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2024河北中考数学一轮复习
第三章 函数
第9讲 平面直角坐标系与函数
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦河北·精练命题点
&1& 平面直角坐标系中点的坐标特征
1.定义：平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系.在平面直
角坐标系内的点和①____________之间建立了②__________的关系.
有序实数对
一一对应
2.平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内点的 坐标特征 （1） 在第一象限 ， ；
（2） 在第二象限 ③______________；
（3） 在第三象限 ④______________；
（4） 在第四象限 ⑤______________
________________________
坐标轴上点的 坐标特征 （1）坐标轴上的点不属于任何象限；
（2） 在 轴上 ⑥______；
（3） 在 轴上 ⑦______；
（4） 既在 轴上，又在 轴上（为原点） ⑧_________
_
象限角平分线 上点的坐标特 征 （1）若 在一、三象限角平分线上，则⑨______；
（2）若 在二、四象限角平分线上，则⑩__________
_________________________
= =0
续表
平行于坐标轴 的直线上的点 的坐标特征 平行于坐标轴的直 线 上两点 ， （1） 轴 ， ，即
直线 上所有点的纵坐标相等. ， 两点
间的距离为 ；
（2） 轴 ， ，即直
线 上所有点的横坐标相等. ， 两点间
的距离为
续表
1.下列关于有序数对的说法正确的是( )
C
A. 3,4 与 4,3 表示的位置相同
B. , 与 , 表示的位置肯定不同
C. 3,5 与 5,3 是表示不同位置的两个有序数对
D.有序数对 4,4 与 4,4 表示两个不同的位置
2.（2023丽水）在平面直角坐标系中，点 1, 2 +1 位于( )
B
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.在平面直角坐标系中，直线 平行于 轴，点 的坐标为 3,2 ，点 的坐标
可能为( )
B
A. 4,2 B. 3,4 C. 3, 4 D. 4,2
4.若点 2, 在第一、三象限两坐标轴夹角平分线上，则 的值为___.
2
&2& 平面直角坐标系中的距离
点 到坐标轴及原点的距离 两点间的距离（设 ，
， ）
_______________________________________ 到 轴的距离 ①____； 到 轴的距离 ②____； 到原点的距离 ________________________________________________
轴， ⑤_________；
轴， ⑥_________；
温馨提示：在平面直角坐标系中，上减下、右减左永远是正数（“上”即上面点的纵
坐标，“右”即右面点的横坐标）.
5.在平面直角坐标系中，点 1, 5 到 轴的距离为( )
A
A.1 B. 1 C. 5 D. 5
6.（2023邯郸三模）已知点 在第四象限，且到 轴的距离为2，到 轴的距离为4，
则点 的坐标为( )
D
A. 2,4 B. 2, 4 C. 4, 2 D. 4, 2
&3& 点的图形变换（10年1考）
图形变换 点的坐标规律 对称 变换 关于 轴 点 关于 轴的对称点为 ①_ _______
关于 轴 点 关于 轴的对称点为 ②_ _______ 关于 原点 点 关于原点的对称点为 ③_ ________ 口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号;关于原点对称都变号
图形变换 点的坐标规律 平移 变换 左右 平移 将点 向左或向右平移 个单位长度，对应点坐标为④______ ____或⑤_ _________ 上下 平移 将点 向上或向下平移 个单位长度，对应点坐标为 ⑥__________或⑦_ _________ 简记：横坐标左减右加，纵坐标上加下减 旋转变换 点 绕点 逆时针旋转 所得对应点 的坐标为⑧_ _______
,
续表
1.点 , 关于直线 = 对称的点的坐标为 2 , .
2.点 , 关于直线 = 对称的点的坐标为 ,2 .
3.中点坐标公式：若 , ， , 为平面直角坐标系中任意两点，则线段
的中点坐标为 ( + 2 ， + 2 ) .
7.（2023曹妃甸区模拟）在平面直角坐标系中，点 5, 2 +3 关于原点的对称
点在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
8.已知点 1 1,5 和点 2 2, 1 关于 轴对称，则 + 2 024 的值为( )
C
A.0 B. 1 C.1 D. 3 2 024
9.点 0 3, 0 +2 是把点 0 , 0 +2 向____平移___个单位长度，或把
0 3, 0 向____平移___个单位长度得到的.
左
3
上
2
&4& 函数的相关概念
常量和变量 在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做①______；保持数值
②______的量叫做常量
函数 一般地，设在某一变化过程中有两个变量 和 ，如果对于 的每一
个值， 都有③__________的值与它对应，那么就说 是
④________， 是 的函数
函数值 在自变量 的取值范围内，如果当 时， ，那么 叫做当
自变量的值为 时的⑤________
变量
不变
唯一确定
自变量
函数值
自变量取值 范围的确定 整式型 全体实数
分式型 使分母不为⑥____的实数
偶次根式型 使被开方数为⑦________的实数
零次幂、负整数次幂 使底数⑧________的实数
混合型 各个代数式中自变量取值范围的⑨______部
分
实际问题 使实际问题有意义
零
非负数
不为零
公共
续表
10.下列等式中， 不是 的函数的是( )
B
A. 3 2 =0 B. 2 2 =1 C. = D. =
11.要画一个面积为 30 cm 2 的长方形，其长为 cm ，宽为 cm ，在这一变化过程
中，下列说法正确的是( )
A
A.30是常量 B. 是常量 C.30是变量 D. ， 是常量
12.写出下列函数自变量 的取值范围：
（1） = 1 +2 ：________；
（2） =2 3 2 ： __________；
（3） = 1 1 ：______.
任意实数
13.已知函数 = 1 2 +1 ，当 = 2 时， = ___；当 =0 时， = ___.
2
2
&5& 函数的表示方法及其图象（10年3考）
1.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的①____、
②____坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象.
2.画函数图象的一般步骤：③______；④______；⑤______.
3.函数的表示方法有：⑥________，⑦__________，⑧________.
横
纵
列表
描点
连线
列表法
解析式法
图象法
14.如图，在四边形 中， // ， = = =2，
=4 ，动点 从点 出发，在四边形的边上沿
→ → → → 的方向匀速运动，到点 停止，运动速度
C
A.&6& B.&7& C.&8& D.&9&
为每秒运动1个单位长度.设点 的运动路程为 ，在如图图象中，能表示 △ 的
面积 与 之间的变化关系的是( )
点在平面直角坐标系中的对称点的特征
题 型 解 法 点在平面直角坐标系中的对称点的特征可以概括为：关于哪个轴对称，则哪
个坐标不变，另一个坐标变为相反数；关于原点对称，两个坐标都变为相反
数，此规律可结合坐标系理解
解决平面直角坐标系相关的问题，常常利用数形结合思想
例 已知点 2,2 +8 .
（1）点 在 轴上时的坐标为_ ______；
（2）点 在 轴上时的坐标为_ ______；
（3）点 到 轴、 轴的距离相等时的坐标为_ ___________________；
（4）点 在第二象限，则 的范围是_ ___________；
（5）点 在第二、四象限的角平分线上，则 = _ ___；
（6）当 =1 时，
①点 关于 轴的对称点 1 的坐标为_ _________；
②点 关于 轴的对称点 2 的坐标为_ ______；
③点 关于原点的对称点 3 的坐标为_ ________；
（7）若点 的纵坐标比横坐标大3，求点 的坐标；
解： ∵ 点 的纵坐标比横坐标大3， ∴ + = + ，解得 = .
∴ = ， + = .∴ 点 的坐标为 , .
（8）若点 到 轴的距离为2，且在第三象限，求点 的坐标；
解： ∵ 点 到 轴的距离为2， ∴ + = ，解得 = 或 = .
又 ∵ 点 在第三象限， ∴ + < ，即 < ， ∴ = ， ∴ = ，
+ = .
∴ 点 的坐标为 , .
（9）若点 在过点 5,1 且与 轴平行的直线上，求点 的坐标；
解： ∵ 点 在过点 , 且与 轴平行的直线上， ∴ 点 的横坐标为 ，
∴ = ，解得 = ，
∴ + = .∴ 点 的坐标为 , .
（10）将点 先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点 ，若
点 在第三象限，且点 到 轴的距离为4，求点 的坐标.
解：由题意知点 的坐标为 + , + .
∵ 点 在第三象限，且点 到 轴的距离为4，
∴ 点 的横坐标为 ， ∴ + = ，解得 = ，
∴ + = .∴ 点 的坐标为 , .
思路点拨：（1）~（5）已知点 2,2 +8 ，①点 在 轴上 2 +8=0 ；②点 在 轴上 2=0 ；③点 到 轴、 轴的距离相等 2=2 +8 或 2+2 +8=0 ；④点 在第二象限 2<0 且 2 +8>0 ;⑤点 在第二、四象限的角平分线上 2+2 +8=0 .
&11& 函数图象的辨识（10年3考）
1.（2022河北12题2分）某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完
成需12天.若 个人共同完成需 天，选取6组数对 , ，在坐标系中进行描点，
则正确的是( )
C
A.&12& B.&13& C.&14& D.&15&
2.（2023河北14题2分）如图是一种轨道示意图，其中 和
均为半圆，点 ， ， ， 依次在同一直线上，且 = .现
有两个机器人（看成点）分别从 ， 两点同时出发，沿着轨道以
D
A.&16& B.&17& C.&18& D.&19&
大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 → → → → 和
→ → → → .若移动时间为 ，两个机器人之间距离为 ，则 与 关系
的图象大致是( )
3.（2013河北16题3分）如图，在梯形 中， // ，
⊥ ， ⊥ ，且 = = =5 ， =12 ，动点
从点 出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速度运动
到点 停止.设运动时间为 秒， = △ ，则 与 的函数图象大
致是( )
A
A.&20& B.&21& C.&22& D.&23&
解决函数图象相关问题的方法
1.判断符合实际问题的函数图象的一般步骤
（1）明确“两轴”所表示的意义；
（2）找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
（3）判断图象趋势：向上倾斜的直线或曲线，表示函数值随自变量的增大而增大；
与 轴平行的直线表示函数值随自变量的增大而保持不变；向下倾斜的直线或曲线，
表示函数值随自变量的增大而减小；
（4）看是否与坐标轴相交；若相交，则表示此时有一个量为0.
2.解决与动点有关的函数图象问题的步骤
（1）认真观察几何图形，找出运动起点和终点，由动点移动范围确定自变量的取
值范围；
（2）分清楚整个运动过程分为几段，关注动点运动过程中的特殊位置（如拐点、
起点、终点）的函数值；
（3）关注每一段运动过程中函数值的变化规律，与图象上升（或下降）的变化趋
势相比对，逐个排除错误选项或求出相关线段的长；
（4）在以上方法行不通的情况下，则需求出各段函数的解析式，再进行判断.
检测学习效果，请用《高分分层训练》第22—26页。祝你取得好成绩！

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