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2024河北中考数学一轮复习
第三章 函数
第13讲 二次函数的图象与性质
理考点·练基础
聚焦河北·精练命题点
&1& 二次函数的概念（10年10考）
一般地，如果①________________ ( ， ， 是常数， ≠0) ，那么 叫做
的二次函数.
&2& 二次函数的图象与性质（10年10考）
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 对称轴 直线①_ ________
增减性 当 ②_ ______时， 随 的增大 而减小； 当 ③_ ______时， 随 的增大 而增大 当 时， 随 的增大而④
______；
当 时， 随 的增大而⑤
______
函数最值 当 ⑥_ ____时， 有最⑦____ 值，为 ⑧_ ______ 当 ⑨_ ____时， 有最⑩____
值，为 _ ______
增大
减小
小
大
续表
画法 （1）列表：表示几组对应值，一般找五个点（顶点，对称轴两侧各两
点）；
（2）描点：以表中 与 的对应值为坐标，描出各点；
（3）连线：用平滑的曲线顺次连接这些点即可
画草图步骤：画对称轴 确定顶点 确定与 轴的交点 确定与
轴的交点 连线
续表
求抛物线的对称轴的方法
1.公式法：抛物线 = 2 + + 的对称轴为直线 = 2 .
2.配方法：将抛物线的解析式配方成顶点式 = 2 + ，对称轴为直线
= .
3.根据对称性求解：若抛物线上两点的纵坐标相等，则说明这两点是关于抛物线的
对称轴对称的，对称轴是这两点连线的垂直平分线，即若抛物线过点 1 , ，
2 , ，则对称轴为直线 = 1 + 2 2 .
1.关于二次函数 =2 3 2 +5 的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
D
A.有最大值3 B.有最小值3 C.有最大值5 D.有最小值5
2.已知二次函数 = 2 + + 的 ， 部分对应值如下表，则该二次函数图象
的对称轴为( )
0 1 2 3
6 2 2
A
A.直线 = 3 2 B.直线 = 5 2 C.直线 =2 D. 轴
3.若某二次函数图象经过点 2, 1 ， 1, 2 ，且 1 < 2 ，则该二次函数的解
析式可能是( )
D
A. = 2 B. = 2 3 C. = 2 +3 D. = 2 +2 +3
二次函数 = + + ≠ 的图象与 ，
， 符号
符号 图象的特征 确定抛物线的开口 方向 开口向①____ 越大，开口越
③____
开口向②____ ， 共同确定抛物 线对称轴的位置 对称轴为④_ __轴 ， 同 号 对称轴在 轴的⑤____侧 简称：同左异右
， 异 号 对称轴在 轴的⑥____侧 确定抛物线与 轴 交点的位置 抛物线经过⑦______ 抛物线与 轴交于⑧________ 抛物线与 轴交于⑨________ 上
小
下
左
右
原点
正半轴
负半轴
特殊关系：对于二次函数 = 2 + + ≠0 ：
（1）当 =1 时， = + + ；当 = 1 时， = + .
（2）若 + + >0 ，即当 =1 时， >0 ；若 + <0 ，即当 = 1
时， <0 .
4.（2023贵州）已知，二次函数 = 2 + + 的图象如图所示，
则点 , 所在的象限是( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.（2023张家口四模）如图是二次函数 = 2 + + 图象的一
部分，且过点 3,0 ，二次函数图象的对称轴是直线 =1 ，下列
结论正确的是( )
D
A. 2 <4 B. >0 C. 2 =0 D. + =0
&4& 二次函数解析式的确定（10年10考）
二次函数的解析式有一般式、顶点式和交点式三种，在确定二次函数的解析式
时，要根据题中不同的已知条件，设出相应的解析式，再利用待定系数法进行求解.
解析式 适用条件
一般式 已知图象上三点或三对 ， 的值，则可设二次函数的解析式为①_____
____________
顶点式 已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程或最大（小）值，则可设二
次函数的解析式为②_ ________________
交点式 已知二次函数图象与 轴的交点坐标为 ， ，则可设二次函
数的解析式为③_ ____________________
= 2 + +
确定二次函数解析式的一般步骤
1.对于二次函数解析式 = 2 + + ，若系数 ， ， 中有一个未知，则代入二
次函数图象上任意一点坐标；若有两个未知，则代入二次函数图象上任意两点坐标.
2.对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的表达式：
①顶点在原点，可设为 = 2 ；
②对称轴是 轴（或顶点在 轴上），可设为 = 2 + ；
③顶点在 轴上，可设为 = 2 ；
④抛物线过原点，可设为 = 2 + ；
⑤已知顶点 , 时，可设为顶点式 = 2 + ；
⑥已知抛物线与 轴的两交点坐标为 1 ,0 ， 2 ,0 时，或已知对称轴及与 轴的
一个交点 1 ,0 ，利用对称轴可求出另外一个交点的坐标 2 ,0 ，可设为交点式
= 1 2 ；
⑦已知二次函数图象上任意三点，可设为 = 2 + + .
3.联立一次方程（组），求得系数或常数项.
4.将所得系数或常数项代入解析式即可.
6.（2023长安区模拟）抛物线的形状、开口方向与 = 1 2 2 4 +3 相同，顶点在
2,1 ，则关系式为( )
C
A. = 1 2 2 2 +1 B. = 1 2 +2 2 1
C. = 1 2 +2 2 +1 D. = 1 2 +2 2 +1
7.（2023上海）一个二次函数 = 2 + + 的顶点在 轴正半轴上，且其对称
轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是____________________
_________.
= 2 +1 （答案不唯一）
8.已知抛物线经过 3,0 ， 0,3 两点，且其对称轴为直线 = 1 .求此抛物线
的解析式.
解：方法一（交点式） ：∵ 抛物线的对称轴是直线 = ，抛物线与 轴的一
个交点为 , ，则抛物线与 轴的另一个交点为 , .设抛物线的解析式为
= )( + .
把 , 代入，得 = ，解得 = ，故抛物线的解析式为
= + ，
即 = + .
方法二（顶点式） ：∵ 抛物线的对称轴是直线 = ，则设抛物线的解析式为 = + + .
将 , ， , 分别代入，
得 & = + , & = + , 解得 & = , & = ,
故抛物线的解析式为 = + + ，即 = + .
&5& 二次函数图象的平移（10年2考）
1.二次函数图象的平移实际上可以看成是对抛物线顶点的平移，然后根据顶点式写
出二次函数的解析式.平移的规律我们可以用八个字概括： “左加右减，上加下减”.
2.二次函数 = 2 + 的图象的平移规律
（1）向左平移 个单位长度，所得图象的解析式为 = + 2 + ；
（2）向右平移 个单位长度，所得图象的解析式为 = 2 + ；
（3）向上平移 个单位长度，所得图象的解析式为 = 2 + + ；
（4）向下平移 个单位长度，所得图象的解析式为 = 2 + .
3.二次函数的对称变换
（1）关于 轴对称：抛物线 = 2 + + 关于 轴对称后，得到抛物线 = ①
______________；抛物线 = 2 + 关于 轴对称后，得到抛物线 =
②_ ______________.
（2）关于 轴对称：抛物线 = 2 + + 关于 轴对称后，得到抛物线 = ③
_____________；抛物线 = 2 + 关于 轴对称后，得到抛物线 =
④_ ____________.
（3）关于原点对称：抛物线 = 2 + + 关于原点对称后，得到抛物线 =
⑤______________；抛物线 = 2 + 关于原点对称后，得到抛物线 =
⑥_ ______________.
1.在一般式 = 2 + + ≠0 或顶点式 = 2 + ≠0 中，左右
平移给 加减平移单位长度，上下平移给等号右边整体加减平移单位长度.
2.二次函数图象平移的实质是图象上点坐标的整体平移（研究顶点坐标为主），平
移过程中 不变，因此可先求出其顶点坐标，根据顶点坐标的平移求解即可.
9.（2023新华区模拟）把抛物线 = 2 的图象向右平移2个单位长度，再向上平
移3个单位长度，得到新的抛物线为( )
D
A. = 2 2 3 B. = +2 2 +3
C. = +2 2 3 D. = 2 2 +3
10.将抛物线 = +3 2 向下平移1个单位长度，再向右平移______个单位长度后，
得到的新抛物线经过原点.
2或4
&6& 二次函数与一元二次方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系
（1）一元二次方程 2 + + =0 的解是其对应的二次函数图象与 轴交点的
①________.
横坐标
（2）判别式 = 2 4 决定抛物线与 轴的交点个数.
① >0 方程 2 + + =0 有两个不相等的实数根 抛物线与 轴有
②______交点;
② =0 方程 2 + + =0 有两个相等的实数根 抛物线与 轴有
③______交点;
③ <0 方程 2 + + =0 没有实数根 抛物线与 轴④______交点.
两个
一个
没有
2.二次函数与不等式的关系
不等式
函数图象
观察方法 函数 的图象位 于 轴上方对应的点的横坐标的 取值范围 函数 的图象位
于 轴下方对应的点的横坐标的
取值范围
解集 或
11.如图，抛物线 = 2 + + 与直线 = + 交于
， 两点，下列是关于 的不等式或方程，结论正确的是
( )
D
A. 2 + + > 的解集是 2< <4
B. 2 + + > 的解集是 >4
C. 2 + + > 的解集是 <2
D. 2 + + = 的解是 1 =2 ， 2 =4
&7& 二次函数的图象与性质（10年10考）
类型一 二次函数的图象与性质（10年6考）
第1题图
1.（2020河北15题2分）如图，现要在抛物线 = 4 上
找点 , ，针对 的不同取值，所找点 的个数，三人的
说法如下：
甲：若 =5 ，则点 的个数为0；
乙：若 =4 ，则点 的个数为1；
丙：若 =3 ，则点 的个数为1.
下列判断正确的是( )
C
A.乙错，丙对 B.甲和乙都错 C.乙对，丙错 D.甲错，丙对
母题变式1-1图
如图，对于抛物线 ： = 4 + 与直
线 ： = （ 为常数），针对 的不同取值，三人的说法
如下.
甲：无论 为何值， 与 轴总有两个交点；
乙：无论 为何值， 与 不会有交点；
丙：无论 为何值， 与 总有两个交点.
下列判断正确的是( )
B
A.只有甲错 B.只有丙对 C.甲、乙、丙都对 D.甲、乙、丙都错
[解析] = + = + + ，令 = ，则
+ + = .∵ = + × × = + ， ∴ 当 =
时， = ，此时抛物线与 轴只有一个交点， ∴ 甲的说法不正确；令 = ，
则 + + = ，
∴ + + = .∵ = [ + ] × × = + + = + + = + + ，无论 为何值， + ≥ ，
∴ + + > ，即 > ， ∴ 无论 为何值， 与 总有两个交点， ∴ 乙
的说法不正确，丙的说法正确.
2.（2023河北16题2分）已知二次函数 = 2 + 2 和 = 2 2 （ 是常数）
的图象与 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两
个函数图象对称轴之间的距离为( )
A
A.2 B. 2 C.4 D. 2 2
[解析] 令 = ，则 + = 和 = ， ∴ = 或 = 或
= 或 = .∵ 这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，若 > ，则
= ， ∴ = ，若 < 时，则 = ， ∴ = .∵ 抛物线
= 的对称轴为 = ，抛物线 = + 的对称轴为 = ， ∴
这两个函数图象对称轴之间的距离为 = .
3.（2018河北16题2分）对于题目“一段抛物线 ： = 3 + 0≤ ≤3 与
直线 ： = +2 有唯一公共点，若 为整数，确定所有 的值”，甲的结果是
=1 ，乙的结果是 =3 或4，则( )
D
A.甲的结果正确 B.乙的结果正确
C.甲、乙的结果合在一起才正确 D.甲、乙的结果合在一起也不正确
4.（2013河北20题3分）如图，一段抛物线：
= 3 0≤ ≤3 ，记为 1 ，它与 轴交于点
， 1 ；
将 1 绕点 1 旋转 180 得 2 ，交 轴于点 2 ；
2
将 2 绕点 2 旋转 180 得 3 ，交 轴于点 3 ；…
如此进行下去，直至得 13 .若 37, 在第13段抛物线 13 上，则 = ___.
类型二 二次函数简单应用（10年2考）
5.（2022河北23题10分）如图，点 ,3 在抛物线
： =4 6 2 上，且在 的对称轴右侧.
（1）写出 的对称轴和 的最大值，并求 的值；
解： ∵ 抛物线 ： = ( ) = + ，
∴ 抛物线的顶点为 , ，对称轴为直线 = ， 的
最大值为4.
当 = 时， = + ，
解得 = 或 = .
∵ 点 在对称轴的右侧， ∴ , ， ∴ = .
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 及 的一段，分别记为
′ ， ′ .平移该胶片，使 ′ 所在抛物线对应的函数恰为 = 2 +6 9 .求点 ′
移动的最短路程.
解： ∵ 平移后的抛物线的解析式为 = + = ，
∴ 平移后的顶点 ′ , .
∵ 平移前抛物线的顶点 , ，
∴ 点 ′ 移动的最短路程为 ′= + = .
6.（2015河北25题11分）如图，已知点 0,0 ， 5,0 ，
2,1 ，抛物线 ： = 2 +1 （ 为常数）与 轴的
交点为 .
（1） 经过点 ，求它的解析式，并写出此时 的对称轴及顶点坐标；
解：把点 的坐标 , 代入 = + ，
得 = + ，
解得 = ，
则该函数解析式为 = + = + ，
故抛物线 的对称轴为直线 = ，顶点坐标是 , .
（2）设点 的纵坐标为 ，求 的最大值，此时 上有两点 1 , 1 ， 2 , 2 ，
其中 1 > 2 ≥0 ，比较 1 与 2 的大小；
解：点 的横坐标为0，则 = + .
当 = 时， 有最大值1，
此时，抛物线 为 = + ，对称轴为 轴，开口方向向下，
∴ 当 ≥ 时， 随 的增大而减小.
∵ > ≥ ， ∴ < .
（3）当线段 被 只分为两部分，且这两部分的比是 1:4 时，求 的值.
解： ∵ 线段 被 只分为两部分，且这两部分的比是 : ，且 , ，
, ，
∴ 把线段 被 只分为两部分的点的坐标分别是 , ， , .
把 = ， = 代入 = + ，得
= + ，
解得 = ， = .
但是当 = 时，线段 被抛物线 分为三部分，不合题意，舍去.
同样，把 = ， = 代入 = + ，解得 = 或 = （舍
去）.
综上所述， 的值是0或 .
类型三 二次函数与其他函数结合（10年2考）
7.（2019河北26题12分）如图，若 是正数，直线 ： = 与
轴交于点 ；直线 ： = 与 轴交于点 ；抛物线
： = 2 + 的顶点为 ，且 与 轴右交点为 .
（1）若 =8 ，求 的值，并求此时 的对称轴与 的交点坐标；
解：当 = 时， = = ，
∴ , .
∵ = ，而 , ，
∴ = ， ∴ = .
∴ ： = + ，
∴ 的对称轴为直线 = .
当 = 时， = = ，
∴ 的对称轴与 的交点坐标为 , .
（2）当点 在 下方时，求点 与 距离的最大值；
解： = + = + ，
∴ 的顶点 , . ∵ 点 在 下方，
∴ 与 的距离 = + ≤ ，
∴ 点 与 距离的最大值为1.
（3）设 0 ≠0 ，点 0 , 1 ， 0 , 2 ， 0 , 3 分别在 ， 和 上，且 3 是
1 ， 2 的平均数，求点 0 ,0 与点 间的距离；
解：由题意，得 = + ，即 + = ，
∴ + = + ，
解得 = 或 = .
∵ ≠ ， ∴ = .
对于 ，当 = 时， = + ，即 = ，解得 = ， = .
∵ > ， ∴ 右交点 , .
∴ 点 , 与点 间的距离为 = .
（4）在 和 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美
点”，分别直接写出 =2 019 和 =2 019.5 时“美点”的个数.
解： = 时“美点”的个数为4 040个， = . 时“美点”的个数为1 010个.
[解析] ①当 = 时，抛物线解析式 ： = + ，直线解析式
： = ，联立上述两个解析式可得 = ， = ， ∴ 可知每
一个整数 的值都对应的一个整数 值，且 和2 019之间（包括 和 ）
共有2 021个整数. ∵ 所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线， ∴ 线段和
抛物线上各有2 021个整数点， ∴ 总计4 042个点. ∵ 这两段图象交点有2个点重
复， ∴ “美点”的个数为 = （个）.②当 = . 时，抛物线
解析式 ： = + . ，直线解析式 ： = . ，联立上述两
个解析式可得 = ， = . ， ∴ 当 取整数时，在一次函数
= . 上， 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0，在二次函数
= + . 图象上，当 为偶数时，函数值 可取整数，可知 到
. 之间有1 010个偶数，因此“美点”共有1 010个.故 = 时，“美点”的
个数为4 040个， = . 时，“美点”的个数为1 010个.
8.（2016河北26题12分）如图，抛物线
： = 1 2 ( ) +4 （常数 >0 ）与 轴从左
到右的交点为 ， ，过线段 的中点 作 ⊥ 轴，
交双曲线 = >0, >0 于点 ，且 =12 .
（1）求 值；
解：设点 , ，则 = ，由 的中点为 可知 = ，代入
= ，
得 = ，即 = ，
∴ = = .
（2）当 =1 时，求 的长，并求直线 与 对称轴之间的距离；
[答案] 当 = 时，令 = ， = + ，
解得 = 或 .
∵ 点 在点 左边，
∴ , ， , ， ∴ = ，
∵ 的对称轴为直线 = ，且 为 , ，
∴ 与 对称轴的距离为 = .
（3）把 在直线 左侧部分的图象（含与直线 的交点）记为 ，用 表示图
象 最高点的坐标；
[答案] ∵ , ， , ，
∴ 的对称轴为直线 = .
又 ∵ = ， ∴ 直线 的解析式为 = .
当 ≤ ，即 ≤ 时，顶点 , 就是 的最高点.
当 > ，即 > 时，联立 与 ，
解得 , + 就是 的最高点.
（4）设 与双曲线有个交点的横坐标为 0 ，且满足 4≤ 0 ≤6 ，通过 位置随
变化的过程，直接写出 的取值范围.
[答案] ≤ ≤ 或 ≤ ≤ + .
[解析] 对双曲线，当 ≤ ≤ 时， ≤ ≤ ，即
与双曲线在 , ， , 之间的一段有个交点.①由
= + ，解得 = 或7.②由
= + ，解得 = 或 + .
当 = 时， 右侧过点 .当 = < 时， 右侧过点 ，即
≤ ≤ .当 < < 时， 右侧离开了点 ，而左侧未到达点 ，
即 与该段无交点，舍去.当 = 时， 左侧过点 .当 = + 时， 左侧过
点 ，即 ≤ ≤ + .综上所述， 的取值范围为 ≤ ≤ 或
≤ ≤ + .
随 的逐渐增加， 的位置随着 , 向右平移，如图所示.
检测学习效果，请用《高分分层训练》第37—39页。祝你取得好成绩！

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