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2024年中考数学最值问题模型知识点梳理汇总
最值问题1-将军饮马
一. 将军饮马：
1. 标志特点：折线段和最小、差最大问题
2. 基本方法: “翻折”
3. 核心思想:
① 在哪找点，关于谁翻折；
② 翻定(点) 不翻动(点);
③ 异侧和最小，同侧差最大.
4. 考点：① 两点之间线段最短； ② 点到直线垂线段最短
二. 和最小：
1. 模型1: 如图1, A、B为定点, P为l上动点, 求AP+BP最小值.
分析：① 折线段和最小→“将军饮马”
② 在/上找点，关于/翻折
③ 异侧和最小，使得AP和BP在I的不同侧，翻折定点那么翻折A、B都可以
解析: ① 翻折AP, 则AP+BP=CP+PB≥BC(两点之间线段最短)
② 所求P点为 BC与l的交点
2. 模型2:
(1) 如图2, A为定点, B、 C分别为l 、l 上的动点,求△ABC 周长最小值.
(2) 如图3, A、D为定点, B、 C分别为l 、 l 上的动点，求四边形ABCD 周长最小值.
解析：
(1) ① 翻折AB、AC则AB+BC+AC=BD+BC+CE≥DE
∴最小值为DE
② 所求B、C为 DE 与l 、l 的交点.
(2) ① 翻折AB、DC则AB+BC+CD+AD (定值) =BE+BC+CF≥EF+AD(定值)
② 所求B、C为EF 与l 、l 的交点.
3. 模型3: 如图4, A为定点, B、C分别为直线l、 OA上的动点, 试求AB+BC最小值.
解析: ① 翻折AB至 DB,则AB+BC=BD+BC≥DE(点到直线垂线段最短)②B、C为DE与直线l、OA的交点.
4. 模型 4: “将军饮马有距离”
(1)如图5, A、D为定点, B、C为直线l上两动点, BC为定值, 求AB+BC+CD最小值
(2)如图6, A、D为定点, B、 C为直线l 、 l 上的动点, BC⊥l , 求AB+BC+CD最小值
解析：
(1) ①BC为定值,只需求AB+CD最小即可; ② 平移AB 至CE, 则变成求CE+CD 最小, 基本将军饮马.
(2) ①BC为定值, 只需求AB+CD 最小即可; ② 平移CD 至BE, 则变成求AB+BE最小, 基本将军饮马.
三. 差最大
1. 口诀：同侧差最大
2. 图形:如图1所示, A、B为定点, P为l上一动点, 试求|PB-PA|的最大值与最小值.
解析1：“最大值”
① 两边只差小于第三边, |PB-PA|≤AB, 当A、B、P 三点共线时, 取等号
② 所以连接BA并延长与l的交点即为所求点
解析2：“最小值”
① 绝对值具有非负性|PB-PA|≥0, 当AP=PB 时成立
②P为AB中垂线与l的交点.
四. 费马点：
1. 标志特征： “丫”线最值
2. 图形: 如图3, D为△ABC 内部一动点, 试求 的最小值.
解析：以△ABC一边(例如AB) 向外作等边三角形，连接对角线CE，则CE即为. 的最小值.
证明：
Step1: 将△ABD 向外旋转60°, 则可得
①AD=EF; ② 等边△BDF→BD=DF
Step2: DA+DB+DC=CD+DF+EF≥CE
最值问题2一轨迹法
一. 轨迹法：
1. 标志特点：遇“动点”，找轨迹
2. 考点：① 两点之间线段最短； ② 点到直线垂线段最短
3. 轨迹类型:
① 直线轨迹；
② 圆轨迹;
二. 轨迹找法
1. 直线轨迹:
① 直接看出； ② 瓜豆原理； ③ 夹角定位法；
(1) 主要说明：“夹角定位法”
如图1，l为定直线，A为l上一定点，B为动点，且AB 与直线l夹角为定值，则 B点的轨迹为直线l'.
【示例】如图2所示,等腰△ABC中,AB=AC, ∠B=30°,D为BC上一动点,以AD为边在右侧作等腰△ADE, AD=AE, ∠BAC=∠DAE,则动点E的轨迹为
解析: ① 易证△ABD≌△ACE (SAS)
∴∠ACE=30°, 即E点轨迹为直线
② 根据瓜豆原理，E点可以看做是D点绕A 点旋转120°得到的点，则E的轨迹为 BC绕点A 旋转120°的线段.
2. 轨迹为圆:
① 一中同长(定义) ; ② 定角对定边(一般为90° ) ③ 瓜豆原理
(1)一中同长：如图3，动点A到定点O的距离为定值，则A点的轨迹为以O为圆心的圆.
【示例】如图4,矩形ABCD中, AD=1, AB=5, E为AB上一动点, 连接DE 并将△ADE 沿着 DE翻折得到△DEF, 则F点的轨迹为
解析: ∵AD=DF=1,
∴F 是以D为圆心，l为半径的圆，由于E点从A运动到B，分析起始位置和终止位置，F的轨迹不完整，是一段弧线.
(2) 定角对定边: “一般为90°”
如图5, A为动点,满足∠A=90°,且∠A所对的边BC长度一定,则A点轨迹为以BC为直径的圆，圆心为BC的中点.
三. 基本模型
1. 点线轨迹：“点到直线垂线段最短”→斜≥垂
如图6, A为定点, C为直线l上一动点, 则AC≥AB(垂线)
由此可推论：“斜≥垂”
2. 点圆轨迹：如图1，A为定点，B为动点(轨迹为以定点O为圆心的圆)，求 AB的最大值与最小值.
解析：两边之差<第三边<两边之和
即AB 最大值为 最小值为
3. 线线轨迹: 如图2, 直线 A、B分别为 上的两个动点，求AB的最小值.
解析: “斜≥垂”
即AB 最小值为AC
4. 线圆轨迹：如图3，A为圆O上动点，B为直线l上动点，则.
最值问题3-胡不归与阿氏圆
一. 胡不归问题(变速问题
1. 问题形式: 如图1, A、C为定点, B为直线CB上一动点,求AB+kBC的最小值(12. 特征：动点在直线上
3. 解题步骤: 如图2
Step1: 异侧造 Rt△CBT, 使得sinC=k
Step2: 作 BT⊥CT, 则 BT=kBC, 系数化“1”
∴AB+kBC=AB+BT≥AT'
【点拨】作图时，以BC 为斜边在异侧找直角边=kBC
二. 阿波罗尼斯圆
1. 问题形式: 如图3, A、C为定点, B为圆O上一动点,求AB+kBC的最小值(12. 特征: ① 动点在圆上; ② 隐含条件: r=kOC
3. 解题步骤: 如图4
Step1: 以BC 与圆心框出△CBO, 并取OT=kr(T为定点)
Step2: 易证△BOT∽△COB (SAS)
∴BT=kBC
∴AB+kBC=AB+BT≥AT
最值问题4-代数法
一. 代数法
1. 求函数解析式: ① 二次函数; ② like函数(均值不等式);
2. 解题思路：以主动点作为自变量，求出函数解析式进而求得最值
二. 基本函数类型：
1. 二次函数:
利用配方法或图像法直接求解最值，这里不作详细讲解
【例1】 (2019自编)如图2,等腰△ABC中, D为BC上一动点, E为AC上一动点,连接AD、DE, D、E满足∠1=∠B=∠C, 若AB=5, BC=6, 则在D 移动过程中,CE的最大值为 .
解析: B 为主动点, 即自变量, 设BD 为x, 则CD=6-x, 易证:
△ABD∽△CDE, 则 ∴当x=3时, CE最大值
2. Like函数: 这里只作ax>0, bx>0时候的探索
核心技巧：均值不等式
【例2】 (1)求函数 的最小值； (2) 求函数 的最小值；
解析： 即y的最小值为2
【例3】(2018成都 B27改编)如图3,已知 Rt△ABC中,高, 则 面积的最小值为 9 .解析：B点可动，设BD为x，由射影定理可知
第5讲 旋转
一、基本性质：
1、性质：① 对应边相等；②对应角相等；③旋转角相等(对应边的夹角，第3个用8字)
2、必记:① 转60°,两个等边△; ② 转90°,两个等腰直; ③ 转 120°,两个1:1:
3、基本模型
【模型1 半角模型】
如图, 已知正方形ABCD中, ∠MAN=45°, 则有:
(1) MN= BM+DN;
(2) C△CMN=2×. 正方形边长；
(4) AM平分∠BMN, AN平分∠DNM;
(5) A到MN距离等于正方形边长；
(6) △AEN、△AFM 都是等腰直角三角形(初三证) ;
【模型2 “丫”字模型】 (略→寒假已重点讲解)
【模型 3 费马点】“丫”字模型的特殊转法
如图,已知△ABC,在△ABC内找一点 P,使得PA+PB+PC的值最小,求最小值
解析: Step1: 以△ABC任一边向外作等边三角形(例如等边△BCD)
Step2: 连接对顶点 AD, 则 AD 即为PA+PB+PC的最小值
【备注】暂时记住，不需要知道为什么！
4、一条线段的最值问题：① 点到直线垂线段最短；② 两边只差<第三边<两边之和(共线可取等)
(1)如图所示，D点从△ABC中 BC边的B点运动到C点，在此过程中AD的最值为
解析: ① 垂直时, 即 AD 为AD 最小值; ② 越远离D , AD 越长, 则此图中AB 即为 AD 最大值.
(2) 如图所示, AB=a, BC=b, 求线段AC的最值
解析: a-b≤AC≤a+b
【备注】三角形的确定为问题线段+旋转中心☆ 当有90°时，旋转中心一般为斜边中点
5、旋转两种方式：
(1) 转条件：① 找到等长共顶点以及旋转中心；② 找到想要转移的条件线段确定三角形； ③ 构造等腰三角形进行旋转.
(2)转问题：① 找到等长共顶点以及旋转中心；② 找到想要转移的问题线段确定三角形； ③ 构造等腰三角形进行旋转.
【备注】两种旋转方式优先主推旋转问题，这是最简洁的方式！
【例题展示】 (2018自编)点 A为线段 BC外一动点, BC=3, AB=2, 以 AC为边作等边△ACD,连接BD, 则线段 BD 的最大值为 .
(法一) “转条件”
【思路】如图所示，利用条件AB、BC以及等长线段AC确定旋转△ABC
【解析】绕点A旋转△ABC至△AED 处, 易证等边△ABE(转60°, 两个等边)
∴AB=BE=AE=2, BC=DE=3
∴DE-BE≤BD≤DE+BE
即1≤BD≤5
(法二) “转问题”
【思路】如图所示，利用条件 BD以及等长线段AD确定旋转△ABD
【解析】绕点 D 旋转△ABD至△DCE处, 易证等边△DBE(转( 两个等边)
∴BD=BE=DE, AB=CE=2
∵DC-CE≤BE≤DC+CE
即1≤BE≤5
第 6 讲 几何变化之旋转
一、几何变化之旋转(“手拉手”全等 逆过程)
1、标志: ① 等线段 ② 共端点
2、图示: 如图1,① 等线段: AB=AC; ② 共端点: 公共端点A;③ 旋转: 将△ABD绕点 A 旋转至△ACE 处
【警示】线段之和必先证明“三点共线”
3、作用：转移线段、角度.
4、性质：(1) 角度：对应角相等、旋转角相等； (2) 对应边相等：两组等腰三角形
【点拨 1 】 “旋转角相等”
如图2所示, △ABD ≌ △ACE
∠BAC=∠DAE=∠BFC(其中∠BFC需使用“8”字证明相等)
【点拨2】① 旋转90°,两个等腰Rt△; ② 旋转60°, 两个等边△
(1)如图3, 将△ABD绕点 A 旋转 90°至△ACE 处, 则
有: ①等腰Rt△ABC、②等腰Rt△ADE
☆等腰Rt△: AB:AC:BC=1:1:
(2) 如图4, 将△ABD绕点A 旋转 60°至△ACE 处, 则
有: ① 等边△ABC、② 等边 Rt△ADE
等边△: AB:AC:BC=1:1:1
5、常见的等线段共端点：① 相等线段；② 等腰三角形； ③正方形；④ 中点； ⑤ 斜边中线
6、解决问题：(1)线段关系：和差关系(截长补短)、平方关系(勾股定理)
(2) 线段的计算
(3) 问题转化
二、半角模型: (90°夹45° )
如图,已知正方形ABCD中, ∠MAN=45°, 则有:
(1) MN= BM +DN;
正方形边长；
(4) AM平分∠BMN, AN平分∠DNM;
(5) A到 MN距离等于正方形边长；
(6) △AEN、△AFM都是等腰直角三角形(初三证) ;
【示例证明1】 “ MN= BM +DN”
如图11, 将△ADN绕点 A 旋转至△ABP 处
∴∠D=∠ABP=90°, ∠1=∠2
AP=AN
∵∠ABP+∠ABM=180°
∴P、B、M三点共线(旋转辅助线要证明三点共线)
∴∠1+∠3=45°
∴∠PAM=∠MAN
又∵AP=AN, AM=AM
∴△APM ≌ △ANM(SAS)
∴PB+BM=MN
即MN = BM +DN
【示例证明
如图12, 将将△ADF绕点A旋转至△ABP处, 连接PE
∴∠ADF=∠ABP=45° , ∠1=∠2
AP=AF
∴∠PBE=90°
易证△APE ≌ △AFE(SAS)
三、 “丫”字模型：
1、 “丫”字：平面内一点向三角形(主要是等腰三角形)三个顶点的连线形成的“丫”字图形.其中, a、b、c称之为“丫”线, 中心点O称之为“丫”点.
2、 “丫”字的分类:
① 内丫：当丫点O在三角形内部时，我们称之为内丫，如图14
② 线丫：当丫点O在三角形边上时，我们称之为线丫，如图15
③ 外丫：当丫点O在三角形外部时，我们称之为外丫，如图16
3、问题类型：
(1)证明a、b、c的和差关系(含系数) ，利用旋转截长补短；
(2) 证明a、b、c的平方关系
(3) 求解线段长度及角度
4、常考三类等腰三角形：
① 等边三角形； ② 等腰直角三角形； ③ 120°等腰三角形；
5、重要结论：
(1) “内丫”
I) 等边三角形：
等边△ABC, AB=AC; D为内部一点,当 时，旋转 则有结论:
①B、D、E“不”共线;
② ∠ADB=∠AEC=90°+60°=150° ;
II) 等腰直角三角形：
等腰Rt△ABC, AB=AC; D为内部一点, 当 时, 旋转△ABD, 则有结论:
①B、D、E三点共线;
② ∠ADB=∠AEC=90°+45°=135°;
III) 120°等腰三角形:
等腰△ABC, AB=AC; , ∠BAC=120° , D为内部一点,当 时, 旋转△ABD, 则有结论：
①B、D、E“不”共线;
② ∠ADB=∠AEC=90°+30°=120° ;
(2) “线丫”
I) 等边三角形：
等边△ABC, D为BC上一点, 旋转△ABD至△ACE,连接DE, 则有结论:
② 已知a、b、c中任意两条边可以求第三条边；
II) 等腰直角三角形：
等腰Rt△ABC中, D为BC上一点, 旋转△ABD至△ACE,连接DE,则有结论:
III) 120°等腰三角形:
等腰△ABC中,∠BAC=120°, D为BC上一点, 旋转△ABD至△ACE, 连接DE,则有结论:
② 已知a、b、c中任意两条边可以求第三条边；
(3) “外丫1” :
等腰△ABC, AB=AC, ∠BAC+∠BDC=180° (对角互补) 则有结论:
I) ∠1=∠2;
II) ①∠BAC=60°时, PB+PC=PA;
②∠BAC=90°时,
③∠BAC=120°时,
(4) “外丫2” :
等腰△ABC, AB=AC;等腰△ADE, AD=AE; ∠BAC=∠DAE, 当B、D、E三点共线时, 则有结论:
I) ∠BEC=∠BAC=90°(旋转角相等,“8”字可证) ;
Ⅱ) ①∠BAC=60°时, BE-EC=AE;
②∠BAC=90°时,
③∠BAC=120°时,
6、例题训练：
【模型1】 “内丫”
(2017改编)如图19, 等腰Rt△ABC中 AP=2, BP=1, PC=3, (1) 求 的度数; (2) 求AC 的长度.
【模型2】 “线丫”
如图20,等腰 Rt△ABC中, P是BC上一点. (1) 写出AP、BP、PC 数量关系并给出证明; (2) 当∠BAP=15°时, 试求△ABC的面积.
【模型3】 “外丫1”左右
如图所示，等腰. 等腰. ,当B、D、E在一条直线上时. (1)试求 的度数; (2) 求证: (3)求证: (4)当 时, 求 的面积.
【模型4】 “外丫2”下面
如图22所示，将两个三角板如图放置，其中 度.
(1) 求证: AP平分. (2)求 证: (3) 将 沿着 BC 进行翻折(如图23) 所示: ① 求证: ② 试求 的值.

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