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2024年高考数学三角函数知识精讲+大题预测
知识精讲：
同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．(2)商数关系：tan α＝
三角函数的诱导公式
组数 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α
余弦 cos α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α
正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调性 在 (k∈Z)上是递增函数， (k∈Z)上是递减函数 在[2kπ－π2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数 在(k∈Z) 上是递增函数　　　　
周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π
对称性 对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是 (k∈Z) 对称中心是(k∈Z)
大题预测：
1．设.
（1）若，求；
（2）证明：；
（3）若，求实数的取值范围.
2．记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
（1）若，求的面积；
（2）若，求.
3．在中，内角的对边分别为，，，且，，.
（1）求角及边的值；
（2）求的值.
4．已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．
（1）求的单调递减区间；
（2）若，求的值．
5．在中，a、b，c分别是角A、B、C的对边，且．
（1）求角A的大小；
（2）若是方程的一个根，求的值．
6．如图，在中，点在边上，且.已知.
（1）求A；
（2）若的面积为，求.
7．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且．
（1）求的值；
（2）若，证明：．
8．在⑴；⑵；⑶这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在中，内角的对边分别为，且满足 ▲ .
①求角；
②若的外接圆周长为，求边上的中线长.
9．设函数，从条件①、条件②、条件③ 这三个条件中选择一个作为已知．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为；
条件③：函数的图象的一条对称轴为．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最小值．
10．已知函数在区间上恰有3个零点，其中为正整数.
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，求函数的单调区间.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：
；
（2）证明：先证当时，.
令，则在时恒成立，
在上单调递增，，
即当时，.
要证，只需证明，即证
令，，则.
（或）
当且仅当时等号成立，而，
在在上单调递增，，即
当时，.
（3）解：令，，则，，
令，则在上单调递减，，，
而，在上递减，在上递增
的值域为
（I）当，即时，恒成立，所以在递增，
，符合题意；
（II）当，即时，，存在使得
当时，，递减，此时，矛盾，舍.
综上知，.
2．【答案】（1）解：在中，由正弦定理可知：
可化为：
故可得：，代入可得：
所以，故（*）
在中，由余弦定理可得：
代入数据和（*）式可得：
所以三角形面积为：
故三角形的面积为.
（2）解：因为且，故
代入可得：
因此
化简可得：
情况一：当时，
所以可得：，化简可得：
在中，由正弦定理可得：
情况二：当时，
同理可得：，又因为，故
故的值为.
3．【答案】（1）解：因为，由余弦定理得，
因为，所以，
因为，，所以，
由正弦定理得，即，解得；
（2）解：由（1）得，
，
.
4．【答案】（1）解：由
，
因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，
所以，可得，
令，，
解得，，
即的单调递增区间为，.
（2）解：由，可得，
因为，可得，所以，
所以.
5．【答案】（1）解：∵，
∴，即，
∴，
又∵三角形内角，
∴
（2）解：等价于，解得或；
∵，∴，∴，
∴
6．【答案】（1）解：因为，
可得，
又因为，所以.
（2）解：作，垂足为，
在中，因为，可知为等腰直角三角形，
又因为，则，
由的面积为，解得，可得，
所以.
7．【答案】（1）解：在锐角中，，
已知，即，得，
在中，由余弦定理得，则有，
由，得，
又，且，解得，，
所以.
（2）解：，，，由正弦定理，
则有，，
，，
，
其中，，，
，，
则有，，即，
锐角中，，所以，则，
即，有，
又，则，
所以，即.
8．【答案】解：选⑴；
①则，
所以，而，则，
所以；
②由，则，故，，即，
结合①易知：为顶角为的等腰三角形，如下图，是中点，
的外接圆周长为，若外接圆半径为，则，
所以，而，
所以，
则，即求边上的中线长为.
选⑵：因为 ，则，
可得，且，所以 ；
选 ⑶ ：因为 ，
由正弦定理可得，
则，
可得，
可得，且，所以 .
9．【答案】（1），
若选①，
，即，
所以，解得，
又注意到，
所以只能，此时函数的解析式为；
若选②，
因为函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，
所以函数的半个周期就是，
即，解得，满足题意，
所以此时函数的解析式为；
若选③，
因为函数的图象的一条对称轴为，
所以，解得，
又注意到，
所以只能，此时函数的解析式为；
综上，从条件①、条件②、条件③中随便选取一个作为已知，函数的解析式均为.
（2）由（1）可知，总有，
当时，有，
因为函数在单调递增，在单调递减，
所以在区间上的最小值为.
10．【答案】（1）解：由，得，
因为函数在区间上恰有3个零点，
于是，解得，而为正整数，因此，
所以.
（2）解：由（1）知，，
由，得，即有，
因此，
由，解得，
所以函数的单调减区间为.
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