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第五单元 解决问题的策略
一、用画线段图的策略解决和差问题
1、画线段图表示题中的条件和问题能使数量关系更直观、更清楚;看线段图分析数量关系，容易找到解题方法;解答完成后,把得数代入原题检验,要符合所有已知条件。
2、和差问题用数量关系表示:(和+差)÷2=大数，(和-差)÷2=小数。
二、用画示意图的策略解决有关面积计算的问题
1、在解决一些较抽象和复杂的问题时,要根据题目的条件和问题逐步画出示意图,要把条件和问题都在图中表示清楚。
（1）解决长一定，宽增加或宽一定，长增加
a.宽增加，长一定，增加的面积应该用原来的长乘增加的宽来求。
b.长增加，宽一定，增加的面积应用原来的宽乘增加的长来求。
（2）长和宽都未知
当长和宽都未知时，要将题目的条件适当补充详细，也可根据条件画出两种变化示意图。还可以先画图表示原来的长方形，再在这个长方形的基础上独立画出增加的部分，并在图中标出相关的条件和问题。
一、选择题
1．苹果树有（ ）棵。
A．44 B．64 C．72
2．将一个长方形的宽增加5米，面积增加75平方米；长增加3米，面积增加27平方米。原来长方形的面积是（ ）平方米。
A．48 B．135 C．102 D．150
3．要求故事书的总页数，小丽画了一幅线段图来表示已知的条件（如下图）。从图中可以得出故事书的总页数是（ ）页。
A．48 B．46 C．50 D．52
4．给一块长方形菜地围上篱笆，篱笆总长80米，菜地的长边比短边长10米，长边是（ ）米。
A．10 B．15 C．25
5．两个同样大的长方形，第一个长方形的长减少4米，宽不变；第二个长方形的宽减少4米，长不变。变化后两个长方形的面积相比（ ）。
A．第一个大 B．第二个大 C．两者面积相等
6．小欢有故事书的本数是小乐的3倍，如果小欢送给小乐12本，他俩的故事书就一样多，小欢有（ ）本故事书。
A．12 B．24 C．36
7．学校健美操队员排成6×6的方阵（每列6人，有6列），如果想增加两行、两列，排成一个8×8的方阵，那么需要增加（ ）人。
A．38 B．28 C．18
8．王奶奶家的院子里养了一些鸡、鸭和鹅。观察下图，你可以获得的正确信息是（ ）。
A．鸡和鸭的只数都是鹅的2倍
B．把鹅的只数看作1倍数，它的5倍就是鸡、鸭、鹅的总数
C．总数22只减去2只鸡，这时，鸡和鸭的总只数正好是鹅的4倍
二、填空题
9．如左图，如果把正方形的一组对边增加5米，那么面积就增加80平方米，原来正方形的面积是( )平方米。
10．小红和小明一共有98枚邮票，如果小红给小明20枚邮票，两人的邮票就一样多，小红原来有( )枚邮票，小明原来有( )枚邮票。
11．如图，一块正方形菜地，如果边长都增加5米，面积将比原来增加875平方米。菜地原米的周长是( )米，面积是( )平方米。

12．甲仓库存粮是乙仓库的3倍。如果从甲仓库运12吨去乙仓库，两个仓库的存粮就一样多。原来甲仓库存粮( )吨，乙仓库存粮( )吨。
13．学校新增5套课桌椅（一张课桌和一把椅子为一套），一共用去840元，每张课桌比每把椅子贵32元。一张课桌( )元，一把椅子( )元。
14．如图，正方形的一组对边各增加4厘米，它的面积就增加了24平方厘米，原来正方形的面积是( )平方厘米。
15．小明和小林一共有180张邮票，小林送给小明30张，两人邮票数就同样多。小明原有( )张，小林原有( )张。
16．甲筐西红柿的质量是乙筐的5倍。如果从甲筐中拿出80千克放入乙筐，那么两筐西红柿的质量相等。原来甲筐有西红柿( )千克，乙筐有西红柿( )千克。
三、判断题
17．一个表演方阵，排成7行，每行7人，最外圈有24人。( )
18．甲乙两人的邮票数同样多，如果甲给乙18张后，甲比乙少36张。 ( )
19．一个长8厘米、宽6厘米的长方形，长和宽同时增加2厘米，面积就增加28平方厘米． ( )
20．姐妹俩一共有20块糖果。姐姐给妹妹3块，姐妹俩的糖果就一样多。（20＋3）÷2表示姐姐原来有多少块糖果。( )
四、计算题
21．看图列式计算。
22．看图列式解答。
五、解答题
23．李华有一张宽30厘米的长方形彩纸，她从这张彩纸上裁下一个最大的正方形做小旗，剩下彩纸的周长是84厘米。剩下彩纸的面积是多少平方厘米？（先画一画，再解答。）
24．（如图）有一块边长是18米的正方形花圃，沿着花圃的四周向外修了一条2米宽的小路，小路的面积是多少平方米？
25．世纪公园原来有一块长方形草坪，长60米，宽40米。进行绿化改造时，草坪的长增加了10米，宽也增加了10米。这块长方形草坪的面积增加了多少平方米？
26．3月12日植树节，实验小学四、五年级共植树206棵，五年级比四年级多植树26棵。四、五年级各植树多少棵？（先把已知条件在线段图上表示出来，再解答

27．把一根长190米的绳子截成3段，第二段比第一段长25米，第三段比第一段短15米。三段绳子分别长多少米？（把线段图补充完整，再解答）
28．小宁和小华一共有86本故事书，小华给小宁8本后，两人的故事书本数同样多。两人原来各有故事书多少本？（先画图再解答）
29．小明妈妈买了苹果、香蕉、芒果3种水果。一共用去360元。已知买芒果比苹果多用去20元。买香蕉比苹果少用35元，三种水果各用去多少元？（先画图表示题中的数量关系，再解答）
参考答案
1．B
【分析】根据题图可知，苹果树和梨树一共有108棵，苹果树比梨树多20棵， 也就是梨树棵数的2倍再加20棵等于108棵，所以梨树的棵数列式为：（108－20）÷2，苹果树的棵数＝梨树的棵数＋20棵，据此计算即可。
【详解】梨树的棵数：（108－20）÷2
＝88÷2
＝44（棵）
苹果树的棵数：44＋20＝64（棵）
故答案为：B
2．B
【分析】依题意，结合所学知识分析如下：
已知原来长方形的宽增加5米，长不变，面积增加75平方米，据此可以求出原来长方形的长；原来长增加3米，宽不变，面积增加27平方米，据此可以求出原来长方形的宽。最终可以得出原来长方形的面积。
【详解】依题意，解答如下：
原来长方形的长：75÷5＝15（米）
原来长方形的宽：27÷3＝9（米）
原来长方形的面积为：15×9＝135（平方米）
故答案为：B
【分析】本题考查学生对长方形面积的计算，学生能够在变化中发现不变的量是解答的关键。
3．A
【分析】根据题图可知，表示这本故事书总页数的一半的线段与表示24页的线段长度相等，就表示这本故事书总页数的一半是24页，再乘2，即可求出这本故事书总页数。
【详解】24×2＝48（页）
故事书的总页数是48页。
故答案为：A
【分析】本题关键是正确理解线段图中表示的条件，再列式解答。
4．C
【分析】菜地长加宽的和为80÷2＝40（米），40加10的和除以2等于长边，据此即可解答。
【详解】（80÷2＋10）÷2
＝（40＋10）÷2
＝50÷2
＝25（米）
长边是25米。
故答案为：C
【分析】先计算出长加宽的和，再根据和差问题解题方法进行解答。
5．A
【分析】原来两个长方形的面积相等，第一个长方形面积减少了4×宽，第二个长方形面积减少了4×长。长方形的长比宽大，则第二个长方形面积减少的多，剩下的面积少。据此解答。
【详解】长＞宽，则4×长＞4×宽。
则第二个长方形的面积减少的多，剩下的少。也就是变化后两个长方形的面积相比，第一个长方形的面积大。
故答案为：A
【分析】本题考查长方形面积公式的应用，关键是判断哪个长方形的面积减少的多。
6．C
【分析】小欢送给小乐12本，他俩的故事书就一样多，说明小欢比小乐多2个12本即24本，因为小欢的书是小乐的3倍，说明小欢比小乐多2倍，24除以2即为小乐书的数量，再用所得商乘3即为小华的故事书数量。
【详解】12×2÷（3－1）
＝24÷2
＝12（本）
12×3＝36（本）
故答案为：C
【分析】较小数＝差÷（倍数－1），较大数＝较小数×倍数。
7．B
【分析】6×6的方阵中，队员总人数是6×6＝36人。8×8的方阵中，队员总人数是8×8＝64人。将两个方阵总人数相减，求出需要增加的人数。
【详解】8×8－6×6
＝64－36
＝28（人）
那么需要增加28人。
故答案为：B
【分析】本题考查方阵问题，总人数＝每边人数×每边人数。
8．C
【分析】（1）根据题图可知，鸭的只数是鹅的2倍，鸡的只数比鸭多2只，则鸡的只数比鹅的2倍多2只。
（2）鸭的只数是鹅的2倍，鸡的只数比鹅的2倍多2只，则鸡、鸭、鹅的总数比鹅的5倍多2只。
（3）用鸡、鸭、鹅的总数减去2只，就是鹅的5倍，则鸡和鸭的总只数正好是鹅的4倍。
【详解】A．鸭的只数是鹅的2倍，鸡的只数比鹅的2倍多2只。原说法错误；
B．把鹅的只数看作1倍数，它的5倍就是鸡、鸭、鹅的总数减去2只，原说法错误；
C．总数22只减去2只鸡，这时，鸡和鸭的总只数正好是鹅的4倍，原说法正确；
故答案为：C
【分析】本题考查倍数关系，关键是看清题图表示的各种量之间的关系。
9．256
【分析】增加的面积除以一组对边增加的长度等于原正方形的边长，边长乘边长等于原正方形的面积，据此即可解答。
【详解】80÷5＝16（米）
16×16＝256（平方米）
原来正方形的面积是256平方米。
【分析】先求出原来正方形的边长是解答本题的关键。
10． 69 29
【分析】小红给小明20枚邮票，两人的邮票就一样多，说明小红比小明多20×2＝40枚邮票，把小明原来的邮票数量增加40枚就和小红原来的数量相等，用总数加上40也就是2个小红原来的数量，再除以2即可求出小红原来的邮票数量，小明原来的邮票数量＝98－小红原来的邮票数量。
【详解】（98＋20×2）÷2
＝（98＋40）÷2
＝138÷2
＝69（枚）
98－69＝29（枚）
小红原来有69枚邮票，小明原来有29枚邮票。
【分析】此题属于和差问题，此题重点应理解出他们相差的枚数，然后根据关系式“（和＋差）÷2＝大数”求出小红的张数。
11． 340 7225
【分析】如图，增加的面积可以分为3部分，2个完全相同的长方形和一个正方形，长方形的长是原来正方形的边长，宽是5米；正方形的边长是5米。正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式计算出增加部分小正方形的面积，增加的总面积减去正方形的面积再除以2就是长方形面积。长方形的面积＝长×宽，则长＝面积÷宽，把数据代入算出长方形的长，也就是原来正方形的边长。正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长，把数据代入计算即可。
【详解】5×5＝25（平方米）
（875－25）÷2
＝850÷2
＝425（平方米）
425÷5＝85（米）
85×4＝340（米）
85×85＝7225（平方米）
一块正方形菜地，如果边长都增加5米，面积将比原来增加875平方米。菜地原米的周长是（340）米，面积是（7225）平方米。
【分析】画图整理已知条件，能使题目一目了然，是解决问题的好策略。
12． 36 12
【分析】通过下图可知，甲仓库存粮比乙仓库多12×2＝24（吨），24除以倍数减1等于乙仓库存粮吨数，乙仓库存粮吨数乘3等于甲仓库存粮吨数。
【详解】12×2÷（3－1）
＝24÷2
＝12（吨）
12×3＝36（吨）
则原来甲仓库存粮36吨，乙仓库存粮12吨。
【分析】本题考查差倍问题，即已知大、小两个数的差和它们的倍数关系，求大、小两个数的问题，小数＝差÷（倍数－1），大数＝小数×倍数。
13． 100 68
【分析】根据题意，5张课桌比5把椅子贵（32×5）元；用840减去5张课桌比5把椅子贵的价钱，求出5把椅子的金额的2倍，用求出的差除以2再除以5，求出一把椅子的价钱；用一把椅子的价钱加上32，求出一张桌子的价钱。
【详解】32×5＝160（元）
840－160＝680（元）
680÷2÷5
＝340÷5
＝68（元）
68＋32＝100（元）
则一张课桌100元，一把椅子68元。
【分析】分析题中数量之间的关系，根据数量之间的关系解决问题。
14．36
【分析】根据题意可知，正方形的一组对边各增加4厘米，它的面积就增加了24平方厘米，增加部分的面积是以原来的边长为长，宽为4厘米的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，那么长＝面积÷宽，据此求出原来的边长，然后根据正方形的面积＝边长×边长，把数据代入公式解答。
【详解】24÷4＝6（厘米）
6×6＝36（平方厘米）
原来正方形的面积是36平方厘米。
【分析】此题主要考查长方形、正方形面积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是求出原来正方形的边长。
15． 60 120
【分析】小明和小林一共有180张邮票，小林送给小明30张，两人邮票数就同样多，也就是两人现在都是180÷2＝90（张），那么小明原来的数量＝现在的数量－小林给的30张，小林原来的数量＝现在的数量＋送给小明的30张，据此列式解答。
【详解】180÷2＝90（张）
90－30＝60（张）
90＋30＝120（张）
小明原来有60张，小林原来有120张。
【分析】也可以根据和差倍问题解答，小林送给小明30张，两人邮票数就同样多,说明小林比小明多60张，再根据（两数和－差）÷2＝较小数，再用和减去较小数就是较大数。
16． 200 40
【分析】由“从甲筐取出80千克放入乙筐，两筐的苹果重量就相等了”，可知原来甲筐比乙筐重80×2＝160（千克），甲筐苹果的质量是乙筐苹果质量的5倍，也就是甲筐苹果比乙筐多乙筐的4倍，所以用160千克除以4，即可求出乙筐苹果的质量。再用乙筐苹果的质量乘5，求出甲筐苹果的质量。
【详解】（80×2）÷（5－1）
＝160÷4
＝40（千克）
40×5＝200（千克）
原来甲筐有苹果200千克，乙筐原来有苹果40千克。
【分析】本题考查倍数关系，关键是明确原来甲筐比乙筐重160千克，而这160千克是乙筐苹果质量的4倍。
17．√
【分析】这个方阵共7行，每行7人，则最外圈的人数是（7－1）×4人。
【详解】（7－1）×4
＝6×4
＝24（人）
则最外圈有24人，题干说法正确。
故答案为：√
【分析】本题考查方阵问题，最外圈人数＝（每边人数－1）×4。
18．√
【详解】甲给乙18张之后，甲少了18张，乙多了18张，因为开始甲乙两人的邮票数同样多，所以甲比乙少：18＋18＝36（张）。
故答案为：√
【分析】考察了和差倍问题的简单应用。
19．×
【详解】略
20．×
【分析】根据题意，两人一共有20块糖果，姐姐给妹妹3块，姐妹俩的糖果就一样多，由此可知：姐姐比妹妹多（3×2）块，根据和差问题，（两数和＋差）÷2＝较大数，据此解答。
【详解】由分析可知：求姐姐原来有多少块糖果列式为：
（20＋6）÷2
＝26÷2
＝13（块）
故答案为：×
【分析】本题属于“和差问题”，根据（两数和＋差）÷2＝较大数，据此解答即可。
21．126m2
【分析】长方形的面积＝长×宽，则长方形的长＝面积÷宽，用长方形的面积28m2除以长方形的宽4m即可算出右边小长方形的长是（28÷4）m，右边小长方形的长就是左边长方形的宽，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式计算即可。
【详解】28÷4＝7（m）
18×7＝126（m2）
22．42只；70只
【分析】用总数112减去28后，剩下的鹅和鸭的数量相等，再用这个差除以2即就是鸭的数量，据此解答即可。
【详解】鸭的数量112－28＝84（只），84÷2＝42（只）
鹅的数量112－42＝70（只）
故答案为：42只 70只
【分析】本题主要考查熟练应用和差问题的公式来解决实际问题。
23．图见详解；360平方厘米
【分析】
长方形彩纸的宽是30厘米，由此可知裁下的正方形边长是30厘米，而剩余部分是一个长方形，这个长方形的一条边是原长方形的宽，即其中一条边长度是30厘米，根据长方形周长：（长＋宽）×2，逆用周长公式，84除以2可以求出剩余部分的长与宽的和是42，再用42减30即可求出剩余部分的宽，最后根据长方形面积公式：长×宽，用这个差乘30即可求出剩余部分的面积，据此来解答。
【详解】
剩下彩纸的长：30厘米
剩下彩纸的宽：
84÷2－30
＝42－30
＝12（厘米）
剩下彩纸的面积：30×12＝360（平方厘米）
答：剩下彩纸的面积是360平方厘米。
24．160平方米
【分析】如图：，大正方形的边长是（18＋2＋2）米，正方形面积＝边长×边长，把数据代入公式计算出大正方形面积和花圃面积，大正方形面积减去花圃面积就是小路面积。
【详解】18×18＝324（平方米）
18＋2＋2
＝20＋2
＝22（米）
22×22＝484（平方米）
484－324＝160（平方米）
答：小路的面积是160平方米。
【分析】画图整理已知条件和问题，能使题目一目了然，是解决问题的好策略。
25．1100平方米
【分析】如图：，改造后的长方形草坪长是（60＋10）米，宽是（40＋10）米，长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式计算出改造前的长方形草坪面积和改造后的长方形草坪面积，改造后的长方形草坪面积减去改造前的长方形草坪面积即可算出这块长方形草坪的面积增加了多少平方米。
【详解】60×40＝2400（平方米）
（60＋10）×（40＋10）
＝70×50
＝3500（平方米）
3500－2400＝1100（平方米）
答：这块长方形草坪的面积增加了1100平方米。
【分析】画图整理已知条件和问题，能使题目一目了然，是解决问题的好策略。
26．四年级90棵；五年级116棵（图见详解）
【分析】先根据题意完成线段图，206棵加上26棵，所求的棵数是五年级的2倍，然后除以2求出五年级植树的棵数，再用五年级植树的棵数减去26棵，求出四年级植树的棵数，据此解答。
【详解】
五年级：（206＋26）÷2
＝232÷2
＝116（棵）
四年级：116－26＝90（棵）
答：四年级植树90棵，五年级植树116棵。
【分析】熟练掌握和差问题解题方法是解答本题的关键。
27．图见详解；第一段60米；第二段85米；第三段45米
【分析】如果第二段绳子去掉25米。第三段绳子增加15米，则三段绳子一样长，现在三段绳子总长度是（190－25＋15）米，用现在三段绳子总长度除以3即可算出第一段绳子长度，第一段绳子长度加上25米即可算出第二段绳子长度，第一段绳子长度减去15米即可算出第三段绳子长度。
【详解】
（190－25＋15）÷3
＝（165＋15）÷3
＝180÷3
＝60（米）
60＋25＝85（米）
60－15＝45（米）
答：第一段绳子长60米，第二段绳子长85米，第三段绳子长45米。
【分析】本题考查了画线段图分析数量关系，能识图更要会画图分析。
28．小华原来有51本故事书，小宁原来有35本故事书
【分析】根据“小华给小宁8本后，两人的故事书本数同样多”，可知小华比小宁多（8×2）本。两人一共有86本故事书，则小华有（86＋8×2）÷2本。用两人故事书总本数减去小华的故事书本数，求出小宁的故事书本数。
【详解】
（86＋8×2）÷2
＝（86＋16）÷2
＝102÷2
＝51（本）
86－51＝35（本）
答：小华原来有51本故事书，小宁原来有35本故事书。
【分析】本题考查和差问题，关键是求出小华比小宁多16本故事书。
29．图见详解；苹果：125元；芒果：145元；香蕉：90元。
【分析】根据题意可知，芒果比苹果多用去20元，则芒果画的线段比苹果长，长的部分是20元，香蕉比苹果画的线段要短，短的部分是35元，由此即可画图；由于芒果的钱减去20元，香蕉的钱多花35元则和苹果的价钱一样多，此时的总价格：360－20＋35＝375，相当于3份苹果是375元，用375÷3即可求出苹果的价钱，之后再减去35元即可求出香蕉的价钱，用苹果的价钱加20即可求出芒果的价钱。
【详解】由分析可知：如下图所示：
由分析可知：360－20＋35＝375（元）
375÷3＝125（元）
125＋20＝145（元）
125－35＝90（元）
答：苹果用去125元；芒果用去145元，香蕉用去90元。
【分析】本题主要考查和差问题，关键是画图来分析，根据题意画图是解题的关键。

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