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2024年高考数学概率与统计知识点总结+大题跟踪训练
知识点总结
统计
1、总体分布的估计：⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（s 为标准差）
（1）、平均值：
（2）、
3、两个变量的线性相关概念:（1）回归直线方程：
（2）回归系数：，
（3）．应用直线回归时注意：回归分析前,最好先作出散点图；
概率
1、古典概型：⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：基本事件可列举；每个基本事件都是等可能发生
⑶概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则事件A发生的概率
2、几何概型：
⑴特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式： 。
3、概率的基本性质：
⑴必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；
⑵当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
⑶若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
跟踪训练
1．哈尔滨市，别称冰城，每年吸引大量游客前去旅游．某旅行社为了了解不同性别的人群去哈尔滨旅游的意愿，随机抽取了100名男性游客和100名女性游客，询问他们是否有意愿去哈尔滨旅游，得到如下的列联表．
　 有意愿 没有意愿 合计
男性游客 40 60 100
女性游客 80 20 100
合计 120 80 200
（1）判断是否有的把握认为有意愿去哈尔滨旅游与性别有关，并说明理由；
（2）对于这200名游客，按性别用分层随机抽样的方法从有意愿去哈尔滨旅游的游客中抽取6人，将这6人随机分成3组，这3组的人数为4，1，1，求4人组中男女人数相等的概率．附：，其中．
0.05 0.01 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
2． 下图是某市2016年至2022年生活垃圾无害化处理量y（单位：万吨）与年份t的散点图.
（1）根据散点图推断变量y与t是否线性相关，并用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2024年该市生活垃圾无害化处理量.
参考数据：
，，，.
参考公式：，；相关系数.
3．某校为了增强学生的安全意识，为学生进行了安全知识讲座，讲座后从全校学生中随机抽取了名学生进行笔试试卷满分分，并记录下他们的成绩，将数据分成组：，，，，，并整理得到如下频率分布直方图．
（1）求这部分学生成绩的众数与平均数同组数据用该组区间的中点值作代表；
（2）为了更好的了解学生对安全知识的掌握情况，学校决定在成绩高的第、组中用等比例分层抽样的方法抽取名学生，进行第二轮比赛，最终从这名学生中随机抽取人参加市安全知识竞赛，求分包括分以上的同学恰有人被抽到的概率．
4．在某数字通信中，信号的传输包含发送与接收两个环节。每次信号只发送0和1中的某个数字，由于随机因素干扰，接收到的信号数字有可能出现错误，已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为，；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为．假设每次 黒的传输相互独立．
（1）当连续三次发送信号均为0时，设其相应三次接收到的信号数字均相同的概率为，求的最小值；
（2）当连续四次发送信号均为1时，设其相应四次接收到的信号数字依次为，记其中连续出现相同数字的次数的最大值为随机变量（中任意相邻的数字均不相同时，令），若，求的分布列和数学期望．
5．某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
6．猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲 乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲 乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：
（1）甲 乙任选1个独立竞猜，求甲 乙恰有一人猜对的概率；
（2）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；
（3）甲 乙各任选2个独立竞猜，设甲 乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.
7．设离散型随机变量和有相同的可能取值，它们的分布列分别为，，，，，2，…，，.指标可用来刻画和的相似程度，其定义为.
设，.
（1）若，，求；
（2）若，，，2，3，求的最小值；
（3）对任意与有相同可能取值的随机变量，证明：，并指出取等号的充要条件.
8．杭州第19届亚运会，是继1990年北京亚运会 2010年广州亚运会之后，中国第三次举办亚洲最高规格的国际综合性体育赛事.2023年9月23日，杭州亚运会开幕式隆重举行.某电商平台亚运周边文创产品直播间，主播为当晚7点前登录该直播间的前名观众设置了两轮“庆亚运 送吉祥物”的抽奖活动.每轮抽奖都是由系统独立 随机地从这名观众中抽取15名幸运观众，抽中者平台会有亚运吉祥物玩偶赠送.而直播时这名观众始终在线，记两次抽奖中被抽中的幸运观众总人数为（幸运观众总人数不重复计数，例如若某幸运观众两次都被抽中，但只记为1人）.
（1）已知小杭是这前名观众中的一人，若小杭被抽中的概率为，求的值；
（2）当取到最大值时，求的值.
9．某城市的青少年网络协会为了调查该城市中学生的手机成瘾情况，对该城市中学生中随机抽出的200名学生进行调查，调查中使用了两个问题．
问题1：你的学号是不是奇数？
问题2：你是否沉迷手机？
调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋中摸取一个球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．
（1）如果在200名学生中，共有80名回答了“是”，请你估计该城市沉迷手机的中学生所占的百分比．
（2）某学生进入高中后沉迷手机，学习成绩一落千丈，经过班主任老师和家长的劝说后，该学生开始不玩手机．已知该学生第一天没有玩手机，若该学生前一天没有玩手机，后面一天继续不玩手机的概率是0.8；若该学生前一天玩手机，后面一天继续玩手机的概率是0.5．
（ⅰ）求该学生第三天不玩手机的概率P；
（ⅱ）设该学生第n天不玩手机的概率为，求．
10．杭州亚运会男子乒乓球团体赛采用世界乒乓球男子团体锦标赛（斯韦思林杯）的比赛方法，即每队派出三名队员参赛，采用五场三胜制.比赛之前，双方队长应抽签决定A、B、C和X、Y、Z的选择，并向裁判提交每个运动员分配到一个字母的队伍名单。现行的比赛顺序是第一场A对X；第二场B对Y；第三场C对Z；第四场A对Y；第五场B对X.每场比赛为三局两胜制.当一个队已经赢得三场个人比赛时，该次比赛应结束。
已知在某次团队赛中，甲队A、B、C三位选手在每场比赛中获胜的概率均为如下表所示，且每场比赛之间相互独立
场次 第一场 第二场 第三场 第四场 第五场
获胜概率
（1）求最多比赛四场结束且甲队获胜的概率；
（2）由于赛场氛围紧张，在教练点拨、自我反思和心理调控等因素影响下，从第二场开始，每场比赛获胜的概率会发生改变，改变规律为：若前一场获胜，则该场获胜的概率比原先获胜的概率增加0.2；若前一场失利，则该场获胜的概率比原先获胜的概率减少0.2.求已知A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：根据列表中的数据，可得
所以有的把握认为有意愿去哈尔滨旅游与性别有关．
（2）解：按照分层抽样，男性抽取2人，记为，女性抽取4人，记为．
记“4人组中男女人数相等”为事件，则事件等价于“两个单人组都为女性游客”．
两个单人组成员的所有情况有，共15种．
事件包含这6种．
所以．
2．【答案】（1）解：根据散点图推断变量y与t线性相关，说明如下：
由题意得，
，
，
故，
由y与t的相关系数约为0.97表明，y与t线性相关，相关程度相当高；
（2）解：由以及（1）可得，
则，
故y关于t的回归方程为，
将2024年对应的年份代码代入回归方程得
故预测2024年该市生活垃圾无害化处理量约为1.84万吨.
3．【答案】（1）解：众数为最高的小矩形的组中值：，
平均数为：；
（2）解：根据等比例分层抽样的方法抽取的名学生，有人，有人，
设四人编号为，，，，两人编号为，．
则所有抽取结果：，，，，，，，，，，，，，，，共个结果．
其中“分包括分以上的同学恰有人”所包含结果有：
，，，，，，，，共种结果，
所以“分包括分以上的同学恰有人”的概率为．
4．【答案】（1）解：由题可知，
因为，所以当时，的最小值为．
（2）解：由题设知，的可能取值为1，2，3，4．
①当时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，
，
②当时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，
，
③当时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此，，
④当时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，
．
所以的分布列为
1 2 3 4
因此，的数学期望．
5．【答案】（1）解：，
，
，
.
（2）解：依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
6．【答案】（1）解：设“甲猜对一个灯谜”，“乙消对一个灯谜”，
则
因为甲 乙恰有一人猜对的事件为，
所以
所以，甲 乙恰有一人猜对的概率为.
（2）解：设“甲猜对两道题”，“甲中奖”，
则
所以，甲同学抽中新春大礼包的概率.
（3）解：由（1）知.
易知甲 乙猜对灯谜的个数之和的可能取值为.
则
所以的分布列为
0 1 2 3 4
因此，的数学期望

7．【答案】（1）解：不妨设，则，.
所以
.
（2）解：当时，，，.
记，
.
设，，单调递增.
而，所以在为负数，在为正数，在单调递减，在单调递增，的最小值为.
（3）解：当时，，所以，即.
故，
当且仅当对所有的，时等号成立.
8．【答案】（1）解：记“小杭被抽中”为事件，“小杭第次被抽中”为事件.
.
解得
（2）解：，
记.由
解得，又，
所以时取最大值.
9．【答案】（1）解：设“回答问题1”记为事件，“回答问题2”记为事件，回答“是”记为事件，则，，
因为
所以，
即该城市沉迷手机的中学生所占．
（2）解：（ⅰ）
（ⅱ）由题意知，第天不玩手机的概率是，第天玩手机的概率是，
所以
即
所以
是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即
10．【答案】（1）解：设事件表示甲队第场比赛获胜
（2）解：设事件表示第一场甲获胜，事件A表示甲以3：1获胜，则
所以A第一场获胜的条件下甲队最终以3：1赢得比赛的概率为
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