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第一节 一维随机变量
第二节 离散型随机变量
第三节 随机变量的分布函数
第四节 连续型随机变量
第二章　一维随机变量及其分布
第五节 一维随机变量函数的概率分布
　　1.一维随机变量。
　　2.离散型随机变量。
　　3.随机变量的分布函数。
　　4.连续型随机变量。
学习重点
第二章 一维随机变量及其分布
　　定义2.1 设随机试验E，它的样本空间Ω={ω}.若对任一ω∈Ω，都有实数X（ω）与之对应，则称X（ω）为随机变量.简记为X.
随机变量分离散型和非离散型两大类.离散型随机变量是指其所有可能取值为有限或可列无穷多个的随机变量.非离散型随机变量是对除离散型随机变量以外的所有随机变量的总称，范围很广，而其中最重要且应用最广泛的是连续型随机变量.　
第一节 一维随机变量
定义2.2 如果随机变量X只能取有限个或可列无穷多个数值，则称X为离散型随机变量.
要掌握一个随机变量的统计规律，不但要知道它都可能取什么值，更重要的是知道它取每一个值的概率是多少.
定义2.3 设xk（k=1，2，…）为离散型随机变量X的所有可能取值，pk（k=1，2，…）是X取值xk时相应的概率，即P{X=xk}=pk，（k=1，2，…），则式叫作离散型随机变量X的概率分布，其中pk≥0且∑pk=1.　
一、离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
离散型随机变量X的概率分布也可以用表的形式来表示，称其为离散型随机变量X的分布律.
一、离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
1. 两点分布（0-1分布）
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
其中0＜p＜1，q=1-p，则称X服从参数为p的两点分布或（0-1）分布，记为X～B（1，p）.
2. 二项分布
如果随机变量X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n，在n次试验中A发生k次的概率为
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
其中0＜p＜1，q=1-p，则称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）.
特别地，当n=1时的二项分布就是两点分布.
3. 泊松（Poisson）分布
如果随机变量X的概率分布为
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
其中λ＞0，则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P（λ）.
泊松分布常见于所谓“稠密性”问题，在实际生活中已发现许多取值为非负整数的随机变量都服从泊松分布.
定理2.1（泊松定理） 设随机变量Xn（n=1，2，…）服从参数为n，pn的二项分布，即有
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
4. 几何分布
定义2.4如果随机变量X的概率分布为
P{X=k}=p（1-p）k-1（k=1，2，…）
则称X服从参数为p的几何分布，记为X～G（p）.
几何分布描述如下概型：在事件A发生的概率为p的多重伯努利试验中，若以X表示A首次发生时的试验次数，则X服从参数为p的几何分布.
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
5. 超几何分布
定义2.5 如果随机变量X的分布概率为
二、几种常见的离散型随机变量的概率分布
第二节 离散型随机变量
其中n，M，N皆为正整数，且M＜N，n≤N，l=min（M，n），则称X为服从参数为n，M，N的超几何分布，记为X～H（n，M，N）.
定义2.6 设X是一个随机变量，对任何实数x，令
F（x）=P{X≤x}（-∞＜x＜∞）
称F（x）是随机变量X的分布函数，也称为累积分布函数.
分布函数以全体实数为定义域，以事件{X≤x}的概率为函数值，从而分布函数是一个普通的函数.
由概率的性质及分布函数的定义易知，对任意实数x1＜x2，有
P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F（x2）-F（x1）.
因此，若已知分布函数，我们就可以知道X落在任一区间［x1，x2］内的概率，从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性.如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数F（x）在点x处的值就表示X落在区间（-∞，x］上的概率.
一、分布函数的定义
第三节 随机变量的分布函数
分布函数F（x）具有以下性质：
（1） （单调不减性）若x1＜x2，则F（x1）≤F（x2）.
事实上，F（x2）-F（x1）=P（x1＜X≤x2）≥0，x1＜x2.
（2） （有界性）0≤F（x）≤1，且
F（-∞）=limx→-∞F（x）=0；
F（+∞）=limx→+∞F（x）=1.
据分布函数定义即知0≤F（x）≤1；对后两式只给出直观解释：由于F（-∞）相当于事件{X＜-∞}的概率，而{X＜-∞}是不可能事件，故有F（-∞）=0.类似地，{X＜+∞}是必然事件，故有F（+∞）=1.
（3） （右连续性）F（x+0）=F（x）.
一、分布函数的定义
第三节 随机变量的分布函数
其中和式是对满足xk≤x的一切k求和.离散型随机变量的分布函数是分段函数，F（x）的间断点就是离散型随机变量X的各可能取值点，并且在其间断点处右连续.离散型随机变量X的分布函数F（x）的图形是阶梯形曲线.F（x）在X的一切有（正）概率的点xk，皆有一个跳跃，其跃度正好为X取值xk的概率pk，而在分布函数F（x）的任何一个连续点x上，X取值x的概率皆为零.
二、离散型随机变量的分布函数
第三节 随机变量的分布函数
定义2.7 对于随机变量X，如果存在非负可积函数f（x）（-∞＜x＜+∞），对于任意的实数a，b（a＜b），都有
一、连续型随机变量及其密度函数
第四节 连续型随机变量
则称X为连续型随机变量，f（x）称为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.有时也可用其他函数符号如p（x）等表示.
如果f（x）是随机变量X的密度函数，则必有如下性质：
（1）f（x）≥0（-∞＜x＜+∞）；
（2） ∫+∞-∞f（x）dx=P{-∞＜X＜+∞}=1.
1. 均匀分布
如果连续型随机变量X的概率密度为
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第四节 连续型随机变量
（其中a＜b为有限数），则称X在区间［a，b］上服从均匀分布，记为X～U［a，b］.
容易验证：f（x）满足概率密度的两条性质.由连续型随机变量的定义，可以求得X的分布函数为
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第四节 连续型随机变量
2. 指数分布
如果连续型随机变量X的密度函数为
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第四节 连续型随机变量
则称X服从参数为λ的指数分布，记作X～E（λ）.
分布函数为
3. 正态分布
如果连续型随机变量X的概率密度函数为
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第四节 连续型随机变量
其中σ＞0为常数，则称X服从以μ，σ2为参数的正态分布，记作X～N（μ，σ2）.
特别地，当μ=0，σ=1时，称X服从标准正态分布，并分别以φ（x）及Φ（x）记标准正态分布的密度函数和分布函数.
正态分布是概率论中最重要的一种分布，因为它是实际中最常见的一种分布.理论上已证明，如果某个数量指标呈现随机性是由很多相对独立的随机因素影响的结果，而每个随机因素的影响都不大，这时该数量指标就服从正态分布.
正态密度函数f（x）的图形具有以下特点：
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第四节 连续型随机变量
（1） 以直线x=μ为对称轴，并在x=μ处有最大值f（μ）=12πσ；
（2） 在x=μ±σ处各有一个拐点；
（3） 当x→±∞时，以x轴为渐近线；
（4） 当固定σ而变动μ时，图形形状不变地沿x轴平行移动.当固定μ而变动σ时，随着σ的变大，图形的高度下降，形状变得平坦；随着σ的变小，图形的高度上升，形状变得陡峭.
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第四节 连续型随机变量
一般正态分布N（μ，σ2）与标准正态分布N（0，1）有如下关系：
定理2.2 设随机变量X～N（μ，σ2），分布函数设为F（x），则对每个x∈R，有F（x）=Φx-μσ.
推论2.1 若X～N（μ，σ2），则Y=X-μσ～N（0，1）.
推论2.2 若X～N（μ，σ2），对每个a，b∈R（a＜b），有
P{a＜X≤b}=Φb-μσ-Φa-μσ.
一、离散型随机变量函数的概率分布
第五节 一维随机变量函数的概率分布
定理2.3 设随机变量X的概率分布如表2-4所示.
则Y=f（X）的概率分布如表2-5所示.
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第五节 一维随机变量函数的概率分布
1. 分布函数法
二、几种常用的连续型随机变量的概率分布
第五节 一维随机变量函数的概率分布
1. 积分转化法
设随机变量X的概率密度为fX（x），g（x）为（分段）连续或（分段）单调函数，Y=g（X）.若对任何非负连续函数h（x），成立
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