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2024山东中考数学一轮复习
第六章 圆
微专题六 常见辅助圆模型（5年4考）
模型一 定点定长作圆
例1 如图，已知 .
（1）点 ， ， 在以点___为圆心，____为半径的圆上，画出此圆；
（2） 与 的关系为_ _______________.
[答案]
练习： 凸四边形 满足 ，则四边形的最大内角为_____
度.
150
[解析] 如图，以点 为圆心， 长为半径画圆. ，
， ， 三点都在 上.又 ， 为等边
三角形， ， 优弧 的度数为 ，
.
模型分析
如图，点 为平面内一定点，点 为动点，若 的长度为定值，则点 在以
点 为圆心， 为半径的圆上（圆的定义）.
模型二 点圆最值
例2 如图，在等边三角形 和等边三角形 中，点 ，点 分别为 ，
的中点， ， ， 绕点 旋转.
（1）点 是在以点_____为圆心，______为半径的圆上运动，画出图形；
（2） _ ____， _____；
（3）当_ __________三点共线时， 的长有最值，最大值为_____，最小值为____.
， ，
[答案]
练习： （2020泰安12题4分）如图，点 ， 的坐标分别为
， ，点 为坐标平面内一点， ，点 为线
段 的中点，连接 ，则 的最大值为( )
B
A. B. C. D.
[解析] 如图， 点 为坐标平面内一点， ， 点
在 上，且半径为1,取 ，连接 并延长交
于点 ， ， 是 的中
位线， .当 最大时，即 最大， 当 ，
， 三点共线，即当点 在 的延长线上时, 最大. ，
， ， ， ，即
的最大值为 .
模型分析
已知平面内一定点 和 ,点 是 上一动点,当 , , 三点共线时,线
段 有最大（小）值（依据:直径是圆中最长的弦）.具体分以下三种情况讨论
（设点 与点 之间的距离为 , 的半径为 ）:
位置关系 点 在 内 点 在 上 点 在 外
图示
的最大值
此时点 的位置 连接 并延长交 于点 的最小值 0
此时点 的位置 连接 并延长 交 于点 点 与点 重合 连接 交
于点
模型三 线圆最值
例3 如图，在 中， ， ， ，
点 在 上，且 ，点 在 上运动.将 沿
折叠，点 落在点 处.
（1）点 在以点_ __为圆心，____为半径的圆上；
（2）点 到 的距离为_ ___；
（3）点 到 的最短距离是_ __.
练习： 如图，在菱形 中，对角线 ， 相交于点 ，
， ，点 ， 分别是线段 ， 上的点，
连接 ，且满足 ，点 是 的中点，连接 ，
， ，则 面积的最小值为____.
17
[解析] 如图，作 于点 ， 于点 四边
形 是菱形， ， ，
， ， ， ，
是 的中点， ，
点 在以 为圆心，2为半径的圆上. 的面积
， .当 ， ， 三点共线时， 最小，此时
的面积最小. 长的最小值 ， 面积的最小值
.
模型分析
已知 及直线 , 的半径为 ,圆心 到直线 的距离为 ,点 为 上
一动点.
位置关系 直线与 相离 直线与 相切 直线与 相交
图示
点 到直线 的距离最 大值
此时点 的位置 过点 作直线 的垂线段,其反向延长线与 的交点,即 为点 位置关系 直线与 相离 直线与 相切 直线与 相交
点 到直线 的距离最 小值 0 0
此时点 的位置 过点 作直线 的垂 线段，与 的交 点即为点 直线 与 的交点即为点 续表
模型四 定弦定角模型
例4 如图，在矩形 中， ， ，动点 在矩形的内部，连接
， ， ， .
（1）由 ，可知 在以___为直径的圆上运动，画出图形；
（2）当_ ________________时， 最小（画出此时点 的位置）；
（3） _ ____， ___，则 的最小值是_________.
， ， 三点共
2
[答案]
练习： 在锐角三角形 中， ， ，则 面积的最大值是
____.
32
[解析] 如图，画出 的外接圆 ，连接 在锐角三角
形 中， ， ， 点 在优弧 上运动，且当
时， 的面积最大.延长 ，交 于点 ，则
， ， ，
， ， 的最大值为 .
模型分析
固定的线段只要对应固定的角度,那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分.
如图①,在 中,若弦 长度固定,则弦 所对的圆周角都相等（注意:弦
所对的劣弧 上也有圆周角,需要根据题目灵活运用）.
①
如图②,若有一固定线段 及线段 所对的 大小固定,根据圆的知识可知
点 不唯一.当 时,点 在优弧上运动;当 时,点 在圆上运动,且
线段 是 的直径;当 时,点 在劣弧上运动.
②
模型五 四点共圆模型
例5 如图，在 中，过点 作 ，垂足为点 ，过点 分别作
， ，垂足分别为 ， .连接 交线段 于点 .
（1）由 ， 可知， ______，所以
________________四点共圆，画出图形；
（2） 与 的关系是______；
（3）若 ， ，则 的值为___.
相似
4
， ， ，
[答案]
练习： 如图，已知矩形 ，点 是对角线 上一点，连接 ，
作 ，交 于点 ，连接 .若 ， ，则
___.
1
[解析] 四边形 为矩形， ，
， ， ， ， 四点共圆.如图，以 为
直径作圆. ， ， ，
， ， ，
， . 为直径， 垂直平分
， ， 为等边三角形， ，
， .

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