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2024年高考数学函数概念与性质知识点总结+大题跟踪训练
知识点总结
一、函数的奇偶性
1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域）
2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形；
（2）偶函数的图象关于y轴成轴对称图形；
（3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；
（4）如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
二、函数的单调性
1、定义：对于定义域为D的函数f ( x )，若任意的x1, x2∈D，且x1 < x2
① f ( x1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数
② f ( x1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x1 ) – f ( x2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数
2、复合函数的单调性:同增异减
跟踪训练
1．已知函数．
（1）若恒成立，求a取值范围；
（2）若的最大值为M，正实数a，b，c满足：，求的最大值．
2．已知函数满足．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
3．已知函数．
（1）当时，求的最值；
（2）若恒成立，求实数的取值范围；
（3）若函数存在两个极值点，求的取值范围.
4．已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）若，求的值；
（3）求证：.
5．已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③.
（1）从中选择的两个条件的序号为　 　，依所选择的条件求得　 　，　 　.
（2）在（1）的情况下，关于的方程在上有两个不等实根，求的取值范围.
6．已知函数.
（1）若，判断函数的单调性，并说明理由；
（2）若时，恒成立.
（i）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：，.
7．已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）讨论函数的零点个数.
8． 已知函数．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若不等式对恒成立， 求的取值范围．
9． 已知函数，．
（1）求函数的最小值；
（2）设，求证：．
10．已知函数，..
（1）若曲线在点处的切线的斜率为3，求的值；
（2）当，函数有两个不同零点，求m的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：
当 时，
即
故 的取值范围为 [2，3]
（2）解：由(1)知： . 即
法 1：
当且仅当 ， 即 时等号成立
的最大值为 6 .
法 2：（柯西不等式）
当且仅当 ， 即 .
的最大值为 6.
2．【答案】（1）解：因为，定义域为，得
令，则，当，得，
当，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间．
（2）解：由题意在区间上恒成立，即恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，只需
因，令，，
有，
所以函数在上单调递减，所以，即，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以实数a的取值范围为．
3．【答案】（1）解：当时，，，
当时，，递减，当时，递增.
所以有极小值，也是最小值，无最大值.
（2）解：恒成立，恒成立，恒成立，
设，则，令，则，
单调递增，单调递减
；
（3）解：由题意，
因为在两个极值点，则是方程的两个不等正根，
，，
则，
，，
显然是关于的减函数，
的取值范围是.
4．【答案】（1）解：当时，，，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值；
（2）解：由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以，
记，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
又，
所以，
所以；
（3）解：由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以，
记，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，
又，
所以，
所以；
证明：先证，
设，则，
所以在区间上单调递减，
所以，即，
所以，
再证，
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，，，
累加可得，
所以.
5．【答案】（1）①②；；0
（2）解：由（1）可得，
由，则，
即，
令，因为，所以，
则问题转化为在上有两个解，
显然，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
要使在上有两个解，则，
所以的取值范围是.
6．【答案】（1）解：函数的定义域为，
当时，，
.
所以函数在上单调递增.
（2）解：（i）.
当时，，所以，满足题意；
当时，令，
则，在上单调递减，
所以当时，，即，单调递减，
所以，不符合题意.
综上，实数的取值范围是.
（ii）由（i）可知对时恒成立.
令，则，则有.
取，有
即.
7．【答案】（1）解：由函数，可得对恒成立，
当时，显然成立；当时，；当时，，
令，则，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
当时，可得，当时，，
所以当时，；当时，，
综上可得，实数的取值范围是.
（2）解：由（1）可知，当时，有一个零点；
当时，在上单调递增，当x趋于0时，趋于负无穷大，且，故只有一个零点.
当时，.令，则，
时，；时，，
可得在上单调递减，在上单调递增，.
当x趋于0时，因为趋于0，所以趋于正无穷大，
又因为，所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，，所以当时，在只有一个零点；
当时，在上单调递减，，
且x趋于正无穷大时，，所以存在，使得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又当x趋于0时，趋于负无穷大，，
所以当时，，当时，.
故当时，无论k为何值，取，总能有，
所以当时，有两个零点，
综上所述，当时，有两个零点；当时，有一个零点.
8．【答案】（1）解：，
的定义域为．
①当 即时，在上递减，在上递增，
②即时，在和上递增， 在上递减.
（2）解：设，
设 ， 则
在上递增，的值域为，
①当 时，为上的增函数，
， 适合条件．
②当 时，不适合条件．
③当 时， 对于，
令， 存在，
使得 时，在上单调递减，
，
即在 时，不适合条件．
综上， 的取值范围为．
9．【答案】（1）解：由题设，而在、、上均能取到最小值，
对于在上递减，上为常数，上递增，且连续，
所以的最小值在上取得，即时，最小值为.
（2）解：由，仅当取等号，
要证，即证，则，
需证，而，即，
10．【答案】（1）解：因为
所以，即
（2）解：，即
当时，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
，，；
所以，即
（3）解：因为(x)对恒成立，
即对恒成立.
设，其中，
所以，
，
设，其中，则，
所以，函数在上单调递增.
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，当时，，数函单调递增，所以.
因为，则，
由（2）得，当时，在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，
所以，可得，
所以，所以.
所以实数a的取值范围为.1
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