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勾股定理的证明
方法1 商高证明法
证明：∵，
，
∴，
∴．
方法2 赵爽弦图
2、以、为直角边，以为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这四个直角三角形拼成如图所示形状．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴是一个边长为的正方形，它的面积等于．
∵，
．
∴是一个边长为的正方形，它的面积等于．
∴．
∴．
方法3 刘徽证明方法——青朱出入图
3、勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方才幂．开方除之，即弦也．——《九章算术注》
方法4 加菲尔德方法——梯形面积法
4、以、为直角边，以为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于．把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是一个等腰直角三角形，它的面积等于．
又∵，，
∴．
∴是一个直角梯形，它的面积等于．
∴．
∴．
方法5
5.张景中证明方法1——对角线垂直的四边形
方法6
6.张景中证明方法2——悬挂模型
矩形
方法7欧几里得证明
7、做三个边长分别为、、的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使、、三点在一条直线上，连结、．过作，交于点，交于点．
∵，，
，
∴．
∵的面积等于，的面积等于矩形的面积的一半，
∴矩形的面积．同理可证，矩形的面积．
∵正方形的面积矩形的面积矩形的面积
∴，即．
注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ
注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ
注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ
注意：面积Ⅰ：Ⅱ：Ⅲ
方法8杨作玫证明
8、做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为、，斜边长为．再作一个边长为的正方形．把它们拼成如图所示的多边形．过作，交于，交于．过作，垂足为．过作与的延长线垂直，垂足为，交与．
∵，，
∴．
又∵，，
，
∴．
∴，．
由作法可知，是一个矩形，所以．即，，从而．
∵，
，
∴，
∴，．
有∵，
方法9陈杰证明
9、设直角三角形两直角边的长分别为、，斜边的成为，做两个边长分别为、的正方形，把它们拼成如图所示的形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．
在上截取，连结、，则．
∵，，
∴．
又∵，，
，
∴．
∴，．
∵，
，
∴．
∴作，，则是一个边长为的正方形．
∵，
∴．
连结，在和中，
∵，，，
∴．
∴，．
∴点、、、在一条直线上．
在和中，
∵，，
∴．
∵，，，
，
∴
∴．
方法10李锐证明
10、设直角三角形两直角边的长分别为、，斜边的长为．做三个边长分别为、、的正方形，把它们拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上．用数字表示面积的编号（如图）．
∵，
∴．
又∵，
，
∴．
∴．
∴．
又∵，
，
∴．
∵，
，
∴．即．
过作，垂足是．由，可知，而，∴．又．所以．即．
由，有得，．
∵，，，
∴．
又∵，，
∴．即．
∵，，，
又∵，，，
∴
，
即．
【拓展】
1．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，求证：四边形是正方形．
2．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，，求证：四边形是正方形．
3．如图所示，在正方形的四边，，，上分别取点，，，，使得，此外，，，．求证：
（1）；
（2）；
（3）．
例题
4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为　　
A．9 B．6 C．4 D．3
变式1
5．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．8 B．6 C．4 D．5
变式2
6．如图，有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则 ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
巩固练习
7．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
8．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若，则S2的值是（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
9．如图，在中，，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为 ．
10．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中，点 在线段上，点在边两侧，试证明： ．
11．（1）如图１是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：．
培优
12．阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积．
从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2＝c2．
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6，此时空白部分的面积为　 　；
（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC＝3，求该风车状图案的面积．
（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝　 　．
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
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参考答案：
1．见解析
【分析】根据正方形的性质证明，然后证明即可得到答案.
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
2．见解析
【分析】根据已知条件得到四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，在根据三角形全等证明即可；
【详解】∵，，，，且，
∴四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形，
∴，
∴，，
∴，且，
∴四边形为正方形．
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，结合三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质证明是解题的关键．
3．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）根据正方形的性质证明，然后证明即可得到答案；
（2）先证明，然后同理可以得到，然后证明四边形ORQP是正方形，即可得到结论；
（3）根据（1）（2）的结论求解即可.
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
∴
（2）∵四边形是正方形
∴，
∵，
∴四边形AERF是平行四边形
∵∠A=90°
∴四边形AERF是矩形
∴
∴
同理可以得到，，
∴
∴，，
∴
∵
∴
∴四边形ORQP是正方形
∴
（3）∵，，
又∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．D
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
每一个直角三角形的面积为：，
，
，
或（舍去），
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．
5．B
【详解】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可．
解：∵AB=10，EF=2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96，
∴2ab=96，a2+b2=100，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=100+96=196，∴a+b=14，
∵a﹣b=2，解得：a=8，b=6，∴AE=8，DE=6，∴AH=8﹣2=6．
故选B．
6．B
【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示，进而两式相减即可求出ab的值．
【详解】由勾股定理，得大正方形的面积为：，又小正方形的面积为
即
∴
∴ab=6
故选：B．
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题，考查了勾股定理，图形的面积，关键是用a、b表示大小正方形的面积．
7．D
【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，
利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，
利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，
利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．
【详解】解: A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得： ，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、四个小图形面积和等于大正方形面积， ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．
8．C
【分析】根据图形的特征得出线段之间的关系，进而利用勾股定理求出各边之间的关系，从而得出答案．
【详解】解：∵图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，
∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，
∴S1＝（CG+DG）2
＝CG2+DG2+2CG DG
＝GF2+2CG DG，
S2＝GF2，
S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG NF，
∵S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2，
∴S2的值是：7．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据已知得出S1+S2+S3＝21＝GF2+2CG DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG NF＝3GF2是解决问题的关键．
9．
【分析】分别用、和表示出、、，然后根据即可得出、、的关系．
【详解】解：在中，，
，
，，，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用．解题的关键是勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
10．见解析．
【分析】首先连结，作延长线于，则，根据 ，易证，再根据 ， ，两者相等，整理即可得证．
【详解】证明：连结，作延长线于，则
即，
∴
∴
即有：
∴
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．
11．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）根据正方形面积计算公式解答；
（2）利用面积法证明即可得到结论．
【详解】（1）；
（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，
∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，
∵，
∴，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
【点睛】此题考查勾股定理的证明，完全平方公式在几何图形中的应用，正确理解各部分图形之间的关系，正确分析它们之间的面积等量关系是解题的关键．
12．【初步运用】（1）5：9；（2）28；（3）24；（4）；【迁移运用】a2+b2﹣ab＝c2，证明见解析
【分析】初步运用：（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可；
（2）根据空白部分的面积=小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可；
（3）可设AC=x，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
（4）根据图形的特征得出四边形MNKT的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出S1，S2，S3，得出答案即可．
迁移运用：根据大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【详解】解：【初步运用】（1）由题意：b=2a，c=，
∴小正方形面积：大正方形面积=5a2：9a2=5：9，
故答案为：5：9；
（2）空白部分的面积为=52﹣2××4×6=28，
故答案为：28；
（3）24÷4=6，
设AC=x，依题意有：（x+3）2+32=（6﹣x）2，
解得x=1，
∴面积为：×（3+1）×3×4
=×4×3×4
=24，
故该飞镖状图案的面积是24；
（4）将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，
∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=40，
∴S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，
∴S1+S2+S3=3x+12y=40，
∴x+4y=，
∴S2=x+4y=，
故答案为：；
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab=c2．
理由：由题意：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，
可得：（a+b）×k（a+b）=3××b×ka+×c×ck，
∴（a+b）2=3ab+c2，
∴a2+b2﹣ab=c2．
【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键．

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