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2024河北中考数学一轮复习
第三章 函数
第14讲 二次函数的实际应用
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦河北·精练命题点
&1& 二次函数的实际应用（10年7考）
二次函数实际应用题常见类型
1.最值问题：常见的有最大利润问题、图形面积的最值问题.解题时一般先求出利润、
面积等关于自变量的函数解析式，再在自变量的取值范围内求二次函数的最值，同
时要注意实际问题的具体要求.
利用二次函数求最值的一般方法
（1）根据实际问题或几何图形列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围.
（2）将二次函数解析式配方成顶点式，并在自变量的取值范围内求出函数的最值，
当二次函数图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围内时，可直接结合二次函数
的增减性求最值.
2.抛物线型实际问题：常见的有抛物线形建筑物（桥拱、隧道等）、抛物线形运动
轨迹问题.解决此类问题时，一般需要建立合适的平面直角坐标系，求出抛物线对
应的函数解析式，再利用二次函数的图象与性质解决问题.
1.（2023丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过 （秒）时球
距离地面的高度 （米）适用公式 =10 5 2 ，那么球弹起后又回到地面所花
的时间 （秒）是( )
D
A.5 B.10 C.1 D.2
2.（2023沈阳）如图，王叔叔想用长为 60 m 的栅栏，再借助房
屋的外墙围成一个矩形羊圈 ，已知房屋外墙足够长，当
矩形 的边 = ____ m 时，羊圈的面积最大.
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一、最值问题
例1 建大棚种植蔬菜是农民致富的一条好途径.经市场调查发现：搭
建一个面积为 （ 为整数）公顷的大棚，前期准备所需总费用由建设费用和内部
设备费用两部分组成，其中建设费用与 2 成正比例，内部设备费用与 +2 成正比
例，部分数据如下：
大棚面积 公顷 3 8
前期准备所需总费用 万元 21 134
（1）求前期准备所需总费用 与 之间的函数关系式；
解：根据题意可设 = + + .
将表中数据代入，
得 & = + , & = + , 解得 & = , & = ,
∴ 前期准备所需总费用 与 之间的函数关系式为
= + + = + + .
（2）若种植1公顷蔬菜需种子、化肥、农药的开支为0.4万元，收获1公顷的蔬菜年
均可卖9.4万元.设当年收获蔬菜的总收益（扣除修建和种植成本）为 万元，写出
与 之间的函数关系式；
解：由（1）得 = + + ，
∴ 与 之间的函数关系式为
= . . + + = + .
（3）当种植的面积为多少公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大？最大值为多少？
解： = + = + .
∵ 为整数， < < ，
∴ 当 = 时， = . ，当 = 时， = ，
∴ 最大 = . .
答：当种植的面积为2公顷时，当年收获蔬菜的总收益最大，最大值为7.6万元.
二、抛物线型实际问题
例2 如图是某同学正在设计的一动画示意图，
在平面直角坐标系 中，点 为斜坡上（图中虚线部分
所示）设计的参照点，在函数
= 2 + +66 ≠0, ≥0 中，分别输入 和 的值，
便得到抛物线 ，从 轴上的点 沿 发出一个带光的点 ，使得光点 击中斜坡
，且 75, 在斜坡 上，其中 为定值.
（1）①若输入 = 1 50 ， = 9 10 ，光点 恰好能击中基准点 ，求 的值；
解： ∵ = ， = ， ∴ = + + .
∵ 基准点 的横坐标为75，
∴ = × + × + = ，
∴ 的值为21.
②若输入 = 1 50 ，光点 落在斜坡上点 的右侧，则 的取值范围为_______；
[解析] ∵ = ， ∴ = + + .∵ 光点 落在斜坡上点 的右侧，
∴ 当 = 时， > ，即 × + + > ，解得 > .
（2）若抛物线 在距 轴水平距离为25时，恰好达到最大高度76，求抛物线 的
解析式，并说明点 能否越过点 .
解： ∵ 抛物线 在距 轴水平距离为25时，恰好达到最大高度76，即抛物线的顶
点为 , ，
∴ 设抛物线 的解析式为 = + ，
把 , 代入，得 = + ，解得 = ，
∴ 抛物线的 解析式为 = + .
当 = 时， = × + = .
∵ > ， ∴ 点 能越过点 .
[解析] ∵ 抛物线 在距 轴水平距离为25时，恰好达到最大高度76，即抛物线的顶点为 , ，
∴ 设抛物线 的解析式为 = + ，
把 , 代入，得 = + ，解得 = ，
∴ 抛物线的 解析式为 = + .
当 = 时， = × + = .
∵ > ， ∴ 点 能越过点 .
&4& 二次函数的实际应用（10年7考）
类型一 以几何图形为背景（10年2考）
1.（2014河北9题3分）某种正方形合金板材的成本 （元）与它的面积成正比，设
边长为 厘米，当 =3 时， =18 ，那么当成本为72元时，边长为( )
A
A.6厘米 B.12厘米 C.24厘米 D.36厘米
2.（2020河北23题9分）用承重指数 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量，
实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数 与
木板厚度 （厘米）的平方成正比，当 =3 时， =3 .
（1）求 与 的函数关系式；
解：设 = ≠ .
∵ 当 = 时， = ， ∴ = ，解得 = ，
∴ 与 的函数关系式为 = .
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成
与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损
耗）.设薄板的厚度为 （厘米）， = 厚 薄 .
①求 与 的函数关系式；
[答案] 设薄板的厚度为 厘米，则厚板的厚度为 厘米，
∴ = 厚 薄 = = + ，
即 与 的函数关系式为 = + .
② 为何值时， 是 薄 的3倍？
［注：（1）及（2）中的①不必写 的取值范围］
[答案] ∵ 是 薄 的3倍， ∴ + = × ，
整理，得 + = ，
解得 = ， = （不合题意，舍去），
故 = 时， 是 薄 的3倍.
类型二 以实物模型为背景（10年3考）
3.（2023河北23题10分）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某
同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题.
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1 m
长.嘉嘉在点 6,1 处将沙包（看成点）抛出，其运动
路线为抛物线 1 ： = 3 2 +2 的一部分，淇淇恰在点 0, 处接住，然后
跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 2 ： = 1 8 2 + 8 + +1 的一部分.
（1）写出 1 的最高点坐标，并求 ， 的值；
解： ∵ 抛物线 ： = + ，
∴ 的最高点坐标为 , .
∵ 点 , 在抛物线 ： = + 上，
∴ = + ，解得 = .
∴ 抛物线 ： = + ，
当 = 时， = .
（2）若嘉嘉在 轴上方 1 m 的高度上，且到点 水平距离不超过 1 m 的范围内可
以接到沙包，求符合条件的 的整数值.
[答案] ∵ 嘉嘉在 轴上方 的高度上，且到点 水平距离不超过 的范围内
可以接到沙包，
∴ 点 的坐标范围是 , ～ , .
当经过 , 时， = × + × + + ，
解得 = ，
当经过 , 时， = × + × + + ，
解得 = ， ∴ ≤ ≤ . ∵ 为整数，
∴ 符合条件的 的整数值为4和5.
4.（2021河北25题10分）如图是某同学正在设计的动画示意图，
轴上依次有 ， ， 三个点，且 =2 ，在 上方有五
个台阶 1 ～ 5 （各拐角均为 90 ），每个台阶的高、宽分别是1
和 1.5 ，台阶 1 到 轴距离 =10 .从点 处向右上方沿抛物
线 ： = 2 +4 +12 发出一个带光的点 .
（1）求点 的横坐标，且在图中补画出 轴，并直接指出点 会落在哪个台阶上；
解：对于抛物线 = + + ，
令 = ，则 = ，
解得 = 或 = ，
∴ , ，
∴ 点 的横坐标为 .
∵ = ， ∴ 补画出 轴如图所示.
由题意，台阶 左边的端点坐标为 . , ，右边的端点坐标为 , .
当 = . 时， = . + × . + = . > ；
当 = 时， = + × + = < .
当 = 时， = + + ，
解得 = 或5，
∴ 抛物线与台阶 有交点，交点为 , ，∴ 点 会落在台阶 上.
（2）当点 落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与 形状相同的抛物线 ，
且最大高度为11，求 的解析式，并说明其对称轴是否与台阶 5 有交点；
解：由题意，得抛物线 ： = + + ，经过 , ，最高点的纵坐标为11，
∴ & = , & + + = ,
解得 & = , & = , 或 & = , & = （不合题意，舍去）.
∴ 抛物线 的解析式为 = + ，
对称轴为直线 = ，
∵ 台阶 的左边的端点坐标为 , ，右边的端点坐标为 . , ，
∴ 抛物线 的对称轴与台阶 有交点.
（3）在 轴上从左到右有两点 ， ，且 =1 ，从点 向上作 ⊥ 轴，且 =2 .在 △ 沿 轴左右平移时，必须保证（2）中沿抛物线 下落的点 能落在边 （包括端点）上，则点 横坐标的最大值比最小值大多少？
［注：（2）中不必写 的取值范围］
解：对于抛物线 ： = + ，
令 = ，得 + = ，解得 = ± ，
∴ 抛物线 交 轴于点 + , .
当 = 时， = + ，解得 = 或 = ，
∴ 抛物线经过点 , .
在 △ 中， ∠ = ， = ， = ，
∴ 当点 与 + , 重合时，点 的横坐标的值最大，为 + ，
当点 与 , 重合时，点 的横坐标最小，为10，
∴ 点 横坐标的最大值比最小值大 .
5.（2018河北26题12分）如图是轮滑场地的截面示意图，平台
距 轴（水平）18米，与 轴交于点 ，与滑道 = ≥1
交于点 ，且 =1 米.运动员（看成点）在 方向获得速度
米/秒后，从 处向右下飞向滑道，点 是下落路线的某位置.忽
略空气阻力，实验表明： ， 的竖直距离 （米）与飞出时
间 （秒）的平方成正比，且 =1 时 =5 ， ， 的水平距离是 米.
（1）求 ，并用 表示 ；
解：把点 , 代入 = ，得 = ，
∴ = .
设 = ，把 = ， = 代入，得 = ，
∴ = .
（2）设 =5 .用 表示点 的横坐标 和纵坐标 ，并求 与 的关系式（不写
的取值范围），及 =13 时运动员与正下方滑道的竖直距离；
解： ∵ = ， = 米， ∴ = + .
∵ = ， = 米， ∴ = + .
由 = + ，得 = ，
∴ = + .
当 = 时， = + ，
解得 = 或 .∵ ≥ ， ∴ = .
把 = 代入，得 = = ，
∴ 运动员与正下方滑道的竖直距离是 = （米）.
（3）若运动员甲、乙同时从 处飞出，速度分别是5米/秒、 乙 米/秒.当甲距 轴1.
8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出 的值及 乙 的范围.
解： = . ， 乙 > . .
[解析] 把 = . 代入 = + ，得 . = + ，解得 = . 或 . （舍去）， ∴ = + = × . + = ， ∴ 甲的坐标为 , . ，此时乙的坐标为 + . 乙 , . .由题意，得 + . 乙 > . ，解得 乙 > . .
类型三 利润问题（10年2考）
6.（2017河北26题12分）某厂按用户的月需求量 （件）完成一种产品的生产，其
中 >0 .每件的售价为18万元，每件的成本 （万元）是基础价与浮动价的和，其
中基础价保持不变，浮动价与月需求量 （件）成反比.经市场调研发现，月需求
量 与月份 ( 为整数， 1≤ ≤12) 符合关系式 =2 2 2 +9 +3 （ 为
常数），且得到了表中的数据.
月份 （月） 1 2
成本 （万元/件） 11 12
需求量 （件/月） 120 100
（1）求 与 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
解：由题意，设基础价为 、浮动价为 ，其中 = ，则 = + = + .
由表中数据，得 & = + , & = + , 解得 & = , & = .
∴ 与 满足的关系式为 = + .
由题意，若 = + ，则 = .
∵ > ， ∴ > ， ∴ 一件产品的利润不能是12万元.
（2）求 ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
[答案] 将 = ， = 代入 = + + ，得
= + + ，
解得 = ， ∴ = + .
将 = ， = 代入 = + 也符合，
∴ = .由题意，得 = + ，解得 = ，
经检验， = 是分式方程的解，
∴ = + ，即 + = .
∵ = × × < ， ∴ 方程无实数根，
∴ 不存在某个月既无盈利也不亏损.
（3）在这一年12个月中，若第 个月和第 +1 个月的利润相差最大，求 .
[答案] 第 个月的利润为 万元，
= = + = = ( + ) ，
∴ 第 + 个月的利润为
′= [ + + + ]= + ，
若 ≥ ′ ， ′= ， 取最小1， ′ 取得最大值240；
若 < ′ ， ′ = ，由 + ≤ 知 取最大为11，此时
′ 取得最大值240.
综上所述， = 或11.
检测学习效果，请用《高分分层训练》第 40 41 页。祝你取得好成绩！

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