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第四单元 比例
一、图形的放大和缩小
1、用把图形按n：1（n>1）的比放大，就是把图形的每条边都放大到原来的n倍；把图形按1：n（n>1）的比缩小，就是把图形每条边都缩小到原来的n分之一。
2、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小时，大致分三步：一看，观察原图形每条边是几格；二算，根据指定的比计算出放大或缩小后的图形的每条边各是几格；三画，按计算出的结果画原图形的放大图或缩小图。
二、比例的意义
1、表示两个比相等的式子叫作比例。比是表示两个数相除的关系，比例是表示两个比相等的关系。
2、判断两个比能否组成比例，就是看两个比的比值是否相等。若比值相等，则能组成比例；若比值不相等，则不能组成比例。
三、比例的基本性质和解比例
1、任何一个比例都是由两个内项和两个外项组成的。
2、比例的基本性质。
在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，这叫做比例的基本性质。
3、根据比例的基本性质解比例。
求比例中的未知项，叫作解比例。解比例时可依据比例的基本性质，把比例式改写成乘积形式来求未知项的值。
四、比例尺的意义及其应用
1、图上距离：实际距离=比例尺。
2、比例尺的分类。
比例尺按表示方法可分为数值比例尺和线段比例尺，比例尺按放大和缩小可分为放大比例尺和缩小比例尺。
3、比例尺的应用。
已知比例尺求图上距离或实际距离的方法由多种，解决问题时要注意灵活运用，选择最适当的方法。
一、选择题
1．宁波轨道交通4号线一期全长35.95km，现需要将该路线画在长30cm、宽20cm的长方形纸上，你认为比例尺为（ ）最合适。
A．1∶200 B．1∶20000 C．1∶200000 D．1∶2000000
2．一个正方形的面积是100平方厘米，把它按10∶1的比放大，放大后图形的面积是（ ）。
A．1000平方厘米 B．2000平方厘米 C．10000平方厘米 D．4000平方厘米
3．能与∶组成比例的是（ ）。
A．4∶3 B．3∶4 C．∶3 D．4∶
4．张华将30克糖放入160克水中，他想做成含糖率为20%的糖水，还需要再放入（ ）克糖。
A．2 B．8 C．10 D．20
5．钟面上，时针与分针行走速度的比能与下面的组成比例（ ）。
A．1∶15 B．1∶60 C．2∶24 D．3∶45
6．甲乙两地实际距离是320千米，比例尺为1∶400000，甲乙两地在这幅地图的图上距离是多少厘米？（ ）
A．8 B．80 C．800 D．0.8
7．如图，三角形边a上的高是b，边m上的高是n。下面比例中正确的是（ ）。
A． B． C． D．
8．如图，把三角形ABC按2∶1的比放大，三角形ABC放大前、后相对应的“三角形的面积”、“∠1的度数”、“AB与BC的比值” 三个要素中，不变化的有（ ）个。

A．1 B．2 C．3
二、填空题
9．一个电脑零件在比例尺是40∶1的设计图上长2.4dm，这个电脑零件实际长( )mm。
10．在一幅地图上用5cm的线段表示30km的实际距离，这幅地图的比例尺是( )。
11．秦岭输水隧洞全长约98千米，全线贯通后，满足了陕西省多个城市的用水需求。在比例尺为1∶4900000的地图上，这条隧洞长( )厘米。
12．在6∶7、、三个比中，能与组成比例的一个比是( )，组成的比例的内项积是( )。
13．将7∶12的前项乘4，要使比值不变，后项应增加( )；比例5∶3＝10∶6的外项均加上10，如果内项3不变，要使比例仍然成立，内项10应增加( )。
14．如图，右边的图形是把左边的图形按一定的比例缩小的，x＝( )。
15．一个长5厘米，宽4厘米的长方形，按3∶1放大，放大后与放大前图形的面积比是( )∶( )
16．爸爸买了一辆自行车，明明用脚踏板蹬一圈，发现后齿轮转两圈。他数出后齿轮齿数是18个，所以推测出这辆自行车前齿轮齿数是( )个。
三、判断题
17．因为（a、b均不为0），所以。( )
18．把线段比例尺改写成数值比例尺是1∶90。( )
19．所有的比例尺都是后项为1。( )
20．把一个长方形按2∶1放大后，长和宽的比不变。( )
四、计算题
21．解方程或比例。
x÷＝ x—x＝ x∶18＝∶
五、作图题
22．画一画，把长方形按1∶3的比缩小；把三角形按2∶1的比放大。
六、解答题
23．在一幅比例尺是1∶2000000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是1.8厘米，在另一幅地图上量得甲、乙两地之间的距离是9厘米，另一幅地图的比例尺是多少？
24．我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合会2022年度世界航天奖。他们研制的“祝融号”火星车高1.85米，重约240千克，为人类探索火星提供了原始科学探测数据。现在有一辆按1∶10的比缩小的全仿真“祝融号”火星车模型，该模型的高度是多少厘米？
25．“丝绸之路”是古代连接中西方的商道。传统的丝绸之路起自我国古代都城长安，以罗马为终点，在一幅比例尺为1∶7000000的地图上约长92厘米，传统的丝绸之路实际全长约为多少千米？
26．张老师开车从家经过公园到学校，全长25千米，大约需要小时，如果以同样的速度开车从家直接去学校，需要多长时间？
27．晓东下午某一时刻在一栋楼前测得自己的身高和影子的长度比是2：3，此时这栋楼的影子长16.5米，这栋楼的实际高度是多少米？
28．一种奶茶中牛奶与红茶的比是7∶3时口味最佳，佳佳用500毫升牛奶和240毫升红茶制作了一杯奶茶，如果她想要奶茶的口味最佳，应该再加入多少毫升的牛奶？
29．（1）将三角形绕A点顺时针旋转90度，画出旋转后的图形。
（2）按原三角形2∶1的比放大，画出放大后的图形。
（3）如果A的位置用数对（a，b）表示，B的位置用数对（ ， ）表示。
30．阅读下面的新闻材料，并完成填空。
截至2022年2月6日，我国已与148个国家、32个国际组织签署200多份共建“一带一路”合作文件。其中非洲国家有51个，亚洲国家有38个，欧洲国家有27个，大洋洲国家有11个，南美洲国家有9个，北美洲国家有12个。
（1）材料中涉及的数据，属于质数的是（ ）；3的倍数的有（ ）个。
（2）已与中国签署“一带一路”合作文件的国家中，亚洲的国家数量比非洲的国家数量少（ ）%。（结果保留两位小数）
（3）在一幅比例尺为1∶20000000的地图上，“一带一路”沿线有两个国家的图上距离是30厘米。这两个国家实际距离是多少千米？
（4）根据上面的信息，提出一个问题，并解答。
31．看图回答问题。
（1）盐城高级实验中学在人民商场（ ）偏（ ）（ ）°方向的（ ）米处。
（2）五洲国际在人民商场（ ）偏（ ）（ ）°方向。
（3）金鹰国际购物中心在人民商场正西600米处，请用★在图中标出金鹰国际购物中心的位置。
参考答案
1．C
【分析】
图上距离＝实际距离×比例尺，由此求出各个比例尺下该路线的图上距离，再对比图纸，选出合适的比例尺即可。
【详解】35.95km＝3595000cm，
A．3595000×＝17975（cm），图纸画不下，所以该比例尺不合适；
B．3595000×＝179.75（cm），图纸画不下，所以该比例尺不合适；
C．3595000×＝17.975（cm），路线的图上长度比图纸的宽短，所以该比例尺合适；
D．3595000×＝1.7975（cm），图上路线过短，不利于观看，所以该比例尺不合适。
故答案为：C
2．C
【分析】把正方形按照10∶1的比放大，就是把正方形的边长扩大到原来的10倍，正方形的面积＝边长×边长，所以面积就扩大到原来的10×10＝100倍，据此求出扩大后的面积。
【详解】
（平方厘米）
即放大后图形的面积是10000平方厘米；
故答案为：C
3．A
【分析】根据比例的基本性质可知，在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，分别将各选项中的比与∶组成比例，判断是否满足两个外项的积等于两个内项的积，据此解答。
【详解】A．，，两个外项的积等于两个内项的积，能组成比例，符合题意；
B．，，两个外项的积不等于两个内项的积，不能组成比例，不符合题意；
C．，，两个外项的积不等于两个内项的积，不能组成比例，不符合题意；
D．，，两个外项的积不等于两个内项的积，不能组成比例，不符合题意；
故答案为：A
4．C
【分析】由题意可知，设还需要再放入x克糖，根据含糖率＝糖的质量÷糖水的质量×100%，即糖的质量与糖水的质量成正比例关系，据此列比例解答即可。
【详解】解：设还需要再放入x克糖。
1×（x＋190）＝5×（x＋30）
x＋190＝5x＋150
x＋190－150＝5x＋150－150
x＋40＝5x
x＋40－x＝5x－x
4x＝40
x＝40÷4
x＝10
则还需要再放入10克糖。
故答案为：C
5．C
【分析】比例是表示两个比相等的式子。钟面上，时针每小时走1大格，分针每小时走12大格，求出时针与分针行走速度的比值，看与选项中哪个比的比值相等即可。
【详解】时针与分针行走速度的比1∶12＝
A．1∶15＝，≠，不符题意；
B．1∶60＝，≠，不符题意；
C．2∶24＝，＝，符合题意；
D．3∶45＝，≠，不符题意。
故答案为：C
【分析】解答本题需熟练掌握比例的意义，明确时针与分针行走速度的比是解答本题的关键。
6．B
【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离；图上距离＝实际距离×比例尺，代入数据即可解答。
【详解】320千米＝32000000厘米
320000000×＝80（厘米）
甲乙两地实际距离是320千米，比例尺为1∶400000，甲乙两地在这幅地图的图上距离是多少厘米？80厘米。
故答案为：B
【分析】熟练掌握图上距离和实际距离的换算是解答本题的关键，注意单位名数的换算。
7．B
【分析】根据三角形的面积公式：S＝ah÷2可知：ab÷2＝mn÷2即ab＝mn；再结合选项中的比例，找出内项积符合ab＝mn即可解答。
【详解】由图可知，ab÷2＝mn÷2，所以ab÷2＝mn÷2即ab＝mn
A．由可得：an＝mb，不符合题意；
B．由可得：mn＝ab，符合题意；
C．由可得：ma＝nb，不符合题意；
D．由可得：am＝bn，不符合题意。
故答案为：B。
【分析】本题考查三角形的面积公式及比例的基本性质的灵活运用。
8．B
【分析】根据图形放大与缩小的意义，一个图形放大或缩小后，是指对应边线段放大或缩小，对应角大小不变，放大前、后，两边的比值不变，变化的是面积，据此解答。
【详解】根据分析可知，如图，把三角形ABC按2∶1的比放大，三角形ABC放大前、后相对应的“三角形的面积”、“∠1的度数”、“AB与BC的比值” 三个要素中，不变化的有“∠1的度数”、“AB与BC的比值”，一共有2个。
故答案为：B
【分析】本题主要考查图形的放大的意义是解答本题的关键。
9．6
【分析】
根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算出电脑零件的实际长度，再换算单位即可。
【详解】2.4÷40×100
＝0.06×100
＝6（mm）
这个电脑零件实际长6mm。
10．1∶600000/
【分析】
把图上距离和实际距离统一单位后，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”写出比并化简得到比例尺。
【详解】5cm∶30km
＝5cm∶（30×100000）cm
＝5∶3000000
＝（5÷5）∶（3000000÷5）
＝1∶600000
这幅地图的比例尺是1∶600000。
11．2
【分析】
由高级单位千米转换成低级单位厘米，乘进率100000，据此把98千米转化成以厘米为单位；根据图上距离＝实际距离×比例尺，将数据代入计算即可。
【详解】98千米＝98×100000＝9800000厘米
9800000×＝2（厘米）
综上所述：秦岭输水隧洞全长约98千米，全线贯通后，满足了陕西省多个城市的用水需求。在比例尺为1∶4900000的地图上，这条隧洞长2厘米。
12．
【分析】
（1）用比的前项除以后项求出题中比的比值，找出和的比值相等的比就是能组成比例的；
（2）在比例里中间的两个项叫做比例的内项，找出比例的内项，求出它们的积即可。
【详解】＝＝＝
＝0.7÷0.6＝
＝＝
＝，比例中，两个内项是和。
所以，在6∶7、、三个比中，能与组成比例的一个比是，组成的比例的内项积是。
13． 36 70
【分析】
第一空，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；求出变化后的后项，再求变化前后的后项之差。
第二空，根据在比例中，两内项之积等于两外项之积进行解答。
【详解】12×4－12＝36
将7∶12的前项乘4，要使比值不变，后项应增加36。
5＋10＝15，6＋10＝16
15×16÷3＝80
新的比例是：15∶3＝80∶16
80－10＝70
比例5∶3＝10∶6的外项均加上10，如果内项3不变，要使比例仍然成立，内项10应增加70。
14．15
【分析】
根据“缩小后图形的宽∶原来图形的宽＝缩小后图形的长∶原来图形的长”可列出比例10∶16＝x∶24，再解出比例即可。
【详解】
10∶16＝x∶24
解：16x＝10×24
16x＝240
16x÷16＝240÷16
x＝15
所以，x＝15。
15． 9 1
【分析】根据题意，把长、宽按3∶1放大，先分别求出放大后的长、宽各是多少厘米，再根据长方形的面积公式：面积＝长×宽；求出放大后与放大前的面积，再根据比的意义，进行解答。
【详解】5×3＝15（厘米）
4×3＝12（厘米）
（15×12）∶（5×4）
＝180∶20
＝（180÷20）∶（20÷20）
＝9∶1
一个长5厘米，宽4厘米的长方形，按3∶1放大，放大后与放大前图形的面积比是9∶1。
【分析】解答本题的关键是求出扩大后的长方形的面积是解答本题的关键
16．36
【分析】用脚踏板蹬一圈，后齿轮转两圈，说明前后齿轮齿数的比是2∶1，设这辆自行车前齿轮齿数是x个，根据前齿轮齿数∶后轮齿数＝2∶1，列出比例解答即可。
【详解】解：设这辆自行车前齿轮齿数是x个。
x∶18＝2∶1
x＝18×2
x＝36
这辆自行车前齿轮齿数是36个。
17．×
【分析】依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，而不是两内项的比等于两外项的比，据此解答。
【详解】因为，则由比例的基本性质可得：，本题说法错误。
故答案为：×
【分析】
18．×
【分析】从线段比例尺可以看出：图上1厘米表示实际距离30千米，也就是1厘米表示3000000厘米，把线段比例尺改写成数值比例尺，关键是要统一单位，据此解答。
【详解】30千米＝3000000厘米
因此把线段比例尺改写成数值比例尺是1∶3000000，原题干的说法是错误的。
故答案为：×
19．×
【分析】根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”可知，实际距离较大，图上距离较小时，则比例尺写成前项是1的形式；如果实际距离较小，图上距离较大时，则比例尺写成后项是1，而前项大于1的形式，据此解答。
【详解】根据分析可知，不是所有比例尺都是后项为1。
原题干说法错误。
故答案为：×
【分析】本题考查比例尺的意义，掌握缩小比例尺和放大比例尺的写法区别是解题的关键。
20．√
【分析】长方形按2∶1放大，就是把原长方形的长扩大于原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，据此分析判断。
【详解】长方形按2∶1放大，就是把原长方形的长扩大于原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，所以一个长方形按2∶1放大后，长和宽都是原来的2倍的说法是正确的；
故答案为；√
【分析】本题主要考查图形的放大的意义：注意按2∶1放大后就是把原图的边长扩大2倍。
21．x＝；x＝；x＝
【分析】x÷＝，根据等式的性质2，方程两边同时乘，即可解答；
x－x＝，先化简方程左边含x的算式，即求出－的差，再根据等式的性质2，方程两边同时除以－的差即可；
x∶18＝∶，解比例，原式化为：x＝18×，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可。
【详解】x÷＝
解：x＝×
x＝
x－x＝
解：x－x＝
x＝
x＝÷
x＝×
x＝
x∶18＝∶
解：x＝18×
x＝12
x＝12÷
x＝12×
x＝
22．画图见详解
【分析】根据图形缩小的意义，将长方形的长和宽同时缩小到原来的，所得到的长方形，就是原来图形按照1∶3缩小后的图形；根据图形放大的意义，将三角形的两条直角边分别扩大到原来的2倍，画出的三角形就是按2∶1的比放大的图形。
【详解】长方形的长：6×＝2
长方形的宽：3×＝1
三角形一条直角边：1×2＝2
三角形另外一条直角边：2×2＝4
画图如下：
【分析】此题考查图形的放大与缩小，需要熟练掌握并且灵活运用，尤其需要能结合知识准确画图。
23．1∶400000
【分析】
根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离；再根据图上距离∶实际距离，求出另一幅地图上的比例尺即可。
【详解】
＝1.8×2000000
＝3600000（厘米）
9厘米∶3600000厘米＝（9÷9）∶（3600000）＝1∶400000
答：另一幅地图的比例尺是1∶400000。
24．18.5厘米
【分析】
将模型的高度设为x厘米，根据“模型高∶实际高度＝1∶10”列出比例，再解比例即可。
【详解】
解：设该模型的高度是x厘米。
1.85米＝185厘米
x∶185＝1∶10
10x＝185
10x÷10＝185÷10
x＝18.5
答：该模型的高度是18.5厘米。
25．6440千米
【分析】
根据图上距离÷比例尺＝实际距离，用92÷即可求出传统的丝绸之路的实际距离，再把结果换算成千米作单位，据此解答。
【详解】92÷
＝92×7000000
＝644000000（厘米）
644000000厘米＝6440千米
答：传统的丝绸之路实际全长约为6440千米。
26．小时
【分析】根据速度＝路程÷时间，用25除以求出张老师开车的速度。已知张老师直接从家到学校的图上距离是4厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出张老师从家直接去学校的实际路程。再用实际路程除以张老师的开车速度即可求出需要的时间。
【详解】25÷＝25×＝60（千米）
4÷＝2000000（厘米）＝20千米
20÷60＝（小时）
答：需要小时。
【分析】本题考查了比例尺的应用和行程问题。解答此题的关键是根据图上距离、实际距离与比例尺的关系，求出张老师从家直接去学校的实际路程。再灵活运用速度、时间与路程的关系进行解答。
27．11米
【分析】设这栋楼的实际高度是x米，在同一时间和同一地点，楼的实际高度与楼影子长度和晓东的身高与影长的比值是相等的，据此列比例：2∶3＝x∶16.5，解比例，即可解答。
【详解】解：设这栋楼的实际高度是x米。
2∶3＝x∶16.5
3x＝16.5×2
3x＝33
x＝33÷3
x＝11
答：这栋楼的实际高度是11米。
【分析】本题考查比例应用题，只要比例的两边统一即可，即都是实际∶影子，也可以都是影子∶实际。
28．60毫升
【分析】
红茶的量不变，将红茶240毫升时需要的牛奶量设为未知数，再根据口味最佳时“牛奶与红茶的比是7∶3”，列出比例，解出牛奶量。将最合适的牛奶量减去原有的牛奶量500毫升，求出还需要再加入多少毫升的牛奶。
【详解】
解：设用240毫升红茶时，需要用牛奶x毫升。
7∶3＝x∶240
3x＝7×240
3x÷3＝7×240÷3
x＝560
560－500＝60（毫升）
答：应该再加入60毫升的牛奶。
29．（1）（2）见详解
（3）（a＋2，b）
【分析】（1）作旋转一定角度后的图形步骤：①根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角。②分析所作图形，找出构成图形的关键点。③找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点。④作出新图形，顺次连接作出的各点即可。
（2）原图形是一个直角三角形，底是2，高是4，按2∶1的比放大后，底为2×2＝4，高为4×2＝8，据此画图。
（3）数对中的第一个数字表示第几列，第二个数字表示第几行。A的位置用数对（a，b）表示，说明A在第a列第b行，而B在A之后的第2列，与A在同一行，据此写出数对。
【详解】（1）（2）作图如下：
（3）通过分析，B的位置用数对（a＋2，b）表示。
【分析】本题考查了作旋转后和放大后的图形、用数对表示位置。掌握作图步骤和数对“先列后行”的特点是解题的关键。
30．（1）2、11；6
（2）25.49
（3）6000千米
（4）签署合作文件的欧洲国家数量比北美洲国家的多几分之几？
【分析】（1）质数就是除了本身和1以外没有其他因数的数。数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（2）以非洲国家数量为单位“1”，用51减38，求出亚洲的国家数量比非洲的国家少的数量，再除以非洲的国家数量，结果写成百分数形式即可。注意按要求利用“四舍五入”法保留两位小数。
（3）用图上距离除以比例尺，即可求得两地的实际距离。
（4）根据题中提供的信息，进行合理的问题提问即可。
【详解】（1）质数有：2、11；3的倍数有：2022、6、51、27、9、12。
材料中涉及的数据，属于质数的是（2、11）；3的倍数的有（6）个。
（2）（51－38）÷51×100%
＝13÷51×100%
≈25.49%
已与中国签署“一带一路”合作文件的国家中，亚洲的国家数量比非洲的国家数量少（25.49）%。
（3）
＝30×20000000
＝600000000（厘米）
＝6000（千米）
答：这两个国家实际距离是6000千米。
（4）签署合作文件的欧洲国家数量比北美洲国家的多几分之几？
（27－12）÷12
＝15÷12
＝
答：与欧洲国家签署合作文件的数量比北美洲国家的多。
【分析】本题是一知识综合题，考查了质数的概念，3的倍数特征，图上距离与实际距离的转化、百分数的计算等知识，要注意平时知识的积累的运用。
31．（1）北；东；45；800
（2）南；东；30
（3）见详解。
【分析】（1）（2）根据比例尺和测量出的盐城高级实验中学与人民商场之间的图上距离，即可求出盐城高级实验中学与人民商场之间的实际距离，再根据“上北下南，左西右东”即可描述出它们之间的方向关系；同理做（2）。
（3）先计算出金鹰国际购物中心与人民商场之间的图上距离，再根据它们之间的方向关系，即可在图上标出它们的位置。
【详解】（1）4÷＝80000（厘米）
80000厘米＝800米
盐城高级实验中学在人民商场北偏东45°方向的800米处。
（2）五洲国际在人民商场南偏东30°方向。
（3）600米＝60000厘米
60000×＝3（厘米）
【分析】此题主要考查图上距离、实际距离和比例尺的关系以及依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法。

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