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2024河北中考数学一轮复习
第三章 函数
第12讲 反比例函数及其应用
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦河北·精练命题点
&1& 反比例函数的概念
1.定义：形如①_ _____ ( 是常数， ≠0) 的函数叫反比例函数.
特别提示：自变量 的取值范围是②_ _____.
2.三种表达式：（1） = ；（2） = 1 ；（3） = . ≠0
1.当判断某点是否在反比例函数图象上时，只需判断该点的横、纵坐标之积是否等
于 .
2.当不同的两点在同一反比例函数图象上时，可用 = 求出某一点坐标中未知
字母的值.
1.如果函数 = 2 3 是反比例函数，那么 = ____，此函数的解析式是
_ _______.
2.下列各点中，在函数 = 6 图象上的是( )
C
A. 2, 4 B. 2,3 C. 1,6 D. 1 2 ,3
&2& 反比例函数的图象与性质
表达式 是常数，
图象
所在象限 第①________象限 第②________象限
增减性 在每个象限内， 随 的增大而③ ______ 在每个象限内， 随 的增大而④
______
一、三
二、四
减小
增大
渐进趋势 左、右方向无限接近⑤___轴，上、下方向无限接近⑥___轴（图象无
限接近坐标轴，但与坐标轴不相交）
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴是直线
⑦_ _______，对称中心是⑧__________
画法 （1）列表：表示几组 与 的对应值；
（2）描点：以表中各对对应值为坐标，描出各点；
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接这些点即可
坐标原点
续表
3.（2023任丘三模）在平面直角坐标系中，反比例函数
= ≠0 的图象如图所示，则 的值可能是( )
C
A. 2 B.1 C.3 D.5
反比例函数中 的几何意义
如图所示，点 是反比例函数 的图象上任意一点，过点 作 轴， 轴的 垂线 ， ，则所得矩形 的面积 为①_ ___ _______________________________________________________________________
拓展1：如图所示，点 是反比例函数 的图象上任意一点，过点 作 轴（或 轴）的垂线，设所得三角形的面 积为 ，则 ___________________________________________________________________
_________________________________________________________________
续表
拓展2：如图所示，点 与其对称点是反比 例函数 的图象上两点，过点 作 轴（或 轴）的垂线，设所得图形的面 积为 ，则 _______________________________________________________________________
续表
一般反比例函数与几何图形（三角形，四边形）结合，可直接利用 的几何意
义求面积，若图形为不规则图形，则先将其分割，然后求其面积之和.
4.（2023石家庄模拟）若点 1, 1 ， 2, 2 ， 3, 3 均在函数 = 2 1 的图象
上，则 1 ， 2 ， 3 的大小关系是( )
B
A. 1 > 2 > 3 B. 1 > 3 > 2 C. 3 > 1 > 2 D. 2 > 1 > 3
第5题图
5.如图，有反比例函数 = 1 ， = 1 的图象和一个以原点为圆
心，2为半径的圆，则 阴影 = ____.
第6题图
6.如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 = <0 图象
上的一点，分别过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 .若四边
形 的面积为5，则 的值是( )
D
A.10 B. 10 C.5 D. 5
&4& 反比例函数解析式的确定
1.利用待定系数法求解
（1）设函数解析式为 = ；
（2）根据图象经过的点的坐标或已知的对应关系列方程；
（3）解方程，求出待定系数 ；
（4）将 代入确定解析式.
2.利用反比例函数中系数 的几何意义求解：若已知函数图象上某点到坐标轴的垂
线与坐标轴所围成图形的面积，利用 = 根据函数图象所在象限确定 的符号，
从而确定 值，求出过该点的反比例函数解析式.
7.（2023怀化）已知压力 N 、压强 Pa 与受力面积 m 2 之间有如下关系
式： = .当 为定值时，如图中大致表示压强 与受力面积 之间函数关系的
是( )
D
A.&5& B.&6& C.&7& D.&8&
&9& 反比例函数的实际应用
1.利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有
两种：
（1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得 的值;
（2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的
关系，再求解析式.
2.反比例函数实际应用中的常见等量关系
速度 = 路程 时间 ，单价 = 总费用 数量 ，单个利润 = 总利润 数量 ，压强 = 压力 受力面积 ，底面积
= 容积 高度 ，电阻 = 电压 电流 .
温馨提示：列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.
3.与一次函数结合的综合应用
设问形式 解题指导
确定交点坐标 联立两个函数解析式，利用方程思想求解
确定函数解析式 利用待定系数法，先确定交点坐标，再代入函数的解析式
中求解
8.（2023鄂州）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 = 1 +
与双曲线 2 = 2 （其中 1 2 ≠0 ）相交于 2,3 ， , 2
两点，过点 作 // 轴，交 轴于点 ，则 △ 的面积是
_ __.
一、反比例函数的图象和性质
例1 已知反比例函数 = 1 ( 为常数， ≠1) .
（1）若在其图象的每一支上， 随 的增大而减小，求 的取值范围；
解： ∵ 在反比例函数 = 图象的每一支上， 随 的增大而减小，
∴ > ，解得 > .
（2）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点 1 , 1 ， 2 , 2 ，
当 1 > 2 时，试比较 1 与 2 的大小；
解： ∵ 反比例函数 = 图象的一支位于第二象限，
∴ 在该函数图象的每一支上， 随 的增大而增大.
∵ 点 , 与点 , 在该函数的第二象限的图象上，且 > ， ∴ > .
（3）若在其图象上任取一点，向 轴和 轴作垂线，若所得矩形面积为6，求 的值.
解： ∵ 在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形面积为6，
∴ = ，解得 = 或 = .
（4）其图象与正比例函数 = 的图象的一个交点为 ，若点 的纵坐标是2，求
的值；
解：由题意，设点 的坐标为 , .∵ 点 在正比例函数 = 的图象上，
∴ = ， ∴ 点 的坐标为 , .∵ 点 在反比例函数 = 的图象上，
∴ = ，解得 = .
（5）其中 > 1 ，且 ≠0 ， 1≤ ≤2 .若该函数的最大值与最小值的差是1，
求 的值.
解：当 < < 时，在 ≤ ≤ 范围内， 随 的增大而增大，
∴ + = ，
解得 = ，不合题意，舍去；
当 > 时，在 ≤ ≤ 范围内， 随 的增大而减小， ∴ = ，解
得 = .
综上所述， 的值为3.
二、一次函数、反比例函数与几何图形结合
例2 如图，反比例函数 = >0 的图象与正比例函数 = 3 2 的
图象交于点 ，且点 的横坐标为2.
（1）求反比例函数的表达式；
解： ∵ 点 在正比例函数 = 的图象上，
∴ 当 = 时， = ， ∴ 点 的坐标为 , ，
代入反比例函数 = > 中，得 = .
∴ 反比例函数的表达式为 = > .
（2）若射线 上有点 ，且 =2 ，过点 作 与 轴垂直，垂足为 ，交反比例函数图象于点 ，连接 ， ，请求出 △ 的面积；
解：如图，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则 // ，
∴ = .
∵ = ， ∴ = = ， ∴ 点 的坐标为 , .
将 = 代入 = 中，得 = ， ∴ 点 的坐标为 , .
将 = 代入 = 中，得 = ， ∴ 点 的坐标为 , ，
（3）定义：横、纵坐标均为整数的点称为“整点”.在（2）的条件下，请探究边
， 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数.
解：由（2）知，点 的坐标为 , ，点 的坐标为 , .
若 = ，对于 = ， = ；对于 = ， = ，包含“整点” , ， , ；
若 = ，对于 = ， = ；对于 = ， = ，包含“整点” , ，
, ， , ， , ；
若 = ，对于 = ， = ；对于 = ， = ，包含“整点” , ，
, ， , ， , ， , ， , .
故以边 ， 与反比例函数围成的区域内（不包括边界）“整点”的个数为12个.
三、反比例函数的实际应用
例3 如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示：
图1
图2
桌面所受压强 300 400 500 750 1 500
受力面积 0.5 0.375 0.2 0.1
（1）根据表中数据，求出桌面所受压强 Pa 关于受力面积 m 2 的函数表达式
及 的值；
解：由表格可知，压强 与受力面积 的乘积不变，故压强 是受力面积 的反比
例函数，设 = .
将 , . 代入，得 = × . = ， ∴ = .当 = 时，
= = . ， ∴ = . .
（2）将另一长，宽，高分别为 0.3 m ， 0.2 m ， 0.1 m ，且与原长方体相同重量的
长方体按图2所示的方式放置于该水平玻璃桌面上.若玻璃桌面能承受的最大压强为
2 000 Pa ，这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由.
解：这种摆放方式不安全.理由如下：由图可知 = . × . = . ，
∴ 将长方体放置于该水平玻璃桌面上， = . = .
∵ > ， ∴ 这种摆放方式不安全.
&11& 反比例函数的图象的判定（10年2考）
1.（2014河北14题3分）定义新运算： = & >0 , & <0 , 例如： 4 5= 4 5 ，
4 5 = 4 5 .则函数 =2 ≠0 的图象大致是( )
D
A.&12& B.&13& C.&14& D.&15&
2.（2017河北15题2分）如图，若抛物线 = 2 +3 与 轴围成封闭
区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 ，
则反比例函数 = >0 的图象是( )
D
A.&16& B.&17& C.&18& D.&19&
如图，若双曲线 ： = <0 与抛物线
： = 3 4 +4 所围成的区域（不含边界）内整点（点的横、
纵坐标都是整数）的个数是3，则 的取值范围是( )
B
A. 3≤ ≤ 2 B. 3< ≤ 2 C. 2≤ < 1 D. 4< ≤ 2
[解析] 如图，
抛物线 ： = + 与 轴所围成的区域内整点的个
数是6个，坐标分别为 , ， , ， , ，
, ， , ， , ，要满足双曲线 ： = <
与抛物线 ： = + 所围成的区域内整点的个数是3，
结合图象可知当双曲线 恰好经过点 , 时， 取临界值 ；当双曲线 恰好
经过点 , 时， 取临界值 ， ∴ 双曲线 ： = < 与抛物线
： = + 所围成的区域内整点的个数是3时， 的范围为 < ≤ .
&21& 反比例函数的性质（10年5考）
第3题图
3.（2013河北10题3分）反比例函数 = 的图象如图所示，以下结论：
其中正确的是( )
C
①常数 < 1 ；②在每个象限内， 随 的增大而增大；③若 1, ， 2,
在图象上，则 < ；④若 , 在图象上，则 ′ , 也在图象上.
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
第4题图
4.（2019河北12题2分）如图，函数 = & 1 >0 , & 1 <0 的图象所在坐
标系的原点是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
函数 = & = 1 >0 , & = 1 <0 的图象上有两点 1 , 1 、 2 , 2 ，
针对 1 与 2 的大小关系，三人的说法如下，
甲：若 1 <0< 2 ，则 1 > 2 ；
乙：若 1 + 2 =0 ，则 1 = 2 ；
丙：若 0< 1 < 2 ，则 1 > 2 .
下列判断正确的是( )
A
A.只有甲错 B.只有丙对 C.甲、丙都对 D.甲、乙、丙都错
[解析] 如图为函数 = & = > , & = < 的图象， ∴ 函数
的图象关于 轴对称.若 < < ，则不能判断 ，
的大小，故甲是错误的；若 + = ，则 = ，故
乙是正确的； ∵ 当 > 时， 随 的增大而减小，
∴ < < ，则 > ，故丙是正确的.
对于反比例函数 = ≠0 变量值的大小比较，需要分象限判断：同一象
限看增减性，不同象限看变量值与0的大小关系；还可以利用数形结合，把已知点
在图象上表示出来，利用图象判断更直观.
5.（2023河北17题2分）如图，已知点 3,3 ， 3,1 ，反比
例函数 = ≠0 图象的一支与线段 有交点，写出一个
符合条件的 的整数值：_ ____________________.
6.（2021河北19题4分）用绘图软件绘制双曲线 ： = 60 与动直线 ： = ，且
交于一点，图1为 =8 时的视窗情形.
（1）当 =15 时， 与 的交点坐标为_ ______；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 始终在视窗中心.
例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的 1 2 ，
其可视范围就由 15≤ ≤15 及 10≤ ≤10 变成了 30≤ ≤30 及
20≤ ≤20 （如图2）.当 = 1.2 和 = 1.5 时， 与 的交点分别是点 和
，为能看到 在 和 之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少
变为原来的 1 ，则整数 = ___.
图1
图2
4
7.（2020河北19题3分）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的
高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作 （ 为
1～8 的整数）.函数 = <0 的图象为曲线 .
（1）若 过点 1 ，则 = _ ____；
（2）若 过点 4 ，则它必定还过另一点 ，则 = ___；
（3）若曲线 使得 1 ～ 8 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则 的整数值有
___个.
5
7
&23& 反比例函数、一次函数与几何图形结合（2012年考查）
8.（2012河北22题8分）如图，四边形 是平行四边形，点
1,0 ， 3,1 ， 3,3 .反比例函数 = >0 的函数图象
经过点 ，点 是一次函数 = +3 3 ≠0 的图象与该
反比例函数图象的一个公共点.
（1）求反比例函数的解析式；
解： ∵ 四边形 是平行四边形， ∴ = .
∵ , ， , ，
∴ ⊥ 轴， = = .
而点 的坐标为 , ，
∴ 点 的坐标为 , .
∵ 反比例函数 = > 的函数图象经过点 , ， ∴ = ， ∴ = .
∴ 反比例函数的解析式为 = .
（2）通过计算，说明一次函数 = +3 3 ≠0 的图象一定过点 ；
[答案] 当 = 时， = + = + = ，
∴ 一次函数 = + ≠ 的图象一定过点 .
（3）对于一次函数 = +3 3 ≠0 ，当 随 的增大而增大时，确定点
的横坐标的取值范围（不必写出过程）.
[答案] 设点 的横坐标为 ，
则 的范围为 < < .
&24& 反比例函数的实际应用（10年4考，其中2次与二次函数结合，1次与一次函数结合）
9.（2015河北10题3分）一台印刷机每年可印刷的书本数量 （万册）与它的使用
时间 （年）成反比例关系，当 =2 时， =20 ，则 与 的函数
图象大致是( )
C
A.&25& B.&26& C.&27& D.&28&
第10题图
10.（2023内江25题6分）如图，在平面直角坐标系中， 为坐标原
点， 垂直于 轴，以 为对称轴作 △ 的轴对称图形，对
称轴 与线段 相交于点 ，点 的对应点 恰好落在反比例
函数 = <0 的图象上，点 ， 的对应点分别是点 ， .
若 为 的中点，且 △ = 1 4 ，则 的值为____.
第11题图
11.（2023烟台15题3分）如图，在直角坐标系中， ⊙ 与 轴
相切于点 ， 为 ⊙ 的直径，点 在函数
= >0, >0 的图象上， 为 轴上一点， △ 的面
积为6，则 的值为____.
24
12.（2023安徽14题5分）如图， 是坐标原点， Rt△ 的直角顶点 在 轴的
正半轴上， =2 ， ∠ = 30 ，反比例函数 = >0 的图象经过斜边
的中点 .
（1） = _ ___；
（2） 为该反比例函数图象上的一点，若 // ，则
2 2 的值为___.
4
检测学习效果，请用《高分分层训练》第34-36页。祝你取得好成绩！

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