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第一节 二维随机变量及其分布
第二节 二维离散型随机变量
第三节 二维连续型随机变量
第四节 二维随机变量函数的概率分布
第三章　多维随机变量及其分布
　　1.联合分布函数。
　　2.二维离散型随机变量。
　　3.二维连续型随机变量。
学习重点
第三章 多维随机变量及其分布
　　定义3.1 设随机试验E，它的样本空间Ω={ω}.设X=X（ω）和Y=Y（ω）是定义在Ω上的随机变量，由它们构成的一个有序组（X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量.
定义3.2 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数F（x，y）=P（X≤x，Y≤y）称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X与Y的联合分布函数.
第一节 二维随机变量及其分布
一、联合分布函数
　　分布函数F（x，y）具有以下性质：
第一节 二维随机变量及其分布
一、联合分布函数
　　设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x，y），如果让其中一个随机变量的取值趋于无穷，就能得到X或Y的分布函数，则有
FX（x）=P（X≤x）=P（{X≤x}∩Ω）
=P（{X≤x}∩{Y＜+∞}）
=P（X≤x，Y＜+∞）=F（x，+∞）.
即FX（x）=F（x，+∞）.
同理，有FY（y）=F（+∞，y）. 分别称FX（x）和FY（y）为二维随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布函数.
第一节 二维随机变量及其分布
二、边缘分布函数
　　定义3.3 若二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为有限或可列对，则称（X，Y）为二维离散型随机变量.对于二维离散型随机变量（X，Y），若它至多只能取有限或可数无限对不同值（xi，yj），（i，j=1，2，…），称（X，Y）取各可能值的相应的概率
P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…为（X，Y）的分布律或概率分布，或称为X与Y的联合分布律.
第二节 二维离散型随机变量
一、联合分布律
第二节 二维离散型随机变量
一、联合分布律
　　分布律具有如下性质：
　　设二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布为
P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…
第二节 二维离散型随机变量
二、边缘分布律
　　分别称pi·（i=1，2，…）和p·j（j=1，2，…）为二维离散型随机变量（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律.
　　定义3.4 设离散型二维随机变量（X，Y）的概率分布为
P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…
（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律为
P（X=xi）=pi·，i=1，2，…
P（Y=yj）=p·j，j=1，2，…
对于固定的j，若P（Y=yj）＞0，则称
第二节 二维离散型随机变量
三、条件分布律
为在给定条件Y=yj下随机变量X的条件分布律.
　　同样，对于固定的i，若P（X=xi）＞0，则称
第二节 二维离散型随机变量
三、条件分布律
为在给定条件X=xi下随机变量Y的条件分布律.
　　定义3.5 设二维离散型随机变量（X，Y）的联合分布律为
P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，3，…
若对于所有的i，j都有pij=pi·p·j
则称随机变量X与Y是相互独立的.
第二节 二维离散型随机变量
四、离散型随机变量的独立性
　　定义3.6 对于二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x，y），如果存在非负函数f（x，y），使得对于任意实数x，y有
第三节 二维连续型随机变量
一、联合概率密度
　　则称（X，Y）为二维连续型随机变量，函数f（x，y）称为（X，Y）的概率密度函数（简称为概率密度、分布密度），或称为X与Y的联合概率密度.
　　概率密度函数具有如下性质：
第三节 二维连续型随机变量
一、联合概率密度
　　1. 二维均匀分布
设G为平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X，Y）的概率密度为
第三节 二维连续型随机变量
一、联合概率密度
则称（X，Y）在G上服从均匀分布.
　　2. 二维正态分布
若二维随机变量（X，Y）的概率密度为
第三节 二维连续型随机变量
一、联合概率密度
其中μ1，μ2，σ1（＞0），σ2（＞0），ρ（|ρ|＜1）均为常数，则称（X，Y）服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二维正态分布.记为（X，Y）～N（μ1，σ21；μ2，σ22；ρ）.
　　对于二维连续型随机变量（X，Y），与离散型随机变量相类似，由联合分布可以得到边缘分布.设（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），可得
第三节 二维连续型随机变量
二、边缘概率密度
由此可知，X亦为连续型随机变量，并且其概率密度为
其中fX（x）与fY（y）分别称为（X，Y）关于X与Y的边缘概率密度.
　　定义3.7 设（X，Y）的联合密度函数为f（x，y），对任意一个固定的y（-∞＜y＜∞），当fY（y）＞0时，称
第三节 二维连续型随机变量
三、条件概率密度
为已知{Y=y}发生的条件下X的条件密度函数.
类似地，对任意一个固定的x（-∞＜x＜∞），当fX（x）＞0时，称
为已知{X=x}发生的条件下Y的条件密度函数.
　　易见，fX|Y（x|y）与fY|X（y|x）满足作为密度函数的两个条件.
第三节 二维连续型随机变量
三、条件概率密度
　　定义3.8 设二维连续型随机变量（X，Y）的联合密度为p（x，y），边缘分布密度分别为pX（x），pY（y），若对于任意实数x，y有p（x，y）=pX（x）pY（y）.
则称随机变量X与Y相互独立.
第三节 二维连续型随机变量
四、连续型随机变量的独立性
　　设离散型随机变量（X，Y）具有概率分布
P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…
求函数Z=g（X，Y）的分布.
由于当（X，Y）取值（xi，yj）时，Z就取函数值g（xi，yj）.因此，当不同的（xi，yj）对应不同的g（xi，yj）时，有
P［Z=g（xi，yj）］=P（X=xi，Y=yj）=pij，i，j=1，2，…
当不同的（xi，yj）对应同一个g（X，Y）的值时，则Z取这个值的概率是（X，Y）取各对（xi，yj）的概率之和.
第四节 二维随机变量函数的概率分布
一、二维离散型随机变量函数的概率分布
　　若（X，Y）为二维随机变量，（X，Y）的联合概率密度为f（x，y），Z=g（X，Y），且z=g（x，y）为连续函数，则Z的分布函数为
第四节 二维随机变量函数的概率分布
二、二维连续型随机变量函数的概率分布
　　设X，Y相互独立，且X～FX（x），Y～FY（y），令
M=max{X，Y}，N=min{X，Y}.
则它们的分布函数分别为
FM（z）=P{M≤z}=P{max{X，Y}≤z}
=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}
=FX（z）FY（z），
第四节 二维随机变量函数的概率分布
三、极值分布
　　FN（z）=P{N≤z}=P{min{X，Y}≤z}
=1-P{min{X，Y}＞z}
=1-P{X＞z，Y＞z}
=1-P{X＞z}P{Y＞z}
=1-（1-P{X≤z}）（1-P{Y≤z}）
=1-（1-FX（z））（1-FY（z））.
若X，Y独立同分布，即X～F（x），Y～F（y）则
FM（z）=［F（z）］2，FN（z）=1-［1-F（z）］2.
第四节 二维随机变量函数的概率分布
三、极值分布
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