资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2024年高考数学椭圆知识点总结+大题跟踪训练
知识点总结
定义 平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 且 且
顶点 、 、 、 、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点 、 、
焦距
关系
离心率
焦点三角形面积
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
弦长公式 ，
跟踪训练
1．已知椭圆的焦距为2且过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
2．已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）椭圆E的上、下顶点分别为M，N，点若直线PM，PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
3．已知O为坐标原点，M是椭圆上的一个动点，点N满足，设点N的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程．
（2）若点A，B，C，D在椭圆上，且与交于点P，点P在上．证明：的面积为定值．
4．已知椭圆：的左焦点为，为曲线：上的动点，且点不在轴上，直线交于，两点.
（1）证明：曲线为椭圆，并求其离心率；
（2）证明：为线段的中点；
（3）设过点，且与垂直的直线与的另一个交点分别为，，求面积的取值范围.
5．已知椭圆的短轴长为，左顶点到左焦点的距离为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图所示，点是椭圆的右顶点，过点的直线与椭圆交于不同的两点，且都在轴的上方，点的坐标为.证明：.
6．如图，椭圆的四个顶点为A，B，C，D，过左焦点且斜率为k的直线交椭圆E于M，N两点．
（1）求四边形的内切圆的方程；
（2）设，连结，并延长分别交椭圆E于P，Q两点，设的斜率为．则是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
7．设椭圆，是上一个动点，点，长的最小值为．
（1）求的值：
（2）设过点且斜率不为0的直线交于两点，分别为的左、右顶点，直线和直线的斜率分别为，求证：为定值．
8． 设椭圆的左右顶点分别为，左右焦点.已知，.
（1）求椭圆方程.
（2）若斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点.若，求直线的方程.
9．已知椭圆的一个顶点为分别是椭圆的左 右焦点，且离心率，过椭圆右焦点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若，（为原点），求直线的方程；
（3）过原点作直线的垂线，垂足为P，若，求的值.
10．已知椭圆与椭圆有相同的离心率，椭圆焦点在轴上且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为椭圆的上顶点，经过原点的直线交椭圆于，直线AP、AQ与椭圆的另一个交点分别为点和，若与的面积分别为和，求取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设椭圆的左右焦点为，
由焦距为2可得，①
由椭圆过点可得②，
由①②可得，
所以椭圆C的方程为；
（2）解：设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，
所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
，
即，
所以直线AD恒过点．
2．【答案】（1）解：由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为，焦距为，
所以周长为，即，
因为左焦点，所以，，
所以，
所以椭圆E的标准方程为
（2）证明：由题意知，，直线斜率均存在，
所以直线，与椭圆方程联立得，
对恒成立，
则，即，则，
同理，，
所以，
所以直线方程为：，
所以直线过定点，定点坐标为
3．【答案】（1）解：设，则，
因为，
所以，
所以，
即曲线的方程为；
（2）证明：设，则，
由，可知A，B分别为的中点，
所以，
则，作差可得．
因为，
所以，
同理，
所以C，D都在直线上，
联立，可得，
即，
点P到直线的距离，
所以的面积为，
即的面积为定值．
4．【答案】（1）解：曲线：，整理得，
，即，
故曲线可由向左平移2个单位得到，故曲线为椭圆，
其中，离心率为；
（2）由题意得，即，
设，则，两式相减得，
因为点不在轴上，故直线的斜率存在且不为0，
故，所以，
设的中点为，则，
，故，
设，则，
则，又，
则，
故，而直线AB不过原点，且H，P在直线AB上，
即重合，为线段的中点；
（3）解：由题意得四边形为直角梯形，设直角梯形的面积为，又为的中点，如图所示：
所以，则，
设直线的方程为，与联立得：，
设，则，
则
，
直线方程为，联立得：，
即，
设，由图形可得，则，故，
故，
同理可得，
故
，
又，
故，
故，
由于分母最高次为次，分子最高次为次，且恒成立，
故随着的增大，趋向于0，
当时，，故，
则.
5．【答案】（1）解：依题意得
解得.
椭圆的标准方程为.
（2）证明：直线过点，与椭圆交与不同的两点.且都在轴上方.
直线的斜率存在且不为0，设直线方程为.
联立方程可得.
设，则.
又
.
.
.
6．【答案】（1）解：显然四边形 ABCD 为菱形， 故其内切圆以 O 为圆心，半径r为 O到直线AD的距离
又由 得直线 A B 的方程为：
故原点到直线 A B 的距离
故四边形ABCD内切圆的标准方程为：
（2）解：由题意可知 ， 故 M N 方程为：
设
则直线 M P 的方程为：
联立 得：
又 在椭圆 上， 故 ， 即
代入 (*) 式整理得：
显然
故
同理：
故 ， 即
所以： 存在常数 满足题意
方法二：
由题意可知 ， 故 M N 方程为：
设
设
得：
由①-② 得：
将 带入上式得： 即：
又
设 ， 同理可得：
故 ， 即
所以： 存在常数 满足题意
7．【答案】（1）解：依题意，椭圆的焦点在轴上，设焦距为，
设，则，而，
则，
而，则，即，因此，
由，得当时，，
即，化简得，又，解得，
所以．
（2）解：由（1）知，椭圆的方程为，点，
设，则，即，
斜率不为0的直线过点，设方程为，则，
由消去并整理得，显然，
则，即有，
因此，所以为定值.
8．【答案】（1）解：由题意，，，解得，，，
所以椭圆方程为.
（2）解：设直线为，，，由题意，以为直径的圆的方程为，则圆心到直线的距离，即，
所以，
由，消去，整理得，
，解得，又，所以，
，，
，
因为，所以，解得，又，所以，
所以直线的方程为：或.
9．【答案】（1）解：因为椭圆焦点在轴上且经过点，所以，
又因为，所以，又，
解得，
所以椭圆方程为；
（2）解：如图所示，
由（1）知，所以直线，设，
联立，可得，
易得，所以，
所以，
而，
解得，
所以直线方程为或者；
（3）解：如图所示，
过作交于点，所以为点到直线的距离，
即，所以，
又
，
所以，
所以.
10．【答案】（1）由题意知椭圆的离心率为，故椭圆的离心率也为，
设椭圆的方程为，则，
即，将代入得，
则椭圆的方程为；
（2）由于为椭圆的上顶点，故，
不妨设在第一象限以及轴正半轴上，，则，则，
故
由题意知直线AP存在斜率，设其方程为，
则AQ的直线方程为，
联立直线AP和椭圆的方程，整理得，
解得，即；
联立直线$AP$和椭圆的方程，整理得，
解得，即；
故，同理可求得，
所以，
设，则，
而，
由于，故在时单调递减，
即，
故，即.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑