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第一节 随机事件
第二节 随机事件间的关系及运算
第三节 随机事件的概率
第一章　随机事件及其概率
第四节 条件概率
第五节 事件的独立性
　　1.随机事件。
　　2.随机事件间的关系及运算。
　　3.随机事件的概率。
　　4.条件概率与事件的独立性。
学习重点
第一章 随机事件及其概率
1. 随机现象
自然界与人类社会存在和发生的各种现象，大致可归结为两类：一类称为确定性现象，即条件完全决定结果的现象.另一类称为随机现象，即条件不能完全决定结果的现象.
第一节 随机事件
2. 随机试验
为了深入研究随机现象，就必须在一定的条件下对它进行多次观察.若把一次观察视为一次试验，观测到的结果就是试验结果.概率论中把满足下列特点的试验称为随机试验.
（1）可以在相同的条件下重复进行；
（2）有多种可能结果，且知道试验可能出现的全部结果；
（3）试验前不能预言会出现哪种结果.
第一节 随机事件
3. 随机事件
在随机试验中，人们通常不仅关心某个样本点出现，更关心满足某些条件的样本点出现，即关心试验时可能出现的某种结果.例如，在掷骰子的试验E6中，我们可能关心是否出现点数1，亦或可能关注是否出现奇数点（即点数1，3，5）等结果.它们皆为样本空间的子集（随机试验可能出现的结果），我们称之为随机事件，简称为事件.
第一节 随机事件
4. 样本空间
我们把随机试验E的所有可能结果组成的集合称为随机试验E的样本空间，用Ω来表示.Ω中的元素，即E的每一个可能结果，称为样本点，一般用ω表示.
第一节 随机事件
1. 包含关系
若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A.
2. 和（并）事件
事件A与事件B中至少有一个发生，即事件A发生或事件B发生，这个事件称为事件A与事件B的和（并）事件，记作A∪B（或A+B）.
3. 积（交）事件
事件A与事件B同时发生，即事件A发生且事件B发生，这个事件称为事件A与事件B的积（交）事件，记作A∩B（或AB）.
一、事件间的关系和运算
第二节 随机事件间的关系及运算
4. 差事件
事件A发生且事件B不发生，这个事件称为事件A与事件B的差事件，记作A-B（或AB）.
5. 互斥关系（互不相容）
若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，或称事件A与事件B互不相容.
6. 对立（逆）事件
对于事件A，若事件A满足A∪A=Ω，A∩A=空集，则把事件A称为事件A的对立事件.
一、事件间的关系和运算
第二节 随机事件间的关系及运算
二、事件间的关系和运算的性质
第二节 随机事件间的关系及运算
如同集合运算规律一样，事件间的运算满足下列规律：
（1） 交换律：A∪B=B∪A；A∩B=B∩A.
（2） 结合律：A∪（B∪C）=（A∪B）∪C；
A∩（B∩C）=（A∩B）∩C.
（3） 分配律：A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）；
A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）.
二、事件间的关系和运算的性质
第二节 随机事件间的关系及运算
古典概率模型简称古典概型，通常是指具有下列两个特征的随机试验模型.
（1） 随机试验只有有限个可能的结果，即有限个样本点（有限性）；
（2） 每一个样本点发生的可能性相等（等可能性）.
古典概型又称为等可能性概型.在概率论产生和发展的过程中，它是最早的研究对象，在实际应用中它也是最常用的一种概率模型.
一、概率的古典定义
第三节 随机事件的概率
定义1.1（概率的古典概型定义）
对于给定的古典概型，若样本空间中有n个样本点，事件A含有m个样本点，则事件A的概率为
一、概率的古典定义
第三节 随机事件的概率
性质1.1（古典概率的性质）
（1） 对于任意事件A，0≤P（A）≤1；
（2） P（Ω）=1，P（空集）=0；
（3） 若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则
P（A1∪A2∪…∪An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）.
定义1.2（频率的定义）若在同一组条件下将试验E重复N次，事件A发生了m次，则称比值mN为事件A在N次重复试验中发生的频率，记为fN（A），即
二、概率的统计定义
第三节 随机事件的概率
定义1.3（概率的统计定义）在观察某一随机事件A的随机试验中，随着试验次数n的增大，事件A发生的频率fn（A）会越来越稳定地在某一常数p附近摆动，这时就以常数p作为事件A的概率，并称其为统计概率，记作：P（A）=p.
性质1 P（空集）=0，即不可能事件的概率为零.
性质2 若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，则
P（∑ni=1Ai）=∑ni=1P（Ai）.
性质3P（A）=1-P（A）.
性质4若B?A，则P（A-B）=P（A）-P（B），且P（B）≤P（A）.
性质5 对于任意事件A、B，P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）.
三、概率的性质
第三节 随机事件的概率
定义1.4设A、B为试验E的两个事件，且P（B）＞0，则称
一、条件概率
第四节 条件概率
为事件B发生的条件下事件A发生的概率，简称条件概率.
条件概率具有以下性质：
（1） 若A、B为随机事件，且P（B）＞0，则0≤P（A|B）≤1；
（2） 若P（B）＞0，则P（Ω|B）=1，P（?|B）=0；
（3） 若A1，A2，…，An是两两互不相容的事件，P（B）＞0，则P（∑ni=1Ai|B）=∑ni=1P（Ai|B）；
（4） 若P（B）＞0，则P（A|B）=1-P（A|B）.
定理1.1 设P（B）＞0，则有P（AB）=P（B）·P（A|B）.
设P（A）＞0，则有P（AB）=P（A）·P（B|A）.
概率的乘法公式可以推广到任意n个事件的情形.
若事件A1，A2，…，An满足P（A1A2…An-1）＞0，则
P（∩ni=1Ai）=P（A1）P（A2|A1）P（A3|A1A2）…P（An|A1A2…An-1）.
二、乘法公式
第四节 条件概率
定理1.2（全概率公式）若A1，A2，…，An（n有限或无限）是两两互不相容的事件，P（Ai）＞0，i=1，2，…，n，事件B?∪ni=1Ai，则对于事件B，有P（B）=∑ni=1P（Ai）P（B|Ai）.称为全概率公式.
三、全概率公式
第四节 条件概率
定理1.3（贝叶斯公式）设A1，A2，…，An（n有限或无限）是两两互不相容的事件，P（Ai）＞0，i=1，2，…，n，事件B?∪ni=1Ai，则有P（Ai|B）=P（Ai）P（B|Ai）∑nj=1P（Aj）P（B|Aj）.
上式称为贝叶斯（Bayes）公式（或逆概率公式，后验概率公式），它是由英国科学家贝叶斯建立的.
四、贝叶斯公式
第四节 条件概率
定义1.5 设A与B为两事件，若P（AB）=P（A）·P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立.
定理1.4 设A、B为两事件，且P（A）＞0，则A与B相互独立的充要条件是P（B|A）=P（B）.
性质1.2 （1）不可能事件?与任何事件独立；
（2） 若事件A、B相互独立，则A与B，A与B，A与B分别相互独立.
一、相互独立事件
第五节 事件的独立性
定义1.6 对于随机事件A1，A2，A3，若下列4个等式成立，则称A1，A2，A3是相互独立的.
P（A1A2）=P（A1）P（A2）
P（A2A3）=P（A2）P（A3）
P（A1A3）=P（A1）P（A3）
P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）
定义1.7 设有n个事件A1，A2，…，An.如果对于任意正整数k（2≤k≤n）以及1≤i1＜i2＜…＜ik≤n有P（Ai1Ai2…Aik）=P（Ai1）P（Ai2）…P（Aik）成立，则称事件A1，A2，…，An是相互独立的.
一、相互独立事件
第五节 事件的独立性
定理1.5 设在一次试验中事件A发生的概率为p（0＜p＜1），则在n重伯努利试验中A恰好发生k次的概率为
二、独立试验序列概型
第五节 事件的独立性
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