资源简介

(共21张PPT)
第一节 数学期望
第二节 方差
第三节 协方差与相关系数
第四节 大数定律与中心极限定理
第四章　随机变量的数字特征
　　1.随机变量的数学期望。
　　2.随机变量的方差。
　　3.协方差与相关系数。
　　4.大数定律。
5.中心极限定理。
学习重点
第四章 随机变量的数字特征
　　定义4.1 设离散型随机变量X的分布律为P{X=xi}=pi（i=1，2，…），则称和式∑i=1xipi为离散型随机变量X的数学期望，记作
一、离散型随机变量的数学期望
第一节 数学期望
或记EX，即数学期望等于离散型随机变量的所有可能取值与其对应概率乘积之和.
　　1. 二点分布
二点分布的分布律为
一、离散型随机变量的数学期望
第一节 数学期望
其中0＜p＜1，q=1-p，所以二点分布的数学期望
E（X）=0×q+1×p=p.
　　2. 二项分布
二项分布的分布律为
一、离散型随机变量的数学期望
第一节 数学期望
二项分布的数学期望E（X）=np.
　　3. 泊松分布
泊松分布的分布律为
一、离散型随机变量的数学期望
第一节 数学期望
泊松分布的参数λ就是随机变量的数学期望.
　　定义4.2 设随机变量X的密度函数为f（x）（-∞＜x＜+∞）.如果积分∫+∞-∞xf（x）dx绝对收敛，称积分∫+∞-∞xf（x）dx的值为随机变量X的数学期望.记为
二、连续型随机变量的数学期望
第一节 数学期望
　　1. 均匀分布
二、连续型随机变量的数学期望
第一节 数学期望
　　2. 指数分布
　 3. 正态分布
　　定理4.1 设Y是随机变量X的函数：Y=g（X）（g是连续函数）.
三、随机变量函数的数学期望
第一节 数学期望
　　定理4.2 设Z是二维随机变量（X，Y）的函数：Z=g（X，Y），其中g是连续实函数.
三、随机变量函数的数学期望
第一节 数学期望
　　数学期望主要具有如下性质：
（1） 若C为常数，则E（C）=C；
（2） 若C为常数，则E（CX）=CE（X）；
（3） 对任意的随机变量X与Y，有E（X+Y）=E（X）+E（Y）（此性质可推广到有限个情形）；
（4） 若X与Y相互独立，则E（XY）=E（X）E（Y）（此性质可推广到有限个情形）.
四、数学期望的性质
第一节 数学期望
　　定义4.3 设X是随机变量，若E（X-EX）2存在，则称它为随机变量X的方差，记为DX，即DX=E（X-EX）2.
与随机变量X具有相同量纲的量DX称为标准差或均方差.
除定义外，关于随机变量X的方差的计算有以下重要公式：
DX=EX2-（EX）2.
一、方差的概念
第二节 方差
　　 方差主要具有以下性质（假设D（X），D（Y）存在）：
（1） 若C为常数，则D（C）=0；
（2） 若C为常数，则D（CX）=C2D（X）；
（3） 若X与Y相互独立，有D（X+Y）=D（X）+D（Y），此性质可推广到有限个情形.
二、方差的性质
第二节 方差
　　定义4.4 设（X，Y）是二维随机变量，E{［X-E（X）］［Y-E（Y）］}称为随机变量X与Y的协方差，记为cov（X，Y），即
cov（X，Y）=E{［X-E（X）］［Y-E（Y）］}
一、协方差及其性质
第三节 协方差与相关系数
　　 协方差具有如下重要性质：
（1） cov（X，Y）=cov（Y，X）；
（2） cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）；（4?15）
（3） cov（aX，bY）=abcov（X，Y），a，b是常数；
（4） cov（X1+X2，Y）=cov（X1，Y）+cov（X2，Y）；
（5） 若X与Y相互独立，则cov（X，Y）=0；
（6） D（X±Y）=D（X）+D（Y）±2cov（X，Y）.
一、协方差及其性质
第三节 协方差与相关系数
　　定义4.5 设（X，Y）为二维随机变量，若D（X），D（Y）都存在，则称
二、相关系数及其性质
第三节 协方差与相关系数
为随机变量X与Y的相关系数，记为ρXY.
相关系数具有如下重要性质：
（1） 对于任意的随机变量X与Y，有|ρXY|≤1；
（2） |ρXY|=1的充分必要条件为P{Y=aX+b}=1，其中a，b均为常数，且a≠0；
（3） 若X，Y相互独立，则它们不相关，ρXY=0.
　　定理4.3 设E（X）=μ，D（X）=σ2分别是随机变量X的均值和方差，则对于任意给定的正数ε，有
一、切比雪夫不等式
第四节 大数定律与中心极限定理
这个不等式称为切比雪夫不等式，它说明方差D（X）越小，随机变量取值远离期望E（X）的概率就越小，即X的取值越集中在E（X）的附近.
　　定理4.4 设X是n次独立试验中事件A发生的次数，p（0＜p＜1）是在一次试验中事件A发生的概率，则对于任意给定的正数ε，有
二、伯努利大数定律
第四节 大数定律与中心极限定理
伯努利大数定律从理论上证明了事件A在n次独立试验中发生的频率X/n，当n逐渐增大时稳定于事件A的概率p，于是，当n充分大时，频率可以作为概率的近似值.
　　定理4.5（独立同分布中心极限定理） 设随机变量X1，X2，…，Xn相互独立，且服从同一分布，E（Xk）=μ，D（Xk）=σ2≠0（k=1，2，…），则标准化的随机变量之和
三、中心极限定理
第四节 大数定律与中心极限定理
　　定理4.6 设在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中出现的概率为p（0＜p＜1），nA表示n次试验中A出现的次数，则对任意实数x，有
三、中心极限定理
第四节 大数定律与中心极限定理
　　在实际工作中，若随机变量X～B（n，p），则当n充分大时，可以认为X近似服从正态分布N（np，np（1-p）），从而有
谢谢观看

展开更多......

收起↑