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第一节 假设检验的基本概念
第二节 单正态总体参数的假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
第七章　假设检验
　　1.假设检验的基本概念。
　　2.假设检验的两类错误。
　　3.单正态总体参数的假设检验。
　　4.两个正态总体参数的假设检验。
学习重点
第七章 假设检验
假设检验问题——通过样本观测值来判断某个假设是否成立.其中有的问题涉及的随机变量只有一个，称其为一个总体的假设检验问题.有的问题涉及的随机变量有两个，称其为两个总体的假设检验问题.
一、假设检验的问题举例
第一节 假设检验的基本概念
进行假设检验的基本方法类似数学证明中的反证法，但是带有概率性质.具体地说，就是为了检验一个假设是否成立，在“假定该假设成立”的前提之下进行推导，看会得到什么结果.如果导致了一个不合理现象的出现，则表明“假定该假设成立”不正确，即“原假设不成立”，此时，拒绝这个假设；如果没有导致不合理现象的出现，便没有理由拒绝这个假设，则接受这个假设.其中“不合理现象”的标准便是人们在实践中广泛采用的统计学中的小概率原理.所谓小概率原理，是指“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”.如果做一次试验，结果小概率事件发生了，则认为是不合理现象，于是对“假定原假设成立”产生怀疑，即拒绝原假设.
二、假设检验的方法思想
第一节 假设检验的基本概念
当然，小概率事件在一次试验中只是几乎不可能发生，而不是绝对不可能发生.因此，进行假设检验的基本方法与数学证明中的反证法虽然相似，却有着本质区别.
概率小到什么程度的事件才算作小概率事件，没有统一的标准，是根据具体情况在检验之前事先指定的.通常选0.1，0.05，0.01等，这种界定小概率的值常用α表示，称其为显著性水平或检验水平.所提出的假设用H0表示，称H0为原假设或零假设，并把原假设的对立假设用H1表示，称H1为备择假设.
二、假设检验的方法思想
第一节 假设检验的基本概念
假设检验是根据样本的信息，利用小概率原理来对总体进行推断，而小概率事件在一次试验中毕竟也可能发生，因此假设检验难免要犯两类错误：
其一，在原假设为真的情况下，做出了拒绝原假设的推断，称这种错误为第一类错误或“弃真”错误.
其二，在原假设不正确的情况下，做出了接受原假设的推断，称这种错误为第二类错误或“取伪”错误.
三、假设检验的两类错误
第一节 假设检验的基本概念
我们当然希望犯这两类错误的概率都尽可能小，但是当样本容量n固定时，要使犯这两类错误的概率都同时变小是不可能的.只有增加样本容量n才能使犯这两类错误的概率同时变小.在实际进行假设检验时，人们往往先控制犯第一类错误的概率，再用适当增大样本容量n的方法来减少犯第二类错误的概率.
三、假设检验的两类错误
第一节 假设检验的基本概念
（1）根据实际问题提出原假设H0和备择假设H1；
（2）根据检验对象，构造检验统计量T（X1，X2，…，Xn），使当H0为真时，T有确定的分布；
（3）由给定的显著水平α，确定H0的拒绝域W，使P（T∈W）=α.
（4）由样本观察值计算统计量观察值t；
（5）做出判断：当t∈W时，则拒绝H0，否则不拒绝H0.即认为在显著水平α下，H0与实际情况差异不显著.
四、假设检验的基本步骤
第一节 假设检验的基本概念
1. 方差已知时，正态总体均值的假设检验（U检验）
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N（μ，σ20）的一个样本，其中μ未知，-∞＜μ＜+∞，σ20已知，要检验假设
H0：μ=μ0H1：μ≠μ0.
其中μ0为已知常数，取检验的统计量为
一、单正态总体均值的假设检验
第二节 单正态总体参数的假设检验
当H0成立时，U服从标准正态分布N（0，1），且当H0成立时，|X-μ0|的值应较小，故|U|的值也应较小，若根据一次抽样结果发现|U|的值较大，自然怀疑H0不成立.对于给定的检验水平α（0＜α＜1），查标准正态分布表得分位数uα2，使得P{|U|≥uα2}=α.
因此，检验的拒绝域为W={（x1，x2，…，xn）：|u|≥uα2}.
其中u为统计量U的观测值.这种利用标准正态分布的统计量作为检验统计量的假设检验称为U检验.
一、单正态总体均值的假设检验
第二节 单正态总体参数的假设检验
2. 方差未知时，正态总体均值的检验（t检验）
设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，μ，σ2均未知，要检验假设
H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0（μ0为已知常数）.
一、单正态总体均值的假设检验
第二节 单正态总体参数的假设检验
因此，检验的拒绝域为W=（x1，x2，…，xn）：|t|≥tα2（n-1）.
其中t为统计量T的观测值，当获得样本观测值（x1，x2，…，xn）后，可求得t值，若|t|≥tα2（n-1），则拒绝H0，若|t|＜tα2（n-1），则接受H0，这种假设检验称为t检验.
一、单正态总体均值的假设检验
第二节 单正态总体参数的假设检验
这里只讨论μ未知时σ2的假设检验问题（关于μ已知时的情况，一是比较少见，二是与μ未知时的讨论类似）.首先讨论如下的三种假设检验问题：
（1）H0：σ2=σ20，H1：σ2≠σ20；
（2）H0：σ2=σ20，H1：σ2＞σ20；
（3）H0：σ2=σ20，H1：σ2＜σ20.
二、单正态总体方差的假设检验（χ2检验）
第二节 单正态总体参数的假设检验
二、单正态总体方差的假设检验（χ2检验）
第二节 单正态总体参数的假设检验
设两个总体X～N（μ1，σ21），Y～N（μ2，σ22），从这两个总体中分别抽取容量为n1和n2的两个独立样本X1，X2，…，Xn1及Y1，Y2，…，Yn2；样本均值与样本方差分别为
一、两个正态总体均值差μ1-μ2的假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
一、两个正态总体均值差μ1-μ2的假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
这里需要用到两个总体方差σ21与σ22相等的条件.这个条件常常是从已有的经验中得到，或者是事先进行了两个方差相等的检验，并且得到了肯定的结论.因此，在实际应用中遇到这类问题时，一般要先进行方差相等的检验，只有在两个总体的方差被认为相等后，才能用t检验法进行两个正态总体均值相等的假设检验.
一、两个正态总体均值差μ1-μ2的假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
设（X1，X2，…，Xn1）是来自正态总体N（μ1，σ21）的样本，（Y1，Y2，…，Yn2）是来自正态总体N（μ2，σ22）的样本，且两样本相互独立，μ1，μ2均未知，需检验假设
H0：σ21=σ22，H1：σ21≠σ22.
要比较σ21与σ22的大小，自然想到用它们的无偏估计量S*21与S*22进行比较，注意到如下事实：
二、两个正态总体方差的假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
二、两个正态总体方差的假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
前面介绍的检验都是对形如H0：θ=θ0，H1：θ≠θ0的假设所做的.检验统计量T太大或太小都意味着H0不真.所以H0的拒绝域都有两个临界值.这种检验称为双侧假设检验.
在实际中还有这样的情况，检验统计量仅仅太大才意味着H0不真，或仅仅太小才意味着H0不真.比如，H0为“平均产量提高了”，那么X太小就应拒绝H0，而X太大则不应拒绝H0.这时假设都表现为
H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0或H0：θ≥θ0，H1：θ<θ0.
H0的拒绝域也就只有一个临界值.这种检验称为单侧假设检验.
三、单侧假设检验
第三节 两个正态总体参数的假设检验
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