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2024年河南省中招第一次模拟考试试卷
数学
注意事项：
1.本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟.
2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效.
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1.下列各数中，比小的数是（ ）
A. B. C. D.0
2.杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
3.芯片制造过程中，需要在芯片表面上沉积各种薄膜层，如金属、绝缘体和半导体.单位“埃”被用来描述薄膜的厚度，符号为“”.已知，即纳米的十分之一.若将“”用科学记数法表示为，则（ ）
A.8 B. C.9 D.
4.下列等式，成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5.在“三角尺拼角”实验中，小聪把一副三角尺按如图所示的方式放置，则的度数为（ ）
A.60° B.65° C.75° D.85°
6.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ）
A.0 B. C. D.
7.如图，是半圆的直径，、是半圆弧上两点，若，则的度数为（ ）
A.138° B.148° C.132° D.122°
8.根据高考综合改革实施方案，河南2025年首届新高考，实行“”模式.其中“3”指的是语文、数学、外语三科必考科目，“1”指的是在物理和历史中任选一科，“2”指的是在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，若小明在思想政治、地理、生物和化学中任选两科，则选中思想政治和化学的概率是（ ）
A. B. C. D.
9.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用.如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点，水平方向为轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动60°，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种食品的说明书上标明保存温度是，请你写出一个适合该食品保存的温度：______℃.
12.若点在第二象限，则的取值范围是______.
13.香港国际六人板球赛（Hong Kong Internmtionml Cricket Sixes），是国际板球赛一大盛事.在一次比赛中，甲、乙两支板球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是______队.（填“甲”或“乙”）
14.如图，平行四边形的对角线、交于点，且，以为圆心，分别以、的长为半径画弧交对角线于点、，若，，则图中阴影部分的面积为______.
15.如图，正方形中，，为边的中点，连接、，为边上一动点，将沿翻折，如果点的对应点恰好落在的边上，则线段的长是______.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16.（10分）（1）计算：；
（2）化简：.
17.（9分）豫剧，是中国五大戏曲剧种之一、中国第一大地方剧种，是主要流行于河南省、河北、山东，传承已有上百年的历史，被西方人称赞是“东方咏叹调”“中国歌剧”等.某校为了解七、八年级学生对豫剧文化的了解程度，组织了一次豫剧文化知识测试，七、八年级各抽取10名学生参加比赛，现对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用（分）表示），共分成四个等级（：，：，：，：.下面给出了部分信息：
七年级参赛的学生等级的成绩为：92、92、93、94
八年级参赛的学生等级的成绩为：95、95、95、97、100
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表：
班级 平均分 中位数 众数
七年级 92 92
八年级 92 94
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：______，______；
（2）七年级参赛学生成绩扇形图中等级的圆心角度数是______；
（3）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是93分，于是小明说：“我在七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次.”你同意小明的说法吗？并说明理由.
18.（9分）如图，在中，，点在上，且，连接.
（1）请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中所作的垂线交边于点，连接.求证：.
19.（9分）儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢.某数学兴趣小组周末到空旷的草地上放风筝，并利用所学知识测量风筝的高度.如图，在处用测角仪测得风筝的仰角为45°，保持风筝不动，沿方向前进到达处，又测得风筝的仰角为58°.已知测角仪的高度为.求风筝的高度（结果精确到.参考数据：，，）.
20.（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，其中的坐标为.是以点为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接，为的中点.
（1）求直线和双曲线的解析式；
（2）求线段长度的最小值.
21.（9分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史.中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易 .国家“双减”政策实施后，某校为参加社团的同学去商场购买中国象棋和围棋.其中购买40副象棋和20副围棋共花费2600元，已知购买1副象棋比1副围棋少花10元.
（1）求每副象棋和围棋的单价；
（2）随着社团活动的开展和同学们对棋类运动的热爱，学校决定再次购买40副围棋和（）副中国象棋，在购买时，恰逢商场推出了优惠活动，活动的方案如下：
方案一：购买围棋超过20副时，超过部分每购买1副围棋赠送1副中国象棋；
方案二：按购买总金额的八折付款.
分别求出按照方案一、二购买的总费用、关于的函数关系式；
（3）若选择方案二购买更合算，求的取值范围.
22.（10分）某公园要在小广场上建造一个喷泉景观如图1，在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图2所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到离地面的最大高度2.25米.
图1 图2 图3 图4
（1）以点为原点建立如图3所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出水流在第一象限内的抛物线解析式（不要求写自变量的取值范围）；
（2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，请求出的取值范围；
（3）为了美观，在离花形柱子4米的地面、处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所示，光线交汇点恰好在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离.
23.（10分）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“两个相似矩形的平移”为主题探究线段之间的数量关系：如图，矩形与矩形相似，其中，，点、在直线上，且点、、、在直线的同侧，矩形沿直线左右平移，为的中点，直线与直线相交于点（点、不重合），直线与直线相交于点（点、不重合），试探究与之间的数量关系.
【操作判断】
（1）如图1，平移矩形，当，点、重合时，线段与之间的数量关系是______.
【迁移探究】
（2）继续平移矩形，对任意正数，（1）中的判断是否都成立，请就图2的情形说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，若，，，平移矩形，连接交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长.
图1 图2 图3
数学参考答案
一、选择题
1. A 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A 7. C 8. B 9. B 10. C
二、填空题
11.25（答案不唯一） 12. 13.甲 14. 15.1或.
三、解答题
16.解：（1）原式.
（2）原式.
17.解：（1）92.5，95；（2）108°；
（3）同意小明的说法.
理由如下：因为小明的成绩高于他所在年级参赛小队的中位数，而小亮的成绩低于他所在年级参赛小队的中位数，所以小明七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次.
18.（1）解：如图，即为所求，正确作图
（2）证明：∵，，
∴（等腰三角形“三线合一”），
又∵，∴，
∴，∴.
19.解：如图，延长交于点.
由题可知，.设.
在中，，，∴.
在中，，，
∴.
∴.∴.
由题可知，.∴.
答：风筝的高度为.
20.解：（1）将点代入直线与双曲线得，
，∴，
∴直线和双曲线的解析式分别是和；
（2）连接，∵，，∴，
连接
∵为的中点，为的中点，∴为的中位线，
∴，
当过圆心时，取最小值为，
∴长度的最小值为2.
21.解：（1）设每副象棋的价格是元，每副围棋的价格是元，
根据题意得：解得：
答：每副象棋的价格是40元，每副围棋的价格是50元；
（2）根据题意得：；.
（3）若选择方案二购买更合算，则，
解得：，即的取值范围是.
22.解：（1）根据题意，在第一象限内抛物线的顶点坐标是，
设抛物线解析式为，代入点，得
则，解得，
∴在第一象限内的抛物线解析式为；
（2）当时，有，
解得：，，
∴的取值范围是.
（3）由于对称性，故只考虑轴的右侧的情形：
∵，
∴设第一象限内抛物线上的点坐标为
过点作直线于点，交于点，
则坐标为，
故
∵，∴最小值为0.5，
即光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为0.5米.
23.解：（1）；
（2）成立.
理由：∵，∴，，
∵为的中点，∴，
∵四边形和四边形都是矩形，
∴.
∴，∴，
∴，∴，即.
同理，.
∴.
如图2，
图2
∵，，
，
∴，∴.
∴对任意正数，都成立.
（3）的长为3或5.

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