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(共18张PPT)
第六章圆周运动
6.4.4与弹力有关的
临界极值问题
与弹力有关的临界极值问题
①压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；
②绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
类型一：
F合
T
mg
类型二：
T
F合
mg
【例1】如图所示，用一根长为 l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球（可视为质点）， 另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT（sin37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，结果可用根式表示）。求：
（1）若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
（2）若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
【例2】如图所示，转动轴垂直于光滑水平面，交点O的上方h(A点)处固定细绳的一端，细绳的另一端拴接一质量为m的小球B，绳长l大于h，转动轴带动小球在光滑水平面上做圆周运动，重力加速度为g。当转动的角速度ω逐渐增大时，下列说法正确的是( )
A．小球始终受三个力的作用
B．细绳上的拉力始终不变
C．要使球不离开水平面，角速度的最大值为
D．若小球飞离了水平面，则角速度可能为
C
类型三：
A
B
C
如图所示，AC,BC两根绳子。要使AC,BC都不松弛，杆转动的角速度ω的取值范围是多少？
A
B
C
一开始ω很小时，BC是松弛的
最小ω为只有AC有力，BC恰好伸直，但无力的作用
A
B
C
θ
α
θ
mg
T
F合
l1
l2
A
B
C
θ
α
θ
mg
T
F合
l1
l2
A
B
C
θ
l1
l2
当ω很大时，AC会松弛的，如左图
最大ω为只有BC有力，AC恰好伸直，但无力的作用,如右图
【例3】如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问：
（1）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？
（2）当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
解：（1）当AC绳拉直但没有力时，即FT1=0时，由重力和绳BC的拉力FT2的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
mgtan45°=mωmax2r其中：r=l sin30°
解得：ωmax=3.16 rad/s
当BC恰好拉直时，FT2恰为零时，根据牛顿第二定律，有：
mgtan30°=m ωmin2r解得：ωmin=2.4 rad/s
所以当2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s时两绳均张紧．
（2）当ω=3 rad/s时，两绳均处于张紧状态，此时小球受FT1、FT2、mg三力作用，正交分解后可得：
水平方向：FT1sin30°+FT2sin45°=mlsin30°ω2
竖直方向：FT1cos30°+FT2cos45°=mg
代入数据后解得：
FT1=0.27 N FT2=1.09 N
故：（1）小球的角速度在2.4 rad/s＜ω＜3.16 rad/s范围内两绳均张紧；
（2）当ω=3rad/s时，AC绳拉力为0.27N，BC绳拉力1.09N．
例4.如图所示，质量为1 kg、大小不计的小球在P点用两根
长度相等、不可伸长的细绳系于竖直杆上，随杆在水平面
内做匀速圆周运动。A、B间的距离与绳长均为1 m。(重力
加速度g取10 m/s2)
(1)当ω1＝4 rad/s时，细绳AP和BP上的拉力分别为多少？
(2)当ω2＝5 rad/s时，细绳AP和BP上的拉力分别为多少？

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