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2024河北中考数学一轮复习
第三章 函数
第10讲 一次函数的图象与性质
理考点·练基础
讲重难·提能力
聚焦河北·精练命题点
&1& 一次函数、正比例函数的概念
一般地，如果 = + ( ， 是常数， ≠0) ，那么 叫做 的一次函数；
特别地，当①______时，一次函数 = + 即变为 = ( 是常数 ≠0) ，这
时 叫做 的②____________.
特别提示：正比例函数是一次函数，反之不一定成立.
1.若 = +2 3 是正比例函数，则 的值是( )
正比例函数
C
A.0 B. 2 3 C. 2 3 D. 3 2
&2& 一次函数的图象与性质
1.一次函数 = + ≠0 的图象是经过点①______和点 ,0 的一条直线；
特别地，正比例函数 = ≠0 的图象是经过点②______和点 1, 的一条直
线.
特别提示：因为一次函数的图象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取两个
点，过这两个点画一条直线即可.
2.一次函数 = + ≠0 的图象与性质
图象与 轴的 交点位置 轴正半轴 图象经过第一、 二、三象限 图象经过第一、
二、四象限
坐标原点 图象经过第一、三 象限 图象经过第二、四
象限
轴负半轴 图象经过第一、 三、四象限 图象经过第二、
三、四象限
图象 从左至右图象上升 从左至右图象下降 性质 随 的增大而③______ 随 的增大而④______ 增大
减小
特别提示：（1） 确定直线 = + 的倾斜程度，当两直线中的 相等时，两
直线平行；当两直线中的 不相等时，两直线相交；当两直线中的 的乘积为 1
时，两直线垂直.
（2） 确定直线 = + 与 轴交点的位置，当两直线中的 相等时，两直线
交于 轴上同一点.
3.一次函数图象的平移
平移情况 解析式变化情况
向上平移 个单位长度
向下平移 个单位长度
向左平移 个单位长度
向右平移 个单位长度
温馨提示：（1）简记为“左加右减自变量，上加下减常数项”;（2）直线
= + 可以看作由直线 = 向上或向下平移 个单位长度得到.
若直线 1 和 2 分别为一次函数 = 1 + 1 1 ≠0 和 = 2 + 2 2 ≠0
的图象，则它们的位置关系可由其系数确定：
（1）当 1 = 2 ， 1 ≠ 2 时， 1 // 2 ;（2）当 1 = 2 ， 1 = 2 时， 1 与 2 重合;
（3）当 1 ≠ 2 时， 1 与 2 相交;（4）当 1 2 = 1 时， 1 ⊥ 2 .以上结论在做
选择、填空题时可直接使用.
2.（2023通辽）在平面直角坐标系中，一次函数 =2 3 的图象是( )
D
A.&3& B.&4& C.&5& D.&6&
3. 已知一次函数 = 3 +6 ，请解答下面问题：
（1）图象与 轴的交点坐标为_ _____；
（2）图象与 轴的交点坐标为_ _____；
（3）图象经过第____________象限；
（4）图象从左向右______， 随 的增大而______；
（5）图象与坐标轴围成的三角形为____________，该三角形的面积为___；
（6）一次函数 = 3 +6 与 = 3 +1 的图象的位置关系为______；
（7）一次函数 = 3 +6 与 = 1 3 +6 的图象的位置关系为______，且交于___
轴上同一点.
一、二、四
下降
减小
直角三角形
6
平行
垂直
4.
（1）将直线 = 向下平移2个单位长度，得到直线_ _________；
（2）将直线 = 5 向上平移5个单位长度，得到直线_ _____；
（3）将直线 = +3 向下平移5个单位长度，得到直线_ _________.
&8& 一次函数解析式的确定（10年6考）
待定系数 法的步骤 一设 设出一次函数解析式
二列 找出函数图象上的两个点，代入 中，得
到二元一次方程组
三解 解这个二元一次方程组，得到 ， 的值
四还原 将所求待定系数 ， 的值代入 中即可
常见类型 两点型 直接运用待定系数法求解
平移型 由平移前后 不变，设出平移后的直线对应的函数
解析式，再代入已知点坐标即可
1.利用对称法求一次函数解析式的一般方法
（1）一次函数 = + 关于 轴对称的函数解析式为 = .
（2）一次函数 = + 关于 轴对称的函数解析式为 = + .
（3）一次函数 = + 关于原点对称的函数解析式为 = .
2.求正比例函数的解析式时，只要代入图象上一个点的坐标即可，因为正比例函数
只有一个待定系数.
3.求一次函数（非正比例函数）的解析式时，需要代入图象上两个点的坐标.
4.若已知一次函数 = + 的图象与 轴的交点坐标，则 值已知，故代入图象
上一个点（非与 轴交点）的坐标即可求解.
5.（2023邯郸模拟）如图，直线 1 经过 3,0 ， 0,3 两点.已知
点 8,3 ，点 是线段 上一动点（可与点 ， 重合），直线
2 ： = +5 3 （ 为常数）经过点 ，交 1 于点 .
（1）求直线 1 的函数表达式；
解：设直线 的函数表达式为 = + ≠ .
将 , ， , 代入，得 & = + , & = , 解得 & = , & = ,
∴ 直线 的函数表达式为 = + .
（2）当 =2 时，求点 的坐标；
[答案] 当 = 时，直线 的函数表达式为 = ，
∴ & = , & = + , 解得 & = , & = ,
∴ 点 的坐标为 , .
（3）直线 2 必过点______，在点 移动的过程中， 的取值范围为_____________
___________.
≥ 2 3 且 ≠1 或 ≤ 2 5
&9& 一次函数与方程（组）、一元一次不等式的关系
一次函数与一 次方程 方程 的解 函数 中， ①___
时， 的值 函数 的图象与②___轴的交点的
横坐标
一次函数与一 元一次不等式 一元一次不等式 的解集就是当 时，函数
自变量的取值范围，也是一次函数 图象位
于③_ ________的部分对应的 的取值范围
一元一次不等式 的解集就是当 时，函数
自变量的取值范围，也是一次函数 图象位
于④_ ________的部分对应的 的取值范围
0
一次函数与一 元一次不等式 不等式 的解集是 ，即 图象
位于 图象上方的部分对应的自变量的取值范围;不等式
的解集是 ，即 图象位于
图象下方的部分对应的自变量的取值范围
一次函数与二 元一次方程组 二元一次方程组 的解就是一次函数 与
的图象⑤____________________
交点的横、纵坐标值
续表
6.&10& 如图，利用函数图象回答下列问题：
（1）方程组 & + =3, & =2 的解为_ _______；
（2）不等式 2 > +3 的解集为_ _____；
（3）不等式 2 < +3 的解集为_ _____.
一、一次函数的图象与性质
例1 已知函数 = +1 +3 1 ，解决下列问题：
（1）若函数为正比例函数，则 = _ _，此时函数图象经过第________象限；
一、三
[解析] ∵ 函数为正比例函数， ∴ = ，解得 = .此时 + > ，函数图象经过第一、三象限.
（2）若函数值 随 的增大而减小，则 的取值范围是_ _______；
[解析] ∵ 函数值 随 的增大而减小， ∴ + < ，解得 < .
（3）若函数图象与 轴交于正半轴，则 的取值范围是_ ______；
[解析] ∵ 函数图象与 轴交于正半轴， ∴ > ，解得 > .
（4）当 =1 时，函数图象与 轴的交点坐标是_______，与 轴的交点坐标是
_ _____，与坐标轴围成的三角形的面积是___；
1
[解析] 当 = 时，函数 = + + = + .当 = 时， = ； 当 = 时， = .与坐标轴围成的三角形的面积是 × × = × × = .
（5）当 =0 时，点 1 , 1 ， 2 , 2 是函数图象上的两个点，且 1 < 2 ，
则 1 _ __（填“ > ”“ < ”或“ = ”） 2 ;
[解析] 当 = 时，函数 = + + = ， = > ， 随 的增大而增大，当 < ，则 < .
（6）当 =0 时，将函数图象向上平移2个单位长度得到的函数图象解析式为
__________，再向右平移1个单位长度得到的函数图象解析式为_ _____;
[解析] 当 = 时，函数 = + + = ，向上平移2个单位长度得到的函数图象解析式为 = + = + ，再向右平移1个单位长度得到的函数图象解析式为 = + = .
（7）当 =1 时，函数 = +1 +3 1 的图象与直线 = +1 的交点
坐标为_ ________，不等式 +1 +3 1> +1 的解集为________.
[解析] 当 = 时，函数 = + + = + ，与直线 = +
相交，联立得 & = + , & = + , 解得 & = , & = , 故交点坐标为 ( ，
). + > + 的解集为 > .
二、一次函数的综合
例2 （2023石家庄新华区二模）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 ： = +5
与 轴、 轴分别交于点 ， ，直线 2 ： = +4 ≠ 1 与 轴、
轴分别交于点 ， ，点 2, 在直线 2 上.
（1）直线 = +4 过定点 1,4 吗？____（填“过”或“不过”）；
过
（2）若点 ， 关于点 对称，求此时直线 2 的解析式；
解：在 = + 中，令 = ，则 = ， ∴ , .
∵ 点 ， 关于点 对称， ∴ , .
将点 的坐标代入 = + ，得 = + ，解得 = . ∴ 直线 的
解析式为 = + .
（3）若直线 2 将 △ 的面积分为 1:4 两部分，请求出 的值；
解：在 = + 中，令 = ，则 = ， ∴ , ， ∴ = .
∵ , ， ∴ = .∴ △ = = × × = .
∵ 直线 = + 过定点 , ，直线 = + 过点 , ，
∴ 两直线的交点为 , ，点 到 轴的距离为1，到 轴的距离为4.
①当 △ = △ 时， × = × ，解得 = .
∵ = ， ∴ , ， ∴ + = ，解得 = ；
②当 △ = △ 时， × = × ，解得 = . ∵ = ，
∴ , ，
∴ = + ，解得 = .综上所述， 的值为4或 .
（4）当 =1 时，将点 2, 向右平移2.5个单位长度得到点 ，当线段 沿直
线 = +4 向下平移时，请直接写出线段 扫过 △ 内部（不包括边
界）的整点（横、纵坐标都是整数的点）的坐标.
解：当 = 时，直线 的解析式为 = + .当 = 时， = + = ， ∴ 点 的坐标为 , .
∵ 将点 , 向右平移2.5个单位得到点 ， ∴ = . .
△ 内部的整点有： , ， , ， , ， , ， , ， , .
在 = + 中，当 = 时， = .
∵ + = > . ， + = > . ， + = > . ，
∴ 当线段 沿直线 = + 向下平移时，线段 不扫过 △ 内部的整点： , ， , ， , .
在 = + 中，当 = 时， = .∵ + = < . ， + = > . ，
∴ 当线段 沿直线 = + 向下平移时，线段 扫过 △ 内部的整点 , ，不扫过 , ；
在 = + 中，当 = 时， = .∵ + = < . ，
∴ 当线段 沿直线 = + 向下平移时，线段 扫过 △ 内部的整点 , .
综上所述，当线段 沿直线 = + 向下平移时，线段 扫过 △ 内部的整点的坐标为 , ， , .
&12& 确定一次函数的图象与性质（10年3考）
1.（2016河北5题3分）若 ≠0 ， <0 ，则 = + 的图象可能是( )
B
A.&13& B.&14& C.&15& D.&16&
第2题图
2.（2014河北6题2分）如图，直线 经过第二、三、四象限， 的解
析式是 = 2 + ，则 的取值范围在数轴上表示为( )
C
A.&17& B.&18&
C.&19& D.&20&
第3题图
3.（2015河北14题2分）如图，直线 ： = 3 与直线 = （
为常数）的交点在第四象限，则 可能在( )
D
A. 1< <2 B. 2< <0 C. 3≤ ≤ 2 D. 10< < 4
4.创新考法 如图为用几何画板软件绘制的一次函数
= 2 +4 的图象与直线 =2 的交点情况，使用该软件可将
原坐标系的单位长度变大或变小.若要使一次函数 = 2 +4
的图象与直线 =2 在 ≥0 范围内有交点，则最大可将原坐标
系的 轴单位长度缩小为原来的_ _.
[解析] 联立 & = , & = + , 解得 & = , & = , ∴ 交点为 , .而直线 = + 与
轴的交点为 , .若让直线 = 在 ≥ 时与 = + 有交点，则在整个坐
标系中能看到 , 这一个点，而原坐标系中 = + 与 轴的交点为 , ，
因此最大可将原坐标系的 轴单位长度缩小为原来的 ，也就是 .
&21& 一次函数的综合应用（10年6考）
5.（2023河北25题12分）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点
, 移动到点 +2, +1 称为一次甲方式；从点 , 移动到点 +1, +2
称为一次乙方式.
例：点 从原点 出发连续移动2次：若都按甲方式，最终移动到点 4,2 ；若都
按乙方式，最终移动到点 2,4 ；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点
3,3 .
（1）设直线 1 经过上例中的点 ， ，求 1 的解析式，并直接写出将 1 向上平
移9个单位长度得到的直线 2 的解析式；
解：设 的解析式为 = + .
由题意，得
& + = , & + = ,
解得 & = , & = .
∴ 的解析式为 = + .
将 向上平移9个单位长度得到的直线 的解析式为 = + .
（2）点 从原点 出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到
点 , .其中，按甲方式移动了 次.
①用含 的式子分别表示 ， ；
解： ∵ 点 按照甲方式移动了 次，点 从原点 出发连续移动10次，
∴ 点 按照乙方式移动了 次.
∴ 点 按照甲方式移动 次后得到的点的坐标为 , ，
∴ 点 , 按照乙方式移动 次后得到的点的横坐标为
+ = + ，纵坐标为 + = ，
∴ = + ， = .
②请说明：无论 怎样变化，点 都在一条确定的直线上.设这条直线为 3 ，在图
中直接画出 3 的图象；
证明：
∵ + = + + = ，
∴ 直线 的解析式为 = + .
（3）在（1）和（2）中的直线 1 ， 2 ， 3 上分别有一个动点 ， ， ，横坐标
依次为 ， ， .若 ， ， 三点始终在一条直线上，直接写出此时 ， ，
之间的关系式.
解： ∵ 点 ， ， ，横坐标依次为 ， ， ，
∴ , + ， , + ， , + .
当 ≠ ≠ ， + ≠ + ≠ + 时，
设直线 的解析式为 = + .
由题意，得 & + = + , & + = + ,
解得 & = + , & = ,
∴ 直线 的解析式为 = + + .
∵ ， ， 三点始终在一条直线上，
∴ + + = + ，
∴ + = .
当 = = 时，可得 + = .
当 + = + = + 时，可得 + = .
综上所述， ， ， 之间的关系式为 + = .
6.（2022河北25题10分）如图，在平面直角坐标系中，线段
的端点为 8,19 ， 6,5 .
（1）求 所在直线的解析式；
解：设 所在直线的解析式为 = + ，
把 , ， , 代入，
得 & + = , & + = ,
解得 & = , & = .
∴ 所在直线的解析式为 = + .
（2）某同学设计了一个动画：
在函数 = + ≠0, ≥0 中，分别输入 和 的值，使得到射线 ，其
中 ,0 .当 =2 时，会从 处弹出一个光点 ，并沿 飞行；当 ≠2 时，只
发出射线而无光点弹出.
①若有光点 弹出，试推算 ， 应满足的数量关系；
[答案] 由题意可知若有光点 弹出，则 = ，
∴ , .
∴ 直线 = + 经过点 , ，
∴ + = .
②当有光点 弹出，并击中线段 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段
就会发光.求此时整数 的个数.
[答案] 线段 上的整数点有15个： , ， , ， , ，
, ， , ， , ， , ， , ， , ， , ，
, ， , ， , ， , ， , .
当射线 经过 , ， , 时， = + ，此时 = ，符合题意；
当射线 经过 , ， , 时， = + ，此时 = ，符合题意；
当射线 经过 , ， , 时， = + ，此时 = ，符合题意；
当射线 经过 , ， , 时， = ，此时 = ，符合题意；
当射线 经过 , ， , 时， = ，此时 = ，符合题意.
同理可得其他点都不符合题意.
综上所述，整数 的个数为5.
解法二：设线段 上的整数点为 , + ，则 + = + .
∵ + = ， ∴ = + ，
∴ = + = + .
∵ ≤ ≤ ，且 为整数， 也是整数，
∴ =± ， ± ， ± ，
∴ = ， = ； = ， = ；
= ， = ； = ， = ；
= ， = ；
= ， = （不合题意，舍去）.
综上所述，整数 的个数为5.
7.（2020河北24题10分）表格中的两组对应值满足一次函数
= + ，现画出了它的图象为直线 ，如图.而某同学为观察
， 对图象的影响，将上面函数中的 与 交换位置后得另一
个一次函数，设其图象为直线 ′ .
0
1
（1）求直线 的解析式；
解：由题意，得 & + = , & = ,
解得 & = , & = ,
∴ 直线 的解析式为 = + .
（2）请在图上画出直线 ′ （不要求列表计算），并求直线 ′ 被直线 和 轴所截线
段的长；
[答案] 依题意可得直线 ′ 的解析式为 = + .
联立 & = + , & = + ,
解得 & = , & = .
∴ 两直线的交点为 , .
∵ 直线 ′： = + 与 轴的交点为 , ，
∴ 直线 ′ 被直线 和 轴所截线段的长为
+ = .
（3）设直线 = 与直线 ， ′ 及 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点
对称，直接写出 的值.
[答案] 的值为 或7或 .
[解析] 把 = 代入 = + ，得 = + ，解得 = .把 = 代入
= + ，得 = + ，解得 = .分三种情况：①当第三点在 轴上时，
+ = ，解得 = ；②当第三点在直线 上时， × = ，解得
= ；③当第三点在直线 ′ 上时， × = ，解得 = .综上所述，
的值为 或7或 .
8.（2018河北24题10分）如图，在直角坐标系 中，一
次函数 = 1 2 +5 的图象 1 分别与 ， 轴交于 ，
两点，正比例函数的图象 2 与 1 交于点 ,4 .
（1）求 的值及 2 的解析式；
解：把 , 代入一次函数 = + ，得 = + ，
解得 = .∴ , .
设 的解析式为 = ，则 = ，解得 = .
∴ 的解析式为 = .
（2）求 △ △ 的值；
[答案] 如图，过点 作 ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，
则 = ， = .
在 = + 中，令 = ，则 = ；
令 = ，则 = ，
∴ , ， , ，
∴ = ， = ，
∴ △ △ = × × × × = .
（3）一次函数 = +1 的图象为 3 ，且 1 ， 2 ， 3 不能围成三角形，直接写
出 的值.
[答案] 的值为 或2或 .
[解析] 分析题意，得有三种情况：当 经过点 , 时， = ；当 ， 平行时， = ；当 ， 平行时， = .综上所述， 的值为 或2或 .
9.（2017河北24题10分）如图，在直角坐标系 中，
0,5 ，直线 = 5 与 轴交于点 ，直线
= 3 8 39 8 与 轴及直线 = 5 分别交于点 ， ，
点 ， 关于 轴对称，连接 .
（1）求点 ， 的坐标及直线 的解析式；
解：在直线 = 中，
令 = ，则 = ，解得 = .
∴ 点 的坐标为 , .
令 = ，则 = × = .
∴ 点 的坐标为 , .
∵ 点 ， 关于 轴对称， ∴ , .
∵ , ，
∴ 设直线 的解析式为 = + ，
∴ + = ， ∴ = .
∴ 直线 的解析式为 = + .
（2）设面积的和 = △ + 四边形 ，求 的值；
[答案] 由（1）知， , ， ∴ = .
∵ , ， ∴ = = ，
∴ △ = × = .
由题意知， = ， = ， = ，
∴ 四边形 = + × = .
∴ = △ + 四边形 = .
（3）在求（2）中 时，嘉琪有个想法：“将 △ 沿 轴翻折到 △ 的位置，
而 △ 与四边形 拼接后可看成 △ ，这样求 便转化为直接求 △
的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现 △ ≠ ，请通过计算解释他的
想法错在哪里.
[答案] 由（2）知， = .
在 △ 中， = ， = ，
∴ △ = × = = . ， ∴ ≠ △ .
理由：由（1）知，直线 的解析式为 = + ，
令 = ，则 = + ， ∴ = ≠ ，
∴ 点 不在直线 上，即点 ， ， 不在同一条直线上， ∴ △ ≠ .
10.（2013河北23题10分）如图， 0,1 ， 3,2 ， 4,4 .
动点 从点 出发，沿 轴以每秒1个单位长度的速度向上移
动，且过点 的直线 ： = + 也随之移动，设移动时间
为 秒.
（1）当 =3 时，求 的解析式；
解：直线 = + 交 轴于点 , .
由题意，得 > ， ≥ ， = + .
当 = 时， = ，
∴ 的解析式为 = + .
（2）若点 ， 位于 的异侧，确定 的取值范围；
[答案] 当直线 = + 过点 , 时，
= + ，解得 = ，
∴ = + ，解得 = .
当直线 = + 过点 , 时，
= + ，解得 = ，
∴ = + ，解得 = .
综上所述， 的取值范围是 < < .
（3）直接写出 为何值时，点 关于 的对称点落在坐标轴上.
[答案] 当 = 时点 关于 的对称点，落在 轴上；当 = 时，点 关于 的对称点落在 轴上.
[解析] 如图，过点 作 ⊥ 直线 ，交 轴于点 ，交 轴于
点 ，则点 ， 为点 在坐标轴上的对称点.过点 作 ⊥
轴于点 ，则 = ， = .已知 ∠ =∠ = ，
则 △ 与 △ 均为等腰直角三角形， ∴ = = ，
检测学习效果，请用《高分分层训练》第27-29页。祝你取得好成绩！

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