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2024河北中考数学一轮复习
第二章 方程（组）与不等式（组）
第5讲 一次方程（组）及其应用
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦河北·精练命题点
&1& 等式的性质（10年1考）
文字描述 字母表示
性质1 等式的两边同时加上或减去①___________ ___________，结果仍是等式 若 ，则
②_ _____
性质2 等式两边都乘或除以同一个不为0的数，结 果仍是③______ 若 ，则 ，
同一个数
（或整式）
等式
1.下列等式变形正确的是( )
D
A.若 = ，则 = B.若 = ，则 =
C.若 2 =4 ，则 =4 D.若 = ，则 =
&2& 一元一次方程及其解法（10年1考）
1.基本概念
一元一次方程 只含有①____个未知数，并且未知数的次数是②___的
③___________，叫做一元一次方程
一般形式
判断方法 化简方程 判断是整式方程 判断是一元一次方程
一
1
整式方程
2.解法步骤
步骤 具体做法 注意事项
去分母 方程两边同乘各分母的最小 ④________ （1）不要漏乘不含分母的项（尤
其是常数项）；
（2）分子是多项式时，去分母后
⑤________
去括号 先去小括号，再去中括号，最 后去大括号 括号前是负号时，去括号后括号内
各项均要变号
移项 将含未知数的项移到方程的一 边，常数项移到方程的另一边 被移项要变号
公倍数
加括号
步骤 具体做法 注意事项
合并同类项 系数相加，字母及其指数 ⑥______ 不要漏掉符号
系数化为1 方程两边同除以未知数的系数 或同乘未知数系数的倒数 不要漏掉符号，分子、分母不要颠
倒
3.解的应用：若 = 是关于 的方程 + =0 的解，则 + =0 .
不变
续表
2.下面各式： ①6+ 2 =4 ； ②2+ 1 =3 ； ③7 >5 ； ④ 1 3 1 2 =1 .其中，
属于方程的是______；
属于一元一次方程的是____，该一元一次方程的解为_ _____.
②④
④
3.（2023任丘模拟）下列是解一元一次方程 2 +3 =5 的步骤：
其中说法错误的是( )
C
2 +3 =5 ① 2 +6=5 ② 2 5 = 6 ③ 3 = 6 ④ =2 .
A.①步的依据是乘法分配律 B.②步的依据是等式的性质1
C.③步的依据是加法结合律 D.④步的依据是等式的性质2
&3& 二元一次方程（组）及其解法（10年1考）
1.基本概念
（1）二元一次方程：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程.一
般形式： + = ≠0, ≠0 .
（2）二元一次方程组：
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程组，叫做二元一次方程
组.一般形式： & 1 + 1 = 1 , & 2 + 2 = 2 .
2.解的应用
（1）若 & = , & = 是关于 ， 的二元一次方程 + = 的解，则 + = ；
（2）若 & = , & = 是关于 ， 的二元一次方程组 & 1 + 1 = 1 , & 2 + 2 = 2 的解，则
& 1 + 1 = 1 , & 2 + 2 = 2 .
3.二元一次方程组的解法
基本 思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程
方法 （1）代入消元法：当方程组中一个方程的常数项为0或某一个未知数的系
数是1或 时，选择代入消元法较为简单；
（2）加减消元法：当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数
时，选择加减消元法较为简单
满分技法：当系数不同也不互为相反数时，可通过找系数的最小公倍数，
将系数变相同或互为相反数，再采用加减消元法求解
4.下列方程是二元一次方程的是( )
B
A. 2 4= B. 2 =6 C. + 3 =1 D. =5
5.（2023路北区二模）已知方程组 &2 + = , & + =3 的解为 & =2, & =□, 则 〇 ， 分别为
( )
C
A.1，2 B.1，5 C.5，1 D.2，4
6.在① & =0, & = 1 2 ； ② & =2, & =1 中，是方程 =2 3 的解的为____（填序号，下同）；
是方程 3 2 = 1 的解的为____；方程组 & =2 3, &3 +2 =8 采用代入消元法较为简
单，其解为____.
②
①
②
&4& 一次方程（组）的应用（10年8考）
1.列方程（组）解应用题的一般步骤
审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
设 设出关键未知数
列 找出题干中的等量关系，列方程（组）
解 解方程（组）
验 检验所解答案是否正确且是否符合题意
答 规范作答，注意单位名称
2.一次方程（组）实际应用的常见类型
利润问题 售价 标价×折扣，销售额 售价×销量， 利润 售价-成本，利润率 行程问题 相遇问题 全路程 甲走的路程 乙走的路程
追及问题 同地不同时出发：前者走的路程 追者走的路程；
同时不同地：前者走的路程 两地间距离 追者走的路
程
工程问题 工作量 工作效率×工作时间，各部分工作量之和为1 利率问题 利息 本金×利率×期数，本息和 本金 利息 本金 本金×利率× 期数 本金 （ 利率×期数） 增长率问 题 增长率 ，现产量 原产量 （ 增长率）.如原产
量为 ，产量提高 后为①_ ___________
数字问题 一个两位数的个位上的数是 ，十位上的数是 ，那么这个两位数是
②_ _______
配套问题 若 件甲产品和 件乙产品配成一套，那么甲产品数的 倍等于乙产
品数的 倍，即③_ __×甲产品数 ④___×乙产品数
球赛积分 问题 胜场数 平场数 负场数 总场数；
胜场积分 平场积分 负场积分 总积分
续表
7.（2023安徽）根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了如下
调整：甲地上涨 10% ，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲地比乙地少10元，调
整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两地该商品的销售单价.
解：设调整前甲地该商品的销售单价为 元，乙地该商品的销售单价为 元.
由题意，得
& = , & + % = ,
解得 & = , & = .
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元.
例 &5& 小李妈妈去市里商场买东西.
（1）去的路上有一条长 2 110 m 的隧道.现小李妈妈开货车从隧道匀速通过.测得货车从开始进入隧道到完全通过隧道共用了 106 s （即从车头进入隧道口到车尾离开隧道），整辆车完全在隧道内的时间为 105 s .隧道内平均行驶速度不得低于 60 km/h ，又不得高于 80 km/h .
①如果设这辆货车的长度为 m ，填写下表（不需要化简）：
时间 路程 平均速度
完全通过隧道 106 _ _________ _ ______
整辆车在隧道内 105 _ _________ _ ______
②求这辆货车的长度；
解：根据题意，得 + = ，解得 = ，
∴ 这辆货车的长度为 .
③这辆货车是按规定的速度行驶的吗？请说明理由.
解：货车的平均速度为 + = / ， / = / .
∵ < < ， ∴ 这辆货车是按规定的速度行驶的.
（2）小李妈妈在某商场购买 ， 两种商品若干次（每次 ， 都买），其中前
两次按标价购买，第三次购买时， ， 两种商品同时打折，三次购买 ， 商品
的数量和费用情况如表所示：
购买 商品的数量（件） 购买 商品的数量（件） 购买总费用（元）
第一次 6 5 980
第二次 3 7 940
第三次 9 8 912
①求 ， 商品的标价；
解：设 商品的标价为 元/件， 商品的标价为 元/件.
依题意，得 & + = , & + = , 解得 & = , & = .
答： 商品的标价为80元/件， 商品的标价为100元/件.
②若小李妈妈第三次购买时， ， 商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种
商品的？
解：设商场是打 折出售这两种商品的.
依题意，得 × + × × = ，解得 = .
答：商场是打6折出售这两种商品的.
③在②的条件下打折，若小李妈妈第四次购买 ， 商品共花去960元，则小李妈
妈购买方案可能有哪几种？
解：设购买 商品 件， 商品 件.
依题意，得 + × . = ， ∴ = .
又 ∵ ， 均为正整数， ∴ & = , & = 或 & = , & = 或 & = , & = ,
∴ 共有3种购买方案：方案一：购买 商品15件， 商品4件；方案二：购买 商
品10件， 商品8件；
方案三：购买 商品5件， 商品12件.
&6& 等式的性质（2018年考查）
1.（2018河北7题3分）有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同一种物体的质
量都相等，现左右手中同样的盘子上都放着不同个数的物体，只有一组左右质量不
相等，则该组是( )
A
A.&10& B.&11&
C.&12& D.&13&
等式就像平衡的天平，能与如图的事实具有相同性质的是( )
C
A.如果 = ，那么 = B.如果 = ，那么 = ≠0
C.如果 = ，那么 + = + D.如果 = ，那么 2 = 2
&15& 解一次方程（组）（10年2考）
2.（2015河北11题2分）利用加减消元法解方程组 &2 +5 = 10①, &5 3 =6②, 下列做法正确
的是( )
D
A.要消去 ，可以将 ①×5+②×2
B.要消去 ，可以将 ①×3+②× 5
C.要消去 ，可以将 ①×5+②×3
D.要消去 ，可以将 ①× 5 +②×2
&16& 一次方程（组）的应用（10年8考）
3.数学文化 （2022河北15题2分）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图.按照他的方
法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出.然后往船上抬入20块
等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1
块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重
均为120斤，设每块条形石的重量是 斤，则正确的是( )
B
A.依题意 3×120= 120
B.依题意 20 +3×120= 20+1 +120
C.该象的重量是5 040斤
D.每块条形石的重量是260斤
4.（2023河北20题9分）某磁性飞镖游戏的靶盘如图.珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投.计分规则如下：
投中位置 区 区 脱靶
一次计分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中 区4次， 区2次，脱靶4次.
（1）求珍珍第一局的得分；
解：由题意，得 × + × + × = （分）.
答：珍珍第一局的得分为6分.
（2）第二局，珍珍投中 区 次， 区3次，其余全部脱靶.若本局得分比第一局
提高了13分，求 的值.
[答案] 由题意，得 + × + × = + ，
解得 = .
5.小华到商店为班级购买跳绳和毽子两种体育用品，跳绳每根4元，毽子每个5元，两种体育用品共需购买22个，是否存在恰好用90元钱完成这项购买任务的方案？若存在，请求出购买跳绳和毽子的数量；若不存在，请说明理由.
解：设购买跳绳 根，毽子 个.
根据题意，得 & + = , & + = ,
解得 & = , & = .
∴ 存在恰好用90元钱完成这项购买任务的方案，购买跳绳20根，毽子2个.
检测学习效果，请用《高分分层训练》第11-13页。祝你取得好成绩！

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