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2024河北中考数学一轮复习
第三章 函数
第11讲 一次函数的实际应用
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦河北·精练命题点
&1& 一次函数的实际应用（10年4考）
1.用一次函数解决实际问题的一般步骤
（1）设定实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）确定自变量的取值范围；
（4）利用函数的性质解决问题；
（5）作答.
2.一次函数实际应用的常见类型
（1）根据实际问题给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题；
（2）利用一次函数对实际问题中的方案进行比较；
（3）结合实际问题的函数图象解决实际问题；
（4）两个以上的一次函数拼接成一个分段函数，分段求函数解析式，标清自变量
的取值范围，找准所求的问题在哪段.
3.求最值问题，即求最佳方案问题
（1）将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，求一次函数的增
减性可直接确定最优方案及最值；若是分段函数，则需要分类讨论，先计算出每个
分段函数的最值，再进行比较.
4.解决图象型分段函数问题的一般思路
（1）找特殊点，即图象的起点、中点或转折点；
（2）根据函数图象的特征判断函数的类型，利用待定系数法求相应的函数解析式；
（3）根据题目要求解决实际问题.
1.（2023滦州模拟）某零售店销售甲、乙两种蔬菜，甲种蔬菜每千克获利1.1元，乙
种蔬菜每千克获利1.5元，该店计划一次购进这两种蔬菜共56千克，并能全部售出.
设该店购进甲种蔬菜 千克，销售这56千克蔬菜获得的总利润为 元.
（1）求 与 的关系式；
解：由题意，得
= . + . = . + ，
∴ 与 的关系式为 = . + .
（2）若乙种蔬菜的进货量不超过甲种蔬菜的 5 2 ，则该店购进甲、乙两种蔬菜各多
少千克时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？
[答案] 由题意，得 ≤ ，
解得 ≥ .∵ = . < ，
∴ 随 的增大而减小，
∴ 当 = 时， 有最大值，
= . × + = . .
= （千克）.
答：该店购进甲、乙两种蔬菜分别为16千克和40千克时，获得的总利润最大，为77.6元.
一次函数的实际应用
技法 点拨 一次函数的实际应用一般涉及：①求一次函数解析式；②选择最优方案或 方案选取；③利润最大或费用最少 求一次函数 解析式 ①文字型及表格型的应用题，一般都是根据题干中给出的数据
及关系式来求一次函数解析式；②图象型的应用题，一般都是
找图象上的两个点的坐标，根据待定系数法求一次函数解析式
技法 点拨 选择最优方案或方案选取当给定 值选取方案时，将 的值代入解析式，判
断 值大小；给定 值选取方案时，将 的值代入解析式，判断 值大小；
当 ， 值均未给定时，若为两种方案的选取，则将两种方案的函数关系式
组成不等式，求解对应的 的取值范围；若为三种方案的选取，可画出函数
图象，求出交点坐标，利用函数图象性质解答
利润最大或费用最少常利用一次函数的增减性，即先确定 的正负，再确
定 的范围，取 的两端点的值比较大小即可
续表
类型一 一次函数图象型实际应用
例1 ， 两地相距 120 km ，甲车从 地驶往
地，乙车从 地以 80 km/h 的速度匀速驶往 地，乙车比甲车
晚出发 h .设甲车行驶的时间为 h ，甲、乙两车离 地的距
（1）甲车的速度为____ km/h ；
60
离分别为 1 km 、 2 km ，图中线段 表示 1 与 的函数关系.
（2）若两车同时到达目的地，在图中画出 2 与 的函数图象，并求甲车行驶几小
时后与乙车相遇；
解： ∵ 乙车从 地以 / 的速度匀速驶往 地，两车
同时到达目的地，
∴ 乙车行驶的时间为 ÷ = . .
∵ . = . ， ∴ 乙车比甲车晚出发 . .图象
由 + = ，解得 = .答：甲车行驶 后与乙车相遇.
即为 与 的函数图象.
由题意，得 = .设 的函数表达式为 = + .
将 , 代入 = + ，得 = ， ∴ = + .
（3）若甲、乙两车在距 地 60 km 至 72 km 之间的某处相遇，直接写出 的范围.
[答案] 的范围是 < < .
[解析] 根据题意，得 = ， = = + + .
由 = + + ，解得 = + .当 = + 时，
= = + .∵ 甲、乙两车在距 地 至 之间的某处相
遇， ∴ < + < ，解得 < < . ∴ 的范围是 < < .
类型二 一次函数文字型实际应用
例2 如图，小强组装了一款遥控车，并在长度为 160 m 的跑道
上试验它在不同速度下的运行情况.从点 出发，先以 2 m/s 的速度行进了 20 s ，
接着以 3 m/s 的速度行进到终点 .为记录，全程安装了拍摄设备，拍摄设备在与
起点 距离 40 m 处的 点.设遥控车的运动时间为 s ，遥控车与拍摄点的距离
为 m .
（1）求 与 之间的函数关系式；
解： × = .当 ≤ ≤ 时， = . ÷ = ，
+ = .
当 < ≤ 时， = = .综上所述， 与 之间的函数关系
式为 = & + ≤ ≤ , & < ≤ .
（2）求遥控车距离拍摄点 10 m 时的运动时间；
[答案] 将 = 代入 = + ，得 = + ，解得 = .
将 = 代入 = ，得 = ，解得 = .
所以遥控车距离拍摄点 时的运动时间为 或 .
（3）当遥控车从点 出发时，一个机器人从拍摄点出发以 m/s 的速度向点 行进，
并在与点 相离 15 m 内（不与点 重合）被遥控车追上，直接写出 的取值范围.
[答案] 的取值范围为 < < .
[解析] = .遥控车行进到距离 点 处所用时间为
+ ÷ = ，行进到 点所用时间为 ，由题意，得 & > , & < ,
解得 < < .∴ 的取值范围为 < < .
类型三 表格型应用题
例3 &4& 某企业接到一批定单，在160天内（含160天）生产甲、乙两种型号家具共100套，经过测试与统计，得到如下数据：
型号 制造每套家具平均用时（天） 每套家具的利润（万元）
甲 0.5
乙 0.8
受条件限制，两种型号的家具不能同时生产，已知该企业能如期完成生产任务.设
生产甲型家具 套，生产这100套家具的总利润为 （万元）.
（1）求 与 之间的函数关系式；
解：依题意，得 = . + . = . + .
∴ 与 之间的函数关系式为 = . + .
（2）当 为何值时， 最大？最大值是多少？
[答案] 依题意，得 + ≤ ，解得 ≥ .
对于 = . + ， 随 的增大而减小，
∴ 当 = 时， 为最大，
此时 = . × + = . .
∴ 当 = 时， 最大，最大值为75.2万元.
（3）由于客户需要，生产乙型家具需添加一道工序，此道工序平均每套家具所需
费用为 3 >0 （万元）.若 随 的增大而减小，求 的取值范围.
[答案] 依题意，得 = . + × = . + .
∵ 随 的增大而减小，
∴ . < ，解得 < . .
又 ∵ > ， ∴ 的取值范围是 < < . .
&5& 一次函数的实际应用（10年4考）
1.（2021河北23题9分）如图是某机场监控屏显示
两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点 ）始终
以 3 km/min 的速度在离地面 5 km 高的上空匀速
向右飞行，2号试飞机（看成点 ）一直保持在1
号机 的正下方，2号机从原点 处沿 45 仰角爬
升，到 4 km 高的 处便立刻转为水平飞行，再过 1 min 到达 处开始沿直线 降
落，要求 1 min 后到达 10,3 处.
（1）求 的 关于 的函数解析式，并直接写出2号机的爬升速度；
解： ∵ 号机爬升角度为 ，
∴ 上的点的横纵坐标相同， ∴ , .
设 的解析式为 = ， ∴ = ， ∴ = ，
∴ 的解析式为 = .
∵ 号机一直保持在1号机的正下方，
∴ 它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同.
∵ 号机在爬升到 处时水平方向上移动了 ，飞行的距离为 ，1号机
的飞行速度为 / ，
∴ 号机的爬升速度为 ÷ = / .
（2）求 的 关于 的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标；
[答案] 设 的函数解析式为 = + .
由题意，得 , ，
∴ & + = , & + = , 解得 & = , & = .
∴ 的函数解析式为 = + .
令 = ，则 = ，
∴ 预计2号机着陆点的坐标为 , .
（3）通过计算说明两机距离 不超过 3 km 的时长是多少.
［注：（1）及（2）中不必写 的取值范围］
[答案] 解法一： ∵ 不超过 ， ∴ ≤ .
∴ = & ≤ ≤ ≤ , & < < , & + ≤ ≤ ≤ ,
解得 ≤ ≤ .
∴ 两机距离 不超过 的时长为 ÷ = .
解法二：当 = 时， = = .
∵ = ， ∴ = .由 = + ，得 = ，
∴ 两机距离 不超过 的时长为 ÷ = .
2.（2019河北24题10分）长为 300 m 的春游队伍，以 m/s 的速度向东行进，如
图1和图2，当队伍排尾行进到位置 时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到
后立即返回排尾，甲的往返速度均为 2 m/s ，当甲返回排尾后，他及队伍均停止
行进.设排尾从位置 开始行进的时间为 s ，排头与 的距离为 头 m .
（1）当 =2 时，解答：
①求 头 与 的函数关系式（不写 的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求 头 的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置
的距离为 甲 m ，求 甲 与 的函数关系式（不写 的取值范围）；
解：①排尾从位置 开始行进的时间为 ，则排头也离开原排头 ，
∴ 头 = + .
②甲从排尾赶到排头的时间为 ÷ = ÷ = ÷ = ，
此时 头 = + = .
甲返回时间为 ，
∴ 甲 = = .
（2）设甲这次往返队伍的总时间为 s ，求 与 的函数关系式（不写 的取值
范围），并写出队伍在此过程中行进的路程.
[答案] = 追及 + 返回 = + + = .
在甲这次往返队伍的过程中，队伍行进的路程为 × = .
3.（2016河北24题10分）某商店通过调低价格的方式促销 个不同的玩具，调整后
的单价 （元）与调整前的单价 （元）满足一次函数关系，如表：
第1个 第2个 第3个 第4个 … 第 个
调整前的单价 （元） …
调整后的单价 （元） …
已知这 个玩具调整后的单价都大于2元.
（1）求 与 的函数关系式，并确定 的取值范围；
解：设 = + .
由题意，得 = ， = ， = ， = ，
∴ & = + , & = + , 解得 & = , & = .
∴ 与 的函数关系式为 = .
∵ 这 个玩具调整后的单价都大于2元，
∴ > ，解得 > . ∴ 的取值范围是 > .
（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
[答案] 将 = 代入 = ，得 = × = . =
（元）.
答：顾客购买这个玩具省了19元.
（3）这 个玩具调整前、后的平均单价分别为 ， ，猜想 与 的关系式，并写
出推导过程.
[答案] = .推导过程：由（1）得 = ，
= ， ， = ，
∴ = + + + = [ + + + ]= [ + + + ]= × + + + = .
4.（2015河北23题10分）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个
球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就
上升3毫米，假定放入容器中的所有球浸没水中且水不溢出.设水面高为 毫米.
（1）只放入大球，且个数为 大 ，求 与 大 的函数关系式（不必写出 大 的范围）；
解：根据题意，得 = 大 + .
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为 小 .
①求 与 小 的函数关系式（不必写出 小 的范围）；
[答案] 当 大 = 时， = × + = ，
∴ = 小 + .
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
[答案] 依题意，得 小 + ≤ ，
解得 小 ≤ .
∵ 小 为自然数，
∴ 小 最大为8，即最多能放入8个小球.
检测学习效果，请用《高分分层训练》第30-33页。祝你取得好成绩！

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