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2024河北中考数学一轮复习
第二章 方程（组）与不等式（组）
第7讲 一元二次方程及其应用
理考点·练基础
聚焦河北·精练命题点
&1& 一元二次方程的概念及其解法（10年3考）
1.一元二次方程的相关概念
定义 只含有①____个未知数，并且未知数的最高次数是②___的③______方
程，叫做一元二次方程
一般形式 ④________________ ， ， 是常数且 ，任何一个一元二次
方程都能化成它的一般形式
解 使方程左右两边相等的⑤________的值就是这个一元二次方程的解
（或根）
判定方法 （1）整式方程；（2）化简后二次项系数不为0；（3）化简后未知数
的最高次数是2，且只含有一个未知数
一
2
整式
未知数
2.一元二次方程的解法
适用类型 注意事项
直接开 平方法 （1）当方程缺少一次项时，即方程 ； （2）形如 的方程 开平方后所取数字前记得加“ ”
适用类型 注意事项
因式分 解法 （1）将方程右边化为0后，方程的左边 可以提出含有 的公因式，形如 或 ； （2）缺少常数项，即 （1）等号右边必须化为0，若不
为0，不能用此法；
（2）若方程两边含有 的相同
因式时，不能约去，以免丢根，
如对于一元二次方程
，两边
不能同时约去 ，会造成漏
解
续表
适用类型 注意事项
配方法 （1）二次项系数化为1后，一次项系数 是偶数的一元二次方程； （2）各项的系数比较小且便于配方的 情况 （1）在配方过程中，一定要在
等号两边同时加上一个⑥______
的数；
（2）将方程的二次项系数化为1
后，一次项的正负决定配方后括
号里面是加或减
相同
续表
适用类型 注意事项
公式法 适用于所有一元二次方程，在运用此方 法求解时，应先将一元二次方程化为一 般式 ， ， 为常 数， ，求根公式是⑦ _ __________________ （1）使用求根公式时，要先把
一元二次方程化为一般形式，方
程的右边一定要化为⑧___；
（2）将 ， ， 的值代入求
根公式时，应注意其符号；
（3）若 ，则原方
程⑨__________
0
无实数根
续表
1.下列方程中属于一元二次方程的是( )
C
A. = 2 B. 2 1 1=0
C. +2= 2 D. 2 + + =0
2.（1）方程 2 4=0 的解是_ ________________；
（2）方程 1 2 =9 的解是_ ________________；
（3）解方程 +1 =2 时，要先把方程化为______________，再选择适当的方
法求解，得方程的两根为 1 = ___， 2 = _ ___.
1
3.解方程：
（1）用配方法解 2 +2 3=0 ；
解：移项，得 + = .
配方，得 + = .
两边开平方，得 + =± .
∴ = ， = .
（2）用公式法解 2 3 1=0 .
解： ∵ = ， = ， = ，
∴ = = + = > ，
∴ = ± = ± ，
∴ = + ， = .
&2& 一元二次方程根的判别式及应用（10年4考）
根的判别式 关于 的一元二次方程 的根的判别式为
①_________，注意隐含条件
判别式与方 程根的情况 方程有②____________的实数根
方程有③__________的实数根
方程④______实数根，无解
易错警示：若所给方程的二次项系数含有字母，求字母的取值范围时，应记住一元
二次方程二次项系数不为0这一条件.若未指明方程类型，需分情况（二次项系数为
0和二次项系数不为0）讨论.
两个不相等
两个相等
没有
4.（2023长安区模拟）若关于 的一元二次方程 2 6 +9=0 有两个不相等的
实数根，则 的取值范围是( )
A
A. <1 且 ≠0 B. ≠0 C. <1 D. >1
5.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
C
A. 2 2 3=0 B. 2 +2 +1=0 C. 2 +1=0 D. 2 =1
&3& 一元二次方程根与系数的关系
若 1 ， 2 是一元二次方程 2 + + =0 ≠0 的两个根，那么
1 + 2 =① _ ___， 1 2 =② __.
易错警示：利用根与系数的关系解题时，其前提是一元二次方程的两根存在，即
2 4 ≥0 .
6.若 1 ， 2 是方程 2 6 7=0 的两个根，则( )
A
A. 1 + 2 =6 B. 1 + 2 = 6 C. 1 2 = 7 6 D. 1 2 =7
&4& 一元二次方程的实际应用（10年1考）
1.解答步骤：列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程解应用题的步骤完
全一样，共分审、设、列、解、验、答六步.
2.常见类型
平均 变化 率问 题 基本关系：增长（下降）率 ；
示例：设 为原来的量， 为平均增长率，2为增长次数， 为增长后的
量，则①______________；当 为平均下降率，2为下降次数， 为下降
后的量时，则②_ _____________
面积 问题 （1）如图1，设空白部分的宽为 ，则 ③________________；
（2）如图2，设空白部分的宽为 ，则 ④________________；
（3）如图3，设阴影部分的宽为 ，则 ⑤______________；
（4）如图4，设阴影部分的宽为 ，则 ⑥______________
_________________________________________________________________________________________________________________________________
图1
图2
图3
图4
续表
利润 问题 （1）利润 售价-成本；（2）利润率 ；
（3）总利润 总售价-总成本 单件利润×总销量
每每问题：若单价每涨 元，少卖 件，则涨价 元，少卖的数量为
⑦_ __件
续表
握 手、 单循 环赛 与送 礼物 问题 （1）握手、单循环赛总次数为⑧_ ______（ 为人数）；
（2）送礼物总份数为⑨_ ________（ 为人数）
续表
7.数学文化 《九章算术》是我国古代的数学名著，其中“勾股”章有一题，大意是
说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？
如果设门的宽为 尺，根据题意可列方程为( )
A
A. +6 2 + 2 = 10 2 B. 6 2 + 2 = 10 2
C. +6 2 2 = 10 2 D. 6 2 + 2 = 10 2
8.某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万
元，可变成本逐年增长.已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元.设可变成本平均
每年增长的百分率为 .
（1）用含 的代数式表示第3年的可变成本为_ __________万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百
分率 .
解：由题意，得
+ . + = . ，
解得 = . = % ， = . （不合题意，舍去）.
答：可变成本平均每年增长的百分率为 % .
&5& 解一元二次方程（10年3考）
1.（2012河北8题3分）用配方法解方程 2 +4 +1=0 ，配方后的方程是( )
A
A. +2 2 =3 B. 2 2 =3 C. 2 2 =5 D. +2 2 =5
2.（2017河北19题4分）对于实数 ， ，我们用符号 min{ ， } 表示 ， 两数
中较小的数，如 min{1 ， 2}=1 .因此， min {- 2 ， 3 }=_____；若
min{ 1 2 ， 2 }=1 ，则 = _ ______.
2或 1
3.（2014河北21题10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程
2 + + =0 ≠0 的求根公式时，对于 2 4 >0 的情况，她是这样做的：
由于 ≠0 ，方程 2 + + =0 变形为
2 + = ， 第一步
2 + + 2 2 = + 2 2 ， 第二步
+ 2 2 = 2 4 4 2 ， 第三步
+ 2 = 2 4 4 2 4 >0 ， 第四步
= + 2 4 2 .…第五步
（1）嘉淇的解法从第____步开始出现错误；事实上，当 2 4 >0 时，方程
2 + + =0 ≠0 的求根公式是_ ______________；
四
（2）用配方法解方程： 2 2 24=0 .
解：移项，得 = .
配方，得 + = + ，
即 = .
开平方，得 =± ，
∴ = ， = .
&6& 一元二次方程根的判别式（10年4考）
4.（2016河北14题2分） ， ， 为常数，且 2 > 2 + 2 ，则关于 的方
程 2 + + =0 根的情况是( )
B
A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根
C.无实数根 D.有一根为0
5.（2015河北12题2分）若关于 的方程 2 +2 + =0 不存在实数根，则 的取
值范围是( )
B
A. <1 B. >1 C. ≤1 D. ≥1
6.（2019河北15题2分）小刚在解关于 的方程 2 + + =0 ≠0 时，只抄
对了 =1 ， =4 ，解出其中一个根是 = 1 ，他核对时发现所抄的 比原方程
的 值小2.则原方程的根的情况是( )
A
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是 = 1 D.有两个相等的实数根
在解一元二次方程 2 + + =0 时，小嘉看错了常数项 ，得
到方程的两个根是 3 ，1；小琪看错了一次项系数 ，得到方程的两个根是5，
4 ，则原来的方程是( )
B
A. 2 +2 3=0 B. 2 +2 20=0
C. 2 2 20=0 D. 2 2 3=0
&8& 一元二次方程的实际应用（10年1考）
7.（2017河北26题节选4分）某厂按用户的月需求量 （件）完成一种产品的生产，
其中 >0 ，每件的售价为18万元，每件的成本 （万元）是基础价与浮动价的和，
其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 （件）成反比.经市场调研发现，月需
求量 与月份 ( 为整数， 1≤ ≤12) 符合关系式 =2 2 2 +9 +3 （
为常数），且得到了表中的数据.
月份 （月） 1 2
成本 （万元/件） 11 12
需求量 （件/月） 120 100
求 ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损.
解：将 = ， = 代入 = + + ，
得 = + + ，解得 = ，
∴ = + .
将 = ， = 代入 = + 也成立，
∴ = .
由题意，设基础价为 万元/件，浮动价为 万元/件，其中 = ，则
= + = + .
由表中数据，得 & = + , & = + , 解得 & = , & = ,
∴ = + .
由题意，得 = + ，解得 = ，
经检验， = 是原分式方程的解，且符合题意.
∴ = + ，即 + = .
∵ = × × < ，
∴ 方程无实数根，
∴ 不存在某个月既无盈利也不亏损.
8.转化思想 （2023株洲18题4分）已知实数 ， 1 ， 2 满足：
1 2 2 2 =4 .
①若 = 1 3 ， 1 =9 ，则 2 = ____；
②若 ， 1 ， 2 为正整数，则符合条件的有序实数对 1 , 2 有___个.
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检测学习效果，请用《高分分层训练》第17-19页。祝你取得好成绩！

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