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八下期中复习——一元二次方程
一、选择题
1．下列方程属于一元二次方程的是（　　）
A．2x+1=0 B． C． D．
2．方程化为一般形式后的二次项、一次项、常数项分别是（　　）
A．，，2 B．
C． D．
3．用配方法解一元二次方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A． B． C． D．
5．已知1是关于x的方程的一个根，则另一个根为 （　　）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
6．下列一元二次方程有实数根的是（　　）
A． B． C． D．
7．随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片.若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（　　）
A．x(x1)=812 B．x(x+1)=812 C．2x(x1)=812 D．
8．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝1必有一根为（　　）
A． B．2020 C．2019 D．2018
9．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的两倍，那么称这样的方程为“2倍根方程”.下列说法中，错误的是（　　）
A．方程是“2倍根方程”
B．若关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”，则m+n=0
C．若m+n=0且m≠0，则关于x的方程(x-2)(mx+n)=0是“2倍根方程”
D．若2m+n=0且m≠0，则关于x的方程是“2倍根方程”
10．欧几里得是古希腊数学家，所著的《几何原本》闻名于世．在《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：如图，以 和b为直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝ ，则图中哪条线段的长是方程x2+ax＝b2的解？答：是（　　）
A．AC B．AD C．AB D．BC
二、填空题
11．构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为-1.这个一元二次方程可以是　 　(写出一个即可).
12．已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为　 　.
13．已知方程的一个根为则方程的另一个根为　 　.
14．定义新运算“ ”：a b=(a+b)b，如：2 3=(2+3)×3=15.若2 x=3，则x=　 　.
15．若关于x的一元二次方程 =0有两个实数根x ，x ，且则m的值为　 　.
16．在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是　 　
三、解答题
17．解下列方程：
（1）
（2）x(x+4)=3x+12.
18．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x.
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x.
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，求较短的一段的长x.
19．已知关于x的一元二次方程
（1）若方程有两个相等的实数根，求这个方程的解。
（2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围。
20．
（1）若实数x，y满足0，求的值.
（2）若，求2m+n的值.
21．阅读理解题：
问题：已知方程x2+x-1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x．
从而x=
把x= 代人已知方程，得
()2+-1=0，
整理，得y2+2y-4=0，
因此，所求方程为y2+2y-4=0．
请你用上述思路解决下列问题：
（1）已知方程x2+3x-2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
22．
如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素 材 1 如图1是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图2所示.
素 材 2 如图3、图4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种一边均为a(cm)(a<50)的矩形纸板.
纸板①(单位：cm) 纸板②(单位：cm)
小琴分别将纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
纸板①的制作方式 纸板②的制作方式
裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒. 将纸片四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒。
目 标 1 熟悉材料 ⑴若按照纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全放入储物区域，则长方形纸板的宽a= cm.
目 标 2 利用目标1计算所得的数据a，进行进一步探究.
初步应用 ⑵按照纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是936cm 时，求储物盒的容积.
储物收纳 ⑶按照纸板②的制作方式制作储物盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为702cm .家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否完全放入储物盒.
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：A、2x+1=0是一元一次方程，故A不符合题意；
B、x2-3x+1=0是一元二次方程，故B符合题意；
C、x2+y=1是二元二次方程，故C不符合题意；
D、是分式方程，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】一元二次方程满足的条件：1、含有一个未知数；2、含未知数项的最高次数是2次；3、是整式方程，再对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：化为一般形式得，9x -8x-2=0，
∴ 二次项为9x ，一次项为-8x，常数项为-2.
故答案为：C.
【分析】
3．【答案】A
【解析】【解答】解：，提公因式2，可得；
移项，除以2，可得：；
配方，可得：；
移项后，可得：.
故答案为：A.
【分析】根据配方法解方程，将二次项系数化为1，然后配成完全平方的形式即可.
4．【答案】D
【解析】【解答】A、在中，不符合题意，A错误
B、在中，不符合题意，B错误
C、在中，不符合题意，C错误
D、在中，符合题意，D正确
故答案为：D
【分析】本题考查公式法解一元二次方程.先找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式：可得出方程的根．通过逐个进行计算即可进行判断.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 1是关于x的方程的一个根 ，设方程的另一个根为x1，
∴，
解得x1=-3.
故答案为：C.
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数列出方程，可求出方程的另一个根.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：A ∵ Δ=(-1) -4×2×1=-7＜0，∴ 2x -x+1=0无实数根；
B Δ=(-2) -4×1×2=-4＜0，∴ x -2x+2=0无实数根；
C Δ=3 -4×1×(-2)=17＞0，∴2x +3x-2=0有两个不等的实数根；
D Δ=0-4×1×2=-8＜0，∴ 2x -x+1=0无实数根；
故答案为：C.
【分析】根据根的判别式大小与实数根的关系，当Δ＞0，一元二次方程有两个不等的实数根；当Δ=0，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程无实数根，即可求得.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：设该班有x名同学，每名学生送照片(x-1)张，
由题意可得：x(x1)=812 .
故答案为：A.
【分析】设该班有x名同学，每名学生送照片(x-1)张，全班共送照片x(x1)张，根据题意可列出方程.
8．【答案】B
【解析】【解答】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，
设t=x-1，
所以at2+bt-1=0，
而关于x的一元二次方程ax2+bx-1=0（a≠0）有一根为x=2019，
所以at2+bt-1=0有一个根为t=2019，
则x-1=2019，
解得x=2020，
所以一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．
故答案为：B．
【分析】对于一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）-1=0，设t=x-1得到at2+bt-1=0，利用at2+bt-1=0有一个根为t=2019得到x-1=2019，从而可判断一元二次方程a（x-1）2+b（x-1）=1必有一根为x=2020．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：A 解x -3x+2=0得x1=1，x2=2，故A项正确，不符合题意；
B 解 (x-2)(mx+n)=0得x1=2，x2=，当=2×2，则4m+n=0；当×2=2，则m+n=0，故B项错误，符合题意；
C 解方程得 x1=2，x2=，而m+n=0，则x2=1，故C项正确，不符合题意；
D 解方程 得x1=n，x2=-m，而2m+n=0，∴ n=-2m，即x1=-2m=2x2，故D项正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】通过解一元二次方程，即可判断A；通过解方程得x1=2，x2=，分情况讨论当当=2×2和当×2=2得4m+n=0或m+n=0，即可判断B；解方程得x1=2，x2=，再根据m+n=0，可得x2=1，即可判断C；解方程可得x1=n，x2=-m，再根据2m+n=0可得n=-2m，即可判断D.
10．【答案】B
【解析】【解答】解： x2+ax＝b2 ，
即x2+ax-b2=0 ，
∴
∵∠ACB=90°，
∴AB=，
则
故答案为：B.
【分析】解一元二次方程，由求根公式求得，已知AC、BC，由勾股定理求得AB，则AD等于AB和BD之差，比较AD的长度和x的解即可知结论。
11．【答案】
【解析】【解答】 解：由题意可得，方程可以为：(x+1)(x-1)=0，
即x2-1=0，
故答案为：x2-1=0.
【分析】 直接利用一元二次方程的一般形式进而得出答案。
12．【答案】-3
【解析】【解答】解：∵ 常数项是0，
∴ a -9=0，
∴ a=±3，
∵ 二次项系数a-3≠0，
∴ a≠3，
∴ a=-3.
故答案为：-3.
【分析】根据常数项可得a=±3，根据一元二次方程的定义可得a≠3，即可求得.
13．【答案】
【解析】【解答】解：设方程的另一个根为a，则可得：
a=3，解得a=.
故答案为：.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，列一元一次方程，即可求出另一根的值.
14．【答案】-3 或1
【解析】【解答】解：∵2 x=3，
∴x（2+x）=3
x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0
∴x+3=0或x-1=0，
解之：x1=-3，x2=1.
故答案为：-3或1.
【分析】利用定义新运算，可得到关于x的方程，再利用因式分解法求出方程的解.
15．【答案】2或6
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-2mx+m2-4m-1=0的两个根为x1、x2，
∴b2-4ac≥0，即(-2m)2-4(m2-4m-1)≥0，即
，，
∵
∴x1x2+2(x1+x2)+4-2x1x2=17，
∴-x1x2+2(x1+x2)=13
∴-m2+4m+1+4m-13=0
即m2-8m+12=0，
解得m1=2，m2=6.
∴m的值为2或6.
故答案为：2或6.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出不等式可求出m的取值范围；设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，求出x1x2及x1+x2的值，然后将方程整理得-x1x2+2(x1+x2)=13，再整体代入可得关于字母m的一元二次方程，利用因式分解法解该方程即可求出m的值.
16．【答案】6或
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x +(c 4)x+ =0有两个相等的实数根，
∴△=(c 4) 4×1× =0，
解得：c=5或3，
当c=5时，
∵a=3，b=4，
∴a +b =c ，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC的面积是 ×3×4=6；
当c=3时，如图，
，
AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D，
则AD=DC=2，
∵由勾股定理得：BD= ，
∴△ABC的面积是 ×4× =2 ；
故答案为：6或2 .
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积，等腰三角形性质的应用，关键是求出三角形ABC的高，题目比较好，用了分类讨论思想.
17．【答案】（1）解：x -4x=6，
配方得，x -4x+4=6+4，
(x-2) =10，
开方得，x-2=，
∴ x=2，
即.
（2）解： x(x+4)=3x+12，
整理得，x +x-12=0，
(x-3)(x+4)=0,
∴ x =4，x =3.
【解析】【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可.
18．【答案】（1）解：设正方形的边长为x，根据题意得
∴4x2=25
化为一般形式为4x2-25=0
（2）解：设长方形的长为x，由题意得
x(x-2)=100，
化成一般形式为x2-2x-100=0
（3）解：设较短的一段的长x，根据题意得
x=(1-x)2，
化成一般形式为
【解析】【分析】（1）根据4个完全相同的正方形的面积之和是25，据此可得到关于x的方程.
（2）利用长方形的面积等于长×宽，据此列方程即可.
（3）抓住关键已知条件：较短的一段的长与全长的积等于较长的一段的长的平方，据此列方程即可.
19．【答案】（1）解： 有两个相等的实数根，
∴，1-2k≠0
解得：k=2，
故原方程为：，
∴
解得：
（2）解： 有两个不相等的实数根，
∴
，
解得：-1≤k<2且k≠
【解析】【分析】（1）首先由方程有两个相等的实数根，可得△=0且1-2k≠0，求解得出k的值，从而得到原方程，再利用直接开平方法求解即可；
（2）首先由方程有两个不相等的实数根，可得△≥0且1-2k≠0，从而求解即可得到答案.
20．【答案】（1）解：∵
∴x2+y2+3=0或x2+y2-1=0
解之：x2+y2=-3，x2+y2=1，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2=1
（2）解：∵
∴（2m+n）（2m+n+3）=0
∴2m+n=0或2m+n+3=0
解之：2m+n=0或2m+n=-3
∴2m+n的值为-3或0
【解析】【分析】 （1）利用已知方程求出x2+y2的值，再根据x2+y2≥0，可求出结果.
（2）将2m+n看着整体，此方程可以利用因式分解法求出2m+n的值.
21．【答案】（1）解：设所求方程的根为y，则y=-x，从而x=-y．
把x=-y代人方程x2+3x-2=0，得y2-3y-2=0，
即所求方程为y2-3y-2=0．
（2）解：设所求方程的根为y，则y=，从而x=．
把x=代入方程ax2 -bx+c=0，得a·()2-b·+c=0，
整理得cy2-by+a=0，由题意得c≠0，故所求方程为cy2 -by+a=0(c≠0)．
【解析】【分析】（1）根据材料，设所求方程的根为y，再表示出x，然后代入方程即可；
（2）设所求方程的根为y，则x=，把其代入方程ax2 -bx+c=0中，再整理即可.
22．【答案】解：⑴40；
⑵设小正方形的长为x，
由题意可得：，
整理得：
解得：（舍去）
储物盒的容积 ：
故答案为：
⑶不能.设小长方形的宽为xcm，长为ycm，由题意得：，解得：∴ 储物盒的高为11， 机械狗的高为18，∴ 机械狗不能完全放入储物盒.
【解析】【解答】解：⑴ 裁去角上4个相同的小正方形的长为：cm，
∴，解得：a=40
故答案为：40.
【分析】（1）由题意可得小正方形的长为5cm，进而求得a=40；
（2）设小正方形的长为x，根据矩形得面积公式，列出方程，进而解得，再利用体积公式，计算求解即可；
（3）设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据题意列出二元一次房出组，计算求解即可.
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