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湖南省永州市东安县天成学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题。（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2020八上·长沙期末）下列代数式中，分式有（　　）个
， ， ， ， ， ， ， ，
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2024八上·东安期末）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·东安期末）2016年11月22日，日本东北部外海发生里氏7.3级大地震，导致当天地球的自转时间较少了0.0000016秒，将0.0000016用科学记数法表示为（　　）
A．16×10﹣7 B．1.6×10﹣6 C．1.6×10﹣5 D．16×10﹣5
4．（2017七下·河东期中）下列说法错误的是（　　）
A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1
C． 是2的平方根 D． 是 的平方根
5．如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
6．（2024八上·东安期末）如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（　　）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a＝﹣1 D．a＝﹣2
7．（2024八上·东安期末）已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
8．（2024八上·东安期末）已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（　　）
A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C． D．
9．（2024八上·东安期末）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（2021八上·宁波期中）如图， 中， ， ， 的平分线 交 于点F， 平分 .给出下列结论：① ；② ；③ ；④ .正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填在答题纸上）
11．（2020七下·津南月考） 的平方根是　 　．
12．（2024八上·东安期末）若y有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
13．（2024八上·东安期末）若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围　 　．
14．（2018七上·襄州期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为 　 　 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=　 　
16．（2024八上·东安期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是　 　．（填序号）
三、解答题。（本大题7个小题，17题6分，18题16分；19、20每题8分，21题10分；22、23每题12分，共计72分）
17．（2024八上·东安期末）计算：
18．（2024八上·东安期末）解方程和不等式：
（1）；
（2）2x+8≥3（x+1）；
（3）（x+10）3＝﹣343；
（4）9（x﹣2）2＝1．
19．（2024八上·东安期末）求满足不等式组的所有整数解．
20．（2024八上·东安期末）如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
21．（2024八上·东安期末）先化简：； 再在不等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值．
22．（2021八下·防城月考）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元。
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值。
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克(x为整数)，求有哪几种购买方案。
（3）在(2)的条件下，求超市在获得的利润的最大值。
23．（2024八上·东安期末）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝4，AD＝BC＝5．延长BC到E，使CE＝2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）请用含t的式子表达△ABP的面积S；
（2）是否存在某个t值，使得△DCP和△DCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：根据分式的定义，可知分式有：
， ， ， ， 共4个，
故答案为：B．
【分析】 形如，、是整式，中含有字母且不等于的式子叫做分式，其中叫做分式的分子，叫做分式的分母，根据分式的定义一一判断即可作答。
2．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，A正确；
B、 ，B错误；
C、 ，C错误；
D、 ，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的除法、同类二次根式、二次根式的乘法、二次根式的性质逐项计算即可.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】 0.0000016=1.6×10-6，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4．【答案】A
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、1的平方根为±1，错误；
B、﹣1的立方根是﹣1，正确；
C、 是2的平方根，正确；
D、﹣ 是 的平方根，正确；
故选A
【分析】利用平方根及立方根定义判断即可得到结果．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确．
故答案为：B．
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
6．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】∵关于x的不等式2x﹣a≤﹣1，
∴不等式的解集为，
根据数轴可得不等式的解集为x≤-1，
∴，
解得：a=-1，
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，再根据数轴可得不等式的解集可得，再求出a的值即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： ，
AB-3=0，6-BC=0，
解得：AB=3，BC=6，
三角形ABC 是等腰三角形，
当AB=3是底边，BC=6是腰时，周长为3+6+6=15；
当AB=3是腰，BC=6底边时，三边分别为3，3，6，不能构成三角形.
故答案为：B.
【分析】先根据绝对值的非负性求出AB=3，BC=6，再根据等腰三角形的性质分类讨论，当AB=3是底边，BC=6是腰时；当AB=3是腰，BC=6底边时，再利用三角形周长计算公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】根据题意可得：，
由①+②可得：1≤2a≤5，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质将两个不等式组相加，可得1≤2a≤5，再求出a的取值范围即可.
9．【答案】B
【知识点】分式方程的增根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】将分式方程变形为3（x+1）+ax2=2x（x+1）-3x，
∵分式方程的增根为x=-1，
∴将x=-1代入3（x+1）+ax2=2x（x+1）-3x，可得a=3，
∴2a-3=2×3-3=3，
故答案为：B.
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=-1代入计算求出a的值，最后将a的值代入2a-3计算即可。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；同余及其性质（奥数类）；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，
∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF=90°，
∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF=∠AFE，故②正确；
∵∠ABE=∠CBE，
∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等可判断①；由角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，根据等角的余角相等可推出∠AEF=∠BFD，由对顶角的性质可得∠AFE=∠BFD，据此判断②③；由∠AEF=∠AFE可得AE=AF，结合等腰三角形的性质可判断④.
11．【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解： ＝10，
10的平方根是 ．
故答案为： ．
【分析】根据平方根的定义求解即可。
12．【答案】x≤，且x≠1
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得： x≤且x≠1，
故答案为：x≤且x≠1.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由不等式①得，
由不等式②得，
此不等式组解集为：，
此不等式组无解，
.
故答案为： .
【分析】 先求出两个不等式的解集，再根据不等式无解可知两个解集无公共部分，即可解答.
14．【答案】7或11
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
①当15是腰长与腰长一半时，AC+ AC=15，解得AC=10，
所以底边长=12- ×10=7；
②当12是腰长与腰长一半时，AC+ AC=12，解得AC=8，
所以底边长=15- ×8=11．
所以底边长等于7或11．
故填7或11
【分析】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．①当15是腰长与腰长一半时，列出方程AC+ AC=15，求解算出腰长，进而根据底边与腰长的一半的和等于12即可算出底边的长；②当12是腰长与腰长一半时，根据题意列出方程AC+ AC=12，求解算出腰长，进而根据底边与腰长的一半的和等于15即可算出底边的长，综上所述即可得出答案。
15．【答案】45°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD=45°，
故答案为∠CHD=45°
【分析】利用三角形的三条高相交于一点可得CF⊥AB，利用三内角之和为180°，可得∠CHD的度数。
16．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90° ∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°，
∵∠APO＋∠DCO＝30°，
∴∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180° （∠OPC＋∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180° ∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP，故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴＝AB CH，
＝AP CH＋OA CD＝AP CH＋OA CH
＝CH （AP＋OA）
＝CH AC，
∴；
故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】①连接OB，根据等边对等角可得∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；
②先根据三角形内角和定理得∠APC＋∠DCP＝150°，再由①中∠APO＋∠DCO＝30°可得∠OPC＋∠OCP＝120°，故可得∠POC＝60°，又 OP＝OC， 即可判定 △OPC是等边三角形；
③在AC上截取AE＝PA，可证得△OPA≌△CPE，故AO＝CE，等量代换即可得到 AC＝AO＋AP ；
④过点C作CH⊥AB于H，可得＝AB CH，＝AP CH＋OA CD＝AP CH＋OA CH，化简整理可得=CH AC，故可得 S△ABC＝S四边形AOCP .
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先根据负数的绝对值等于它的相反数、零指数幂、负整数指数幂以及立方根计算，再计算加减即可.
18．【答案】（1）解：，
去分母，可得：3-2=3（2x-2），
去括号，可得：3-2=6x-6，
移项，合并同类项，可得：6x=7，
系数化为1可得：x=，
经检验，x=是方程的解；
（2）解：2x+8≥3（x+1）；
去括号，可得：2x+8≥3x+3，
移项，合并同类项，可得：-x≥-5，
系数化为“1”，可得：x≤5；
（3）解：（x+10）3＝﹣343；
两边同时开立方，可得：x+10=-7，
移项，合并同类项，可得：x=-17；
（4）解： 9（x﹣2）2＝1，
（x-2）2=，
x-2=±，
解得：x1=，x2=，
故答案为：x=；x≤5；x=-17；x1=，x2=.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可；
（3）利用立方根的计算方法分析求解即可；
（4）利用平方根的计算方法分析求解即可.
19．【答案】解：解不等式x-3（x-2）≤8，得：x≥-1，得：x＜2，
则不等式组的解集为-1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为-1、0、1．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集再求出整数解即可.
20．【答案】（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为24．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由，点D是的中点，可得，，利用SAS即可证明 .
（2）由 ，， 根据外角的性质可得 ，再利用平行线的性质，进而可证 ，即可得 是等边三角形， 再计算周长即可.
21．【答案】解：解不等式3-（a+1）＞0，得：a＜2，
解不等式2a+2≥0，得：a≥-1，
则不等式组的解集为-1≤a＜2，
其整数解有-1、0、1，
∵a≠±1，
∴a=0，
则原式=1．
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
=
=
=，
解不等式3-（a+1）＞0，得：a＜2，解不等式2a+2≥0，得：a≥-1，
则不等式组的解集为-1≤a＜2，
其整数解有-1、0、1，
∵a≠±1，
∴a=0，
将a=0代入可得，
故答案为：1.
【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再求出不等式组的解集，最后将符合条件的a的值代入计算即可.
22．【答案】（1）解：依题意，得： 解得：
答： m的值为10， n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100-x)千克，
依题意，得：
解得： 58≤x≤60
∵x为正整数，
∴x=58，59，60，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克。
（3）设超市获得的利润为y元，则y=(16-10)x+(18-14)(100-x)=2x+400
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值，最大值为2×60+400=520
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的实际应用，根据各自的单价m和n，以及第（1）题中给到的数量和金额的条件列方程组计算即可；
（2）设甲蔬菜数量为x千克，表示出乙蔬菜的数量，再利用第（1）题计算出的单价整理出总金额，结合条件列不等式组，计算出x的取值范围，注意取整数，在范围内写出对应的方案；
（3）用甲乙两种蔬菜各自的利润×数量，得出总利润的表达式，然后在第（2）题的三种方案中选择利润最大的方案，并求最值即可。
23．【答案】（1）解：①当P在BC上时，
由题意得：BP=2t（0＜t≤2.5），△ABP的面积S=
0.5AB×BP=0.5×4×2t=4t；
②当P在CD上时，（2.5＜t≤4.5），△ABP的面积S=0.5AB×BC=0.5×4×5=10；
③当P在AD上时，由题意得AP=14-2t（4.5＜t＜7），△ABP的面积S=
AB×AP=0.5×4×（14-2t）=28-4t；
（2）解：①当P在BC上时，
由题意得BP=2t，
要使△DCP≌△DCE，则需CP=CE
∵CE=2
∴5-2t=2，
∴t=1.5
即当t=1.5时，△DCP≌△DCE；
②当P在CD上时，不存在t使△DCP和△DCE全等；
③当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP=2t，
∵BC=5，CD=4，
∴DP=2t-9
要使△DCP≌△CDE，则需DP=CE，
即2t-9=2，
∴t=5.5，
即当t=5.5时，△DCP≌△CDE；
综上所述，当t=1.5或t=5.5时，△DCP和△DCE全等．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【分析】（1）分类讨论： ①当P在BC上时，②当P在CD上时，③当P在AD上时，再分别列出三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（2）分类讨论： ①当P在BC上时，②当P在CD上时，③当P在AD上时， 再利用分别利用全等三角形的性质列出方程求解即可.
1 / 1湖南省永州市东安县天成学校2023-2024学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题。（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2020八上·长沙期末）下列代数式中，分式有（　　）个
， ， ， ， ， ， ， ，
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】分式的定义
【解析】【解答】解：根据分式的定义，可知分式有：
， ， ， ， 共4个，
故答案为：B．
【分析】 形如，、是整式，中含有字母且不等于的式子叫做分式，其中叫做分式的分子，叫做分式的分母，根据分式的定义一一判断即可作答。
2．（2024八上·东安期末）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、 ，A正确；
B、 ，B错误；
C、 ，C错误；
D、 ，D错误.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的除法、同类二次根式、二次根式的乘法、二次根式的性质逐项计算即可.
3．（2024八上·东安期末）2016年11月22日，日本东北部外海发生里氏7.3级大地震，导致当天地球的自转时间较少了0.0000016秒，将0.0000016用科学记数法表示为（　　）
A．16×10﹣7 B．1.6×10﹣6 C．1.6×10﹣5 D．16×10﹣5
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】 0.0000016=1.6×10-6，
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
4．（2017七下·河东期中）下列说法错误的是（　　）
A．1的平方根是1 B．﹣1的立方根是﹣1
C． 是2的平方根 D． 是 的平方根
【答案】A
【知识点】平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、1的平方根为±1，错误；
B、﹣1的立方根是﹣1，正确；
C、 是2的平方根，正确；
D、﹣ 是 的平方根，正确；
故选A
【分析】利用平方根及立方根定义判断即可得到结果．
5．如图，AB=DB，∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC≌△DBE的是（　　）
A．BC=BE B．AC=DE C．∠A=∠D D．∠ACB=∠DEB
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加BC=BE，可根据SAS判定△ABC≌△DBE，故正确；
B、添加AC=DE，SSA不能判定△ABC≌△DBE，故错误；
C、添加∠A=∠D，可根据ASA判定△ABC≌△DBE，故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB，可根据AAS判定△ABC≌△DBE，故正确．
故答案为：B．
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE，已知AB=DB，∠1=∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案．
6．（2024八上·东安期末）如图，是关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，则a的取值是（　　）
A．a≤﹣1 B．a≤﹣2 C．a＝﹣1 D．a＝﹣2
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】∵关于x的不等式2x﹣a≤﹣1，
∴不等式的解集为，
根据数轴可得不等式的解集为x≤-1，
∴，
解得：a=-1，
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，再根据数轴可得不等式的解集可得，再求出a的值即可.
7．（2024八上·东安期末）已知等腰三角形ABC的两边满足，则此三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解： ，
AB-3=0，6-BC=0，
解得：AB=3，BC=6，
三角形ABC 是等腰三角形，
当AB=3是底边，BC=6是腰时，周长为3+6+6=15；
当AB=3是腰，BC=6底边时，三边分别为3，3，6，不能构成三角形.
故答案为：B.
【分析】先根据绝对值的非负性求出AB=3，BC=6，再根据等腰三角形的性质分类讨论，当AB=3是底边，BC=6是腰时；当AB=3是腰，BC=6底边时，再利用三角形周长计算公式计算即可.
8．（2024八上·东安期末）已知0≤a﹣b≤1且1≤a+b≤4，则a的取值范围是（　　）
A．1≤a≤2 B．2≤a≤3 C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】根据题意可得：，
由①+②可得：1≤2a≤5，
解得：，
故答案为：C.
【分析】利用不等式的性质将两个不等式组相加，可得1≤2a≤5，再求出a的取值范围即可.
9．（2024八上·东安期末）若关于x的方程有增根x＝﹣1，则2a﹣3的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【知识点】分式方程的增根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】将分式方程变形为3（x+1）+ax2=2x（x+1）-3x，
∵分式方程的增根为x=-1，
∴将x=-1代入3（x+1）+ax2=2x（x+1）-3x，可得a=3，
∴2a-3=2×3-3=3，
故答案为：B.
【分析】先将分式方程化为整式方程，再将x=-1代入计算求出a的值，最后将a的值代入2a-3计算即可。
10．（2021八上·宁波期中）如图， 中， ， ， 的平分线 交 于点F， 平分 .给出下列结论：① ；② ；③ ；④ .正确结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；同余及其性质（奥数类）；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠C+∠ABC=90°，
∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，故①正确；
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF=90°，
∠CBE+∠BFD=90°，
∴∠AEF=∠BFD，
又∵∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴∠AEF=∠AFE，故②正确；
∵∠ABE=∠CBE，
∴只有∠C=30°时∠EBC=∠C，故③错误；
∵∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵AG平分∠DAC，
∴AG⊥EF，故④正确.
综上所述，正确的结论是①②④.
故答案为：C.
【分析】根据同角的余角相等可判断①；由角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，根据等角的余角相等可推出∠AEF=∠BFD，由对顶角的性质可得∠AFE=∠BFD，据此判断②③；由∠AEF=∠AFE可得AE=AF，结合等腰三角形的性质可判断④.
二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，将答案填在答题纸上）
11．（2020七下·津南月考） 的平方根是　 　．
【答案】
【知识点】平方根
【解析】【解答】解： ＝10，
10的平方根是 ．
故答案为： ．
【分析】根据平方根的定义求解即可。
12．（2024八上·东安期末）若y有意义，则实数x的取值范围是 　 　．
【答案】x≤，且x≠1
【知识点】分式有意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】根据题意可得：，
解得： x≤且x≠1，
故答案为：x≤且x≠1.
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可。
13．（2024八上·东安期末）若关于x的一元一次不等式组无解，求a的取值范围　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由不等式①得，
由不等式②得，
此不等式组解集为：，
此不等式组无解，
.
故答案为： .
【分析】 先求出两个不等式的解集，再根据不等式无解可知两个解集无公共部分，即可解答.
14．（2018七上·襄州期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为 　 　 ．
【答案】7或11
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．
①当15是腰长与腰长一半时，AC+ AC=15，解得AC=10，
所以底边长=12- ×10=7；
②当12是腰长与腰长一半时，AC+ AC=12，解得AC=8，
所以底边长=15- ×8=11．
所以底边长等于7或11．
故填7或11
【分析】因为已知条件给出的15或12两个部分，哪一部分是腰长与腰长一半的和不明确，所以分两种情况讨论．①当15是腰长与腰长一半时，列出方程AC+ AC=15，求解算出腰长，进而根据底边与腰长的一半的和等于12即可算出底边的长；②当12是腰长与腰长一半时，根据题意列出方程AC+ AC=12，求解算出腰长，进而根据底边与腰长的一半的和等于15即可算出底边的长，综上所述即可得出答案。
15．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD=　 　
【答案】45°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：延长CH交AB于F，
在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，
∵∠BAC=75°，且CF⊥AB，∴∠ACF=15°，
∵∠ACB=60°，∴∠BCF=45°
在△CDH中，三内角之和为180°，
∴∠CHD=45°，
故答案为∠CHD=45°
【分析】利用三角形的三条高相交于一点可得CF⊥AB，利用三内角之和为180°，可得∠CHD的度数。
16．（2024八上·东安期末）如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO＋∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO＋AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是　 　．（填序号）
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：如图1，连接OB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∴OB＝OC，∠ABC＝90° ∠BAD＝30°
∵OP＝OC，
∴OB＝OC＝OP，
∴∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，
∴∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；
故①正确；
∵∠APC＋∠DCP＋∠PBC＝180°，
∴∠APC＋∠DCP＝150°，
∵∠APO＋∠DCO＝30°，
∴∠OPC＋∠OCP＝120°，
∴∠POC＝180° （∠OPC＋∠OCP）＝60°，
∵OP＝OC，
∴△OPC是等边三角形；
故②正确；
如图2，在AC上截取AE＝PA，
∵∠PAE＝180° ∠BAC＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，
∴∠APO＋∠OPE＝60°，
∵∠OPE＋∠CPE＝∠CPO＝60°，
∴∠APO＝∠CPE，
∵OP＝CP，
在△OPA和△CPE中，
，
∴△OPA≌△CPE（SAS），
∴AO＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AO＋AP，故③正确；
如图3，过点C作CH⊥AB于H，
∵∠PAC＝∠DAC＝60°，AD⊥BC，
∴CH＝CD，
∴＝AB CH，
＝AP CH＋OA CD＝AP CH＋OA CH
＝CH （AP＋OA）
＝CH AC，
∴；
故④正确．
故答案为：①②③④．
【分析】①连接OB，根据等边对等角可得∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，∠APO＋∠DCO＝∠ABO＋∠DBO＝∠ABD＝30°；
②先根据三角形内角和定理得∠APC＋∠DCP＝150°，再由①中∠APO＋∠DCO＝30°可得∠OPC＋∠OCP＝120°，故可得∠POC＝60°，又 OP＝OC， 即可判定 △OPC是等边三角形；
③在AC上截取AE＝PA，可证得△OPA≌△CPE，故AO＝CE，等量代换即可得到 AC＝AO＋AP ；
④过点C作CH⊥AB于H，可得＝AB CH，＝AP CH＋OA CD＝AP CH＋OA CH，化简整理可得=CH AC，故可得 S△ABC＝S四边形AOCP .
三、解答题。（本大题7个小题，17题6分，18题16分；19、20每题8分，21题10分；22、23每题12分，共计72分）
17．（2024八上·东安期末）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法；开立方（求立方根）
【解析】【分析】先根据负数的绝对值等于它的相反数、零指数幂、负整数指数幂以及立方根计算，再计算加减即可.
18．（2024八上·东安期末）解方程和不等式：
（1）；
（2）2x+8≥3（x+1）；
（3）（x+10）3＝﹣343；
（4）9（x﹣2）2＝1．
【答案】（1）解：，
去分母，可得：3-2=3（2x-2），
去括号，可得：3-2=6x-6，
移项，合并同类项，可得：6x=7，
系数化为1可得：x=，
经检验，x=是方程的解；
（2）解：2x+8≥3（x+1）；
去括号，可得：2x+8≥3x+3，
移项，合并同类项，可得：-x≥-5，
系数化为“1”，可得：x≤5；
（3）解：（x+10）3＝﹣343；
两边同时开立方，可得：x+10=-7，
移项，合并同类项，可得：x=-17；
（4）解： 9（x﹣2）2＝1，
（x-2）2=，
x-2=±，
解得：x1=，x2=，
故答案为：x=；x≤5；x=-17；x1=，x2=.
【知识点】解分式方程；解一元一次不等式；开平方（求平方根）；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）利用不等式的性质及不等式的解法求出解集即可；
（3）利用立方根的计算方法分析求解即可；
（4）利用平方根的计算方法分析求解即可.
19．（2024八上·东安期末）求满足不等式组的所有整数解．
【答案】解：解不等式x-3（x-2）≤8，得：x≥-1，得：x＜2，
则不等式组的解集为-1≤x＜2，
所以不等式组的整数解为-1、0、1．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求出解集再求出整数解即可.
20．（2024八上·东安期末）如图，在中，，点D是的中点，，交的延长线于点，且，．
（1）求证：；
（2）求的周长．
【答案】（1）证明：∵，点D是的中点，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴的周长为24．
【知识点】平行线的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）由，点D是的中点，可得，，利用SAS即可证明 .
（2）由 ，， 根据外角的性质可得 ，再利用平行线的性质，进而可证 ，即可得 是等边三角形， 再计算周长即可.
21．（2024八上·东安期末）先化简：； 再在不等式组的整数解中选取一个合适的解作为a的取值，代入求值．
【答案】解：解不等式3-（a+1）＞0，得：a＜2，
解不等式2a+2≥0，得：a≥-1，
则不等式组的解集为-1≤a＜2，
其整数解有-1、0、1，
∵a≠±1，
∴a=0，
则原式=1．
【知识点】分式的化简求值；解一元一次不等式组
【解析】【解答】
=
=
=，
解不等式3-（a+1）＞0，得：a＜2，解不等式2a+2≥0，得：a≥-1，
则不等式组的解集为-1≤a＜2，
其整数解有-1、0、1，
∵a≠±1，
∴a=0，
将a=0代入可得，
故答案为：1.
【分析】先利用分式的混合运算化简可得，再求出不等式组的解集，最后将符合条件的a的值代入计算即可.
22．（2021八下·防城月考）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元。
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值。
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克(x为整数)，求有哪几种购买方案。
（3）在(2)的条件下，求超市在获得的利润的最大值。
【答案】（1）解：依题意，得： 解得：
答： m的值为10， n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜(100-x)千克，
依题意，得：
解得： 58≤x≤60
∵x为正整数，
∴x=58，59，60，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克。
（3）设超市获得的利润为y元，则y=(16-10)x+(18-14)(100-x)=2x+400
∵k=2>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=60时，y取得最大值，最大值为2×60+400=520
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的实际应用，根据各自的单价m和n，以及第（1）题中给到的数量和金额的条件列方程组计算即可；
（2）设甲蔬菜数量为x千克，表示出乙蔬菜的数量，再利用第（1）题计算出的单价整理出总金额，结合条件列不等式组，计算出x的取值范围，注意取整数，在范围内写出对应的方案；
（3）用甲乙两种蔬菜各自的利润×数量，得出总利润的表达式，然后在第（2）题的三种方案中选择利润最大的方案，并求最值即可。
23．（2024八上·东安期末）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝DC＝4，AD＝BC＝5．延长BC到E，使CE＝2，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．
（1）请用含t的式子表达△ABP的面积S；
（2）是否存在某个t值，使得△DCP和△DCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①当P在BC上时，
由题意得：BP=2t（0＜t≤2.5），△ABP的面积S=
0.5AB×BP=0.5×4×2t=4t；
②当P在CD上时，（2.5＜t≤4.5），△ABP的面积S=0.5AB×BC=0.5×4×5=10；
③当P在AD上时，由题意得AP=14-2t（4.5＜t＜7），△ABP的面积S=
AB×AP=0.5×4×（14-2t）=28-4t；
（2）解：①当P在BC上时，
由题意得BP=2t，
要使△DCP≌△DCE，则需CP=CE
∵CE=2
∴5-2t=2，
∴t=1.5
即当t=1.5时，△DCP≌△DCE；
②当P在CD上时，不存在t使△DCP和△DCE全等；
③当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP=2t，
∵BC=5，CD=4，
∴DP=2t-9
要使△DCP≌△CDE，则需DP=CE，
即2t-9=2，
∴t=5.5，
即当t=5.5时，△DCP≌△CDE；
综上所述，当t=1.5或t=5.5时，△DCP和△DCE全等．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；三角形的综合
【解析】【分析】（1）分类讨论： ①当P在BC上时，②当P在CD上时，③当P在AD上时，再分别列出三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（2）分类讨论： ①当P在BC上时，②当P在CD上时，③当P在AD上时， 再利用分别利用全等三角形的性质列出方程求解即可.
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