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第一节 总体与样本
第二节 统计量
第三节 抽样分布
第五章　数理统计的基本概念
第四节 正态总体的抽样分布
　　1.总体与样本的概念。
　　2.抽样分布。
　　3.正态总体的抽样分布。
学习重点
第五章 数理统计的基本概念
在数理统计中，我们把研究对象的全体称为总体，而把组成总体的每个基本元素称为个体.但在实践中人们常关心的是研究对象的某项特征的数量指标，因此把这种数量指标值的全体作为总体看待，每个指标值就成为这个总体的个体.一般说来，研究对象的某个指标在考察范围内，其取值是变动而不确定的，这样的指标可以看作是一个随机变量.因此今后凡提到总体都是指某个随机变量（体现某项特征的指标）Xi（i=1，2，…）的集合，并记总体为X.
根据总体中所含个体的多少，又把总体分为有限总体和无限总体.
一、总体与个体
第一节 总体与样本
为了研究总体的情况，对其个体逐一考察往往既无必要又不一定可能.一个可行的方法是从总体中随机地抽取部分个体进行逐个测试，并据此对总体特征进行探索和考察.这种从局部推断整体的方法是数理统计中最根本的方法，具有非常重要的意义.
既然是从局部推断整体，当然要求抽样取到的个体能较好地代表总体.为了做到这一点，抽样应该是随机的，使得每个个体被抽到的机会是等同的，也应该使得每抽取一个个体时总体的分布是不变的，这样的抽样称为简单随机抽样，以后所讨论的抽样都是简单随机抽样.容易看出，放回随机抽样是简单随机抽样；在抽取个体数量相对于所有个体数量很小的情况下，即使是不放回随机抽样，也近似为简单随机抽样.
二、样本与样本容量
第一节 总体与样本
从总体X中随机抽出的n个个体X1，X2，…，Xn，其全体（X1，X2，…，Xn）便为总体X的样本.其中Xi（i=1，2，…，n）称为样本的第i个样品.样本中所含样品个数n称为样本容量.
由于对总体特征的考察，其信息来自从中抽取的样本，因此要求样本应满足下述两条基本要求：
（1）独立性——X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量；
（2）代表性——X1，X2，…，Xn中的每一个个体都与总体X有相同分布.
二、样本与样本容量
第一节 总体与样本
在某一次具体试验中，样本（X1，X2，…，Xn）的一组观测值（x1，x2，…，xn）称为样本值.而在不同的试验中，样本值是不同的.这样，对于容量为n的样本，所有样本值的全体便构成了一个n维空间，在一次观测下的样本值应是这个n维空间的一个样本点.数理统计的讨论通常是从某一个样本点出发的.
可见，若总体X的概率密度函数为f（x），则样本（X1，X2，…，Xn）的联合密度函数为
二、样本与样本容量
第一节 总体与样本
1. 样本的原点矩与样本均值
三、样本矩与数字特征
第一节 总体与样本
2. 样本的中心矩与样本方差
三、样本矩与数字特征
第一节 总体与样本
2. 样本的中心矩与样本方差
由样本（X1，X2，…，Xn）的分布定义的矩统称为样本矩.相对于样本矩，由随机变量X（总体）的分布定义的矩统称为总体矩.
定理5.1 假设总体X存在二阶矩，记EX=μ，DX=σ2.（X1，X2，…，Xn）为来自总体X的样本.则样本矩与总体矩有如下关系：
三、样本矩与数字特征
第一节 总体与样本
定义5.1 设（X1，X2，…，Xn）为总体X的一个样本，f（X1，X2，…，Xn）是样本的函数，若f（X1，X2，…，Xn）中不包含任何未知参数，则称f（X1，X2，…，Xn）为一个统计量.
如果（x1，x2，…，xn）是样本（X1，X2，…，Xn）的一个观测值，则称f（x1，x2，…，xn）是统计量f（X1，X2，…，Xn）的一个观测值.
一、统计量的概念
第二节 统计量
二、常用统计量
第二节 统计量
设（X1，X2，…，Xn）是从总体X中抽取的一个样本，（x1，x2，…，xn）是样本的一个观测值，将观测值按由小到大的次序排列并重新编号为x（1）≤x（2）≤…≤x（n）.
当（X1，X2，…，Xn）取值为（x1，x2，…，xn）时，定义X（k）的取值为x（k）（k=1，2，…，n），由此得到的（X（1），X（2），…，X（n））称为样本（X1，X2，…，Xn）的次序统计量，（x（1），x（2），…，x（n））称为次序统计量的观测值.
三、次序统计量与经验分布函数
第二节 统计量
其中X（1）=min1≤i≤nXi称为最小次序统计量，X（n）=max1≤i≤nXi称为最大次序统计量，X（k）称为第k个次序统计量.由于每个X（k）都是样本（X1，X2，…，Xn）的函数，所以X（1），X（2），…，X（n）也都是随机变量.尽管样本X1，X2，…，Xn相互独立，但次序统计量（X（1），X（2），…，X（n））一般不是相互独立的，因此次序统计量的任一观测值均为由小到大的排列.
三、次序统计量与经验分布函数
第二节 统计量
定理5.2 设总体X的分布密度p（x）（或分布函数为F（x）），（X1，X2，…，Xn）为总体X的样本，X（1）称为最小次序统计量，X（n）称为最大次序统计量，则
三、次序统计量与经验分布函数
第二节 统计量
定义5.2 设（X1，X2，…，Xn）是来自总体X的样本，（X（1），X（2），…，X（n））是次序统计量，其观测值为（x（1），x（2），…，x（n）），设x是任一实数，称函数
三、次序统计量与经验分布函数
第二节 统计量
为总体X的经验分布函数.换句话说，对任何实数x，经验分布函数Fn（x）等于样本值中不超过x的个数再除以n，即
经验分布函数Fn（x）具有如下性质：
（1）对给定的一组样本值x1，x2，…，xn，Fn（x）是一个分布函数，因为它具有分布函数的特征，即
①0≤Fn（x）≤1；
②Fn（-∞）=0，Fn（+∞）=1；
③Fn（x）单调递增且右连续.
（2）对于固定的x，Fn（x）是依赖于样本观测值的，即Fn（x）是样本的函数，故Fn（x）是随机变量，且取值为0，1n，2n，…，n-1n，1.
（3）当n→∞时，经验分布函数Fn（x）依概率收敛于总体X的分布函数F（x），即limn→∞{|Fn（x）-F（x）|＜ε}=1（?ε＞0）
三、次序统计量与经验分布函数
第二节 统计量
定义5.3 设X1，X2，…，Xn为n个相互独立的随机变量，且均服从标准正态分布N（0，1），则称随机变量
一、χ2分布
第三节 抽样分布
所服从的分布是自由度为n的χ2分布，记为χ2（n）.
根据卷积公式和数学归纳法，可以证明χ2（n）的概率密度为
χ2分布具有下面的重要性质.
性质5.1（可加性） 设Y1～χ2（m），Y2～χ2（n），且Y1与Y2相互独立，则Y1+Y2～χ2（m+n）.
性质5.2（χ2分布的数字特征） 若χ2～χ2（n），则
E（χ2）=n，D（χ2）=2n.
一、χ2分布
第三节 抽样分布
定义5.4 设随机变量X～N（0，1），Y～χ2（n），且X与Y相互独立，则称随机变量
二、t分布
第三节 抽样分布
服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）.随机变量T亦称为t变量.利用独立随机变量商的密度公式，不难由已知的N（0，1），χ2（n）的密度公式得到t（n）的密度：
性质5.3 设随机变量T～t（n），则当n＞2时，有
二、t分布
第三节 抽样分布
性质5.4 设随机变量T～t（n），p（t）是T的分布密度，则
此性质说明，当n→∞时，t分布的极限公布是标准正态分布.
定义5.5 设X～χ2（n1），Y～χ2（n2），且X与Y相互独立，则称随机变量
三、F分布
第三节 抽样分布
服从自由度为n1和n2的F分布，记为F～F（n1，n2）.
F分布的密度函数为
定义5.6 对于随机变量X和给定的α（0＜α＜1），若存在实数xα，使P{X＞xα}=α，则称xα为随机变量X分布的上侧α分位数.
（1）如果随机变量X～N（0，1），将标准正态分布的上侧分位数记为uα，它满足P{X＞uα}=1-P{X≤uα}=1-Φ（uα）=α.即Φ（uα）=1-α.
（2）如果随机变量T～t（n），将自由度为n的t分布的上侧分位数记为tα（n），它满足P{T＞tα（n）}=α.
（3）如果随机变量χ2～χ2（n），将自由度为n的χ2分布的上侧分位数记为χ2α（n），它满足P{χ2＞χ2α（n）}=α.
（4）如果F～F（n1，n2），将自由度为（n1，n2）的F分布的上侧分位数记为Fα（n1，n2），它满足P{F＞Fα（n1，n2）}=α.
四、概率分布的分位数
第三节 抽样分布
一、单个正态总体的统计量的分布
第四节 正态总体的抽样分布
二、两个正态总体的统计量的分布
第四节 正态总体的抽样分布
二、两个正态总体的统计量的分布
第四节 正态总体的抽样分布
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