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2024年山东省春季高考第二次模拟考试
数学试题
1．本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟．
2．本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01．
卷一（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出．
1．已知集合，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．若成等比数列，则实数的值是（ ）．
A．5 B．或5 C．4 D．或4
3．函数，则角所在的象限可能是（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知向量，则等于（ ）．
A． B．6 C． D．18
5．已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（ ）．
A． B． C． D．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）．
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
7．已知函数是偶函数，且该函数的图像经过点，则下列等式恒成立的是（ ）．
A． B． C． D．
8．以点为圆心的圆，若有一条直径的两端点分别在两坐标轴上，则该圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
9．已知命题：若是自然数，则是整数，则是（ ）．
A．若不是自然数，则不是整数 B．若是自然数，则不是整数
C．若是整数，则是自然数 D．若不是整数，则不是自然数
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）．
A．函数的最大值是
B．函数在上单调递增
C．该函数的最小正周期是
D．该函数向左平移个单位后图像关于原点对称
11．已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（ ）．
A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8
12．如图所示，动点在边长为1的正方形的边上沿运动，表示动点由点出发所经过的路程，表示的面积，则函数的大致图像是（ ）．
A． B．
C． D．
13．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
14．如图所示，在正方体中，点为上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（ ）．
A． B． C． D．
15．三位男同学和两位女同学随机站成一列，则两位女同学相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
16．已知，若集合，则“”是“”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17．甲乙两名歌手参加选拔赛，5位评委评分情况如下：
甲：；乙：，
记甲、乙两人的平均得分分别为，则下列判断正确的是（ ）
A．，甲比乙成绩稳定 B．，乙比甲成绩稳定
C．，甲比乙成绩稳定 D．，乙比甲成绩稳定
18．下列约束条件中，可以表示如图所示区域（阴影部分）的是（ ）．
A． B． C． D．
19．如图所示，在矩形中，为与的交点，则等于（ ）．
A． B． C． D．
20．某校一年级有四个班，4位老师各教一个班的数学，在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的监考安排方法种数是（ ）．
A．8 B．9 C．12 D．24
卷二（非选择题，共60分）
二、填空题：本大题5个小题，每小题4分，共20分．请将答案填在答题卡相应题号的横线上．
21．计算：______．
22．已知圆柱的底面半径为4，侧面面积为，则该圆柱的母线长等于______．
23．已知二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，______．
24．已知，且，那么______．
25．如图所示，已知双曲线的焦点分别是是等边三角形，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率等于______．
三、解答题：本大题共5个小题，共40分．
26．（本小题7分）已知是二次函数，且．
（1）求的解析式；
（2）若，求函数的最小值和最大值．
27．（本小题8分）已知数列．求：
（1）数列的通项公式；
（2）数列的前项和的最大值．
28．（本小题8分）如图所示，是海面上位于东西方向的两个观测点，海里，点位于观测点北偏东，且观测点北偏西的位置，点位于观测点南偏西，且海里．现点有一艘轮船发出求救信号，点处的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时．求：
（1）的距离；
（2）该救援船到达点所需要的时间．
29．（本小题8分）已知三棱锥中，平面，过点分别作平行于平面的直线交于点．
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，，求直线与平面所成角的正切值．
30．（本小题9分）已知椭圆的焦点分别是，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且，求实数的值．
参考答案
2024年山东省春季高考第二次模拟考试
数学
一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分）
1．A【解析】因为集合的公共元素是3，根据交集的定义可知，故选A．
【难度】1
【知识点】集合的交集运算
2．D【解析】由题意可知，解得，故选D．
【难度】1
【知识点】等比中项
3．B【解析】由三角函数的定义可知，，则是第二象限角，故选B．
【难度】1
【知识点】三角函数象限角符号的判定
4．C【解析】因为向量，所以，且，则，故选C．
【难度】2
【知识点】数乘向量，内积的定义
5．C【解析】因为直线平行于直线，所以直线可设为，因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得，所以直线方程是
【难度】2
【知识点】两直线平行及直线在y轴上的截距
6．D 【解析】由圆锥的三视图可知该几何体是底面半径为1，高为的圆锥，故选D．
【难度】2
【知识点】圆锥的三视图
7．D 【解析】因为函数是偶函数，且该函数的图像经过点，所以．
【难度】2
【知识点】偶函数的性质
8．B 【解析】已知以为圆心的圆，有一条直径的两端点分别在两坐标轴上，因此圆心即为该直径的中点，所以两端点坐标分别是，所以半径等于，因此圆的方程是．
【难度】2
【知识点】圆的标准方程，中点公式
9．B 【解析】命题的非，不否定条件，只否定结论．注意与否命题的区分，否命题是把原命题的条件、结论均否定．
【难度】2
【知识点】命题的非
10．B 【解析】函数，则最大值是2，最小正周期是，所以选项A，C错，图像向左平移得到函数，不关于原点对称，因此选项D错，由该函数的图像可知，选项B正确．
【难度】3
【知识点】正弦型函数的图像和性质
11．D【解析】如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，
所以点的纵坐标为，因为点在抛物线上，所以横坐标为，到准线的距离为5，
即，解得或．
【难度】2
【知识点】抛物线的定义及方程
12．A 【解析】当时，，是一条过原点的线段，当时，，是一段平行于轴的线段；当时，，因此该函数的图像是A．
【难度】3
【知识点】分段函数的解析式和图像
13．A 【解析】已知函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，因为，因此，所以的取值范围是，故选A．
【难度】3
【知识点】二次函数的性质及不等式的基本性质
14．B 【解析】由图可以看出，当点运动到的中点时，与直线相交；当点运动到点时，与直线平行，与直线相交，但无论运动到何处，始终是与直线异面．
【难度】3
【知识点】直线与直线的位置关系
15．B 【解析】五位同学排成一列的排法有种，其中两位女同学相邻的排法有种，所以两位女同学相邻的概率是．
【难度】2
【知识点】概率，排列数
16．A 【解析】若，则或，所以，由推不出，故选A．
【难度】1
【知识点】集合与集合，元素与集合的关系，充要条件
17．B 【解析】；
；
，
所以，乙比甲成绩稳定
【难度】1
【知识点】平均数，方差
18．B【解析】由图知，直线为实线，可行域位于直线下方，所以，直线为虚线，且点不在区域内，代入，可得．
【难度】1
【知识点】二元一次不等式组表示的平面区域
19．B 【解析】．
【难度】2
【知识点】向量的线性运算
20．B【解析】设四个班分别是A，B，C，D，对应的数学老师分别是．让老师先选，可从B，C，D班中选一个，有3种选法，不妨假设老师选的是B，则老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法，由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法．
【难度】2
【知识点】计数原理
二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）
21．1【解析】根据对数的性质，底的对数是1，1的对数是0，因此．
【难度】1
【知识点】对数的性质
22．2【解析】根据圆柱的侧面面积公式，其中，所以，所以该圆柱的母线．
【难度】1
【知识点】圆柱的侧面积公式
23．10【解析】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质可得．
【难度】1
【知识点】二项式系数的性质，组合数的性质
24．【解析】，
因为，所以．
【难度】2
【知识点】二倍角公式，同角三角函数基本关系式
25． 【解析】因为是等边三角形，点是的中点，则，，则，
又点在双曲线上，则，
即，所以．
【难度】3
【知识点】双曲线的定义和性质，余弦定理
三、解答题（本大题共5个小题，共40分）
26．（本小题7分）
解：（1）设二次函数为，由题意得
解得
所以函数．
（2）函数，开口向下，对称轴，
即函数在单调递增，在单调递减，
所以，．
【难度】1
【知识点】二次函数解析式，二次函数的图像和性质．
27．（本小题8分）
解：（1）由，可知，
所以数列是以13为首项，以-4为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可知，设，解得，
即，所以数列的前4项和最大，
最大值为．
【难度】（1）1（2）2
【知识点】等差数列的定义，通项公式，前项和公式
28．（本小题8分）
（1）由题意可知，，
则
，
在中，，由正弦定理可得，
即，
解得（海里）．
（2）在中，，
由余弦定理可得
所以，则（小时），
所以该救援船到达点需要的时间为1小时．
【难度】（1）1（2）1
【知识点】正弦定理，余弦定理
29．（本小题8分）
（1）证明：因为平面平面，，所以平面平面，
因为平面平面，
所以平面．
（2）解：连接，
因为平面平面，所以，
则是直线在平面内的射影，
因此是直线与平面所成的角，
在中，，因此，
因为点是的中点，所以，
在中，，
所以直线与平面所成角的正切值是．
【难度】（1）1 （2）2
【知识点】面面平行的性质定理，直线与平面所成的角
30．（本小题9分）
解：（1）设椭圆的标准方程为．
解得
所以椭圆的标准方程为．
（2）设．
联立方程
消去，得，
则，
从而
．
因为，即，
，
解得或，
经验证知，所以的值为或．
【难度】（1）1 （2）3
【知识点】椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系

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