x=0，
解得x1=3，x2=.
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)根据配方法解一元二次方程的步骤进行求解即可；
(2)根据因式分解法解一元二次方程的步骤进行求解即可.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，故答案为：；
【分析】（1）求出随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，即可作答；
（2）先画树状图，再求出共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种， 最后求概率即可。
19．【答案】（1）解：主视图和左视图如图所示.
（2）32
（3）1
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：(2)给这个几何体喷上颜色( 底面不喷色)，需要喷色的面有上面4，左面5，右面5，前面7，后面7，中间夹缝里4，一共32个，所以喷色的面积为32.
故答案为：32.
(3)在不改变主视图和俯视图的情况下，最多可添加1个小正方体.
故答案为：1.
【分析】由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，3，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2，据此可画出图形.
20．【答案】（1）解：见解析；如图所示，△A1B1C1为所求.
（2）解：见解析；如图所示，△A2B2C2为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1） 如图所示，△A1B1C1为所求.
（2）如图所示，△A2B2C2为所求.
【分析】（1）根据轴对称和平移的性质即可作出图形；
（2）根据位似的作图步骤即可作出图形.
21．【答案】（1）解：把x=2代入方程x2-(m+4)x+4m=0得4-2(m+4)+4m=0，
解得m=2；
（2）解：方程化为x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，
∵2 +2=4，
∴等腰三角形ABC的腰长为4，底边长为2，
∴△ABC的周长为4+4+2=10
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程解一个关于m的方程即可求得m值.
（2）将（1）中m值代入一元二次方程，解方程可得方程的解，再结合等腰三角形定义和三角形三边之间的关系可求得三角形的周长.
22．【答案】（1）解：设售价应定为x元/件，则每件的利润为(x-40)元，
日销售量为20+=(140-2x)件，
由题意，得(x-40)(140-2x)=(60-40)×20，
整理，得x2-110x+3 000=0，
解得x1=50，x2=60(舍去).
答：售价应定为50元/件.
（2）解：该商品需要打a折销售，
由题意，得62.5×≤50，
解得a≤8.
即该商品至少需打8折销售.
【知识点】一元一次不等式的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1) 设售价应定为x元/件，则每件的利润为(x-40)元， 利用日利润=每件利润×日销售量，可求出方程 (x-40)(140-2x)=(60-40)×20， 解方程取其较小值即可得出结论；
(2)设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过50元，列出不等式 62.5×≤50， 求解即可.
23．【答案】（1）解：∵S△AOB=3，
∴=3，|k|=6.
又∵图象位于第一象限，
∴k>0.∴k=6.
∵一次函数y=mx+2的图象经过C(-1，0)，
代入，得0=-m+2，
∴m=2.
（2）解：PN=2PM.理由如下：
如图所示，过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N，
∴设M(a，2)，N(b，2)将 y=2 分别代入y=2x+2，y=，
解得a=0，b=3，
∴M(0，2)，N(3，2).
∴PM=1，PN=3-1=2.
∴PN=2PM.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】(1)根据 S△AOB=3， 求出k的值，将点C坐标代入一次函数求出m；
(2) 过P(1，2)作x轴的平行线与函数图象分别交于点M，N， 设M(a，2)，N(b，2)，将y=2分别代入y=2x+2， y=， 得a=0，b=3，得到点M，N的坐标，求出PM， PN的长，从而得到其数量关系.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°.
∴∠AEF+∠AFE=90°.
∵EF⊥EC，∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°.
∴∠AFE=∠DEC.
在△AEF和△DCE中，
∠A=∠D，∠AFE=∠DEC，EF=EC，
∴△AEF≌△DCE(AAS).
∴DE=AF，DC=AE.
（2）解：设CD=AE=x，则AD=x+6，
∵矩形ABCD的周长为48，
∴2(x+6+x)=48，解得x=9.
∴AE=CD=9，AB=CD=9，AD=BC=15.∴BF=AB-AF=AB-DE=3.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BG.∴△AEF∽△BGF.
∴=，即=，
∴BG=4.5.
∴CG=BC+BG=15+4.5=19.5.
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出∠A=∠D=90°，由角的互余关系证出∠AFE=∠DEC，利用AAS证明△AEF≌△DCE，根据全等三角形的性质即可求解；
(2)设CD=AE=x，则AD=x+6，根据矩形的周长列出方程 2(x+6+x)=48， 解方程求出AE、CD，得出BF、BC，再证明△AEF∽△BGF，根据相似三角形的性质得出比例式，求出BG，即可求解.
25．【答案】（1）证明：如图①所示，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=∠C=90°，
AB=BC.
∵AE⊥BF，∠ABC=90°，
∴∠1+∠ABC=∠2+∠ABF=90°.
∴∠1=∠2.∴△ABE≌△BCF.
（2）证明：如图②所示，分别过点G，E作GM⊥CD，EN⊥AD垂足分别为M，N，
∵四边形ABCD为正方形.
∴AB=BC=CD，AB∥CD，∠A=∠B=∠D=90°.
∵GM⊥CD，∴∠GMD=∠D=∠A=90°.
∴四边形ADMG为矩形.
∴GM∥AD，GM=AD.
同理EN∥AB，EN=AB.
∴GM⊥EN，GM=EN.
∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.
∵∠ENF=∠GMH=90°，
∴△ENF≌△GMH.∴EF=GH.
（3）解：如图③所示，分别过点A，C作AG∥BC，CG∥AB，交于点G，延长BE交CG于点H，
∵AG∥BC，CG∥AB，
∴四边形ABCG为平行四边形.
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCG为矩形.
∵AB=BC，∴矩形ABCG为正方形.
∵BE⊥AD，
由(1)得△ABD≌△BCH.
∴BD=CH.
∵D是BC的中点，
∴BC=2BD=2CH=AB.
∵CG∥AB，
∴∠BAC=∠1，∠2=∠3.
∴△BAE∽△HCE.
∴==2.
即AE∶CE=2∶1.
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【分析】(1)则正方形的性质得出∠ABC=∠C=90°，AB=BC，根据垂直的定义得出∠1+∠ABF=∠2+∠ABF=90°，推出∠1=∠2，即可得出结论；
(2)分别过G，E作GM⊥CD，EN⊥AD垂足分别为M，N，根据正方形的性质得出AB=BC=CD，AB∥CD，∠A=∠B=∠D=90°，再证明四边形ADMG为矩形，得出GM∥AD，GM=AD，同理得出： EN∥AB，EN=AB，从而得到△ENF≌△GMH，即可求解；
(3) 分别过点A，C作AG∥BC，CG∥AB，交于点G，延长BE交CG于点H， 证明四边形ABCG为正方形，再证明 △BAE∽△HCE，根据相似三角形的性质即可求解.
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