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第4讲 函数的概念和性质（二）
必修第一册
<
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增
增
单调递增或单调递减
(严格的)单调性
≤
≥
f(x0)＝M
纵坐标
纵坐标
f(b)
f(a)
f(a)
f(b)
f(－x)＝f(x)
y轴
f(－x)＝－f(x)
原点
单调递增
一致(相同)
单调递减
相反
探究点一：函数单调性的判断与证明
探究点二：求函数的单调区间
探究点三：求函数的最值(值域)
探究点四：函数的奇偶性
探究点五：函数的单调性与奇偶性的综合应用
探究点一： 函数单调性的判断与证明
【变式题】
探究点二：求函数的单调区间
【变式题】
探究点三：求函数的最值(值域)
【变式题】
探究点四：函数的奇偶性
【变式题】
【变式题】
探究点五：函数的单调性与奇偶性的综合应用
【变式题】
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第4讲 函数的概念与性质（二）
1.函数的单调性
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)①__f(x2) 都有f(x1)②__f(x2)
图示
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是③__函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是④__函数
如果函数y＝f(x)在区间D上⑤ ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有⑥ ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)⑦__M f(x)⑧__M
x0∈I，使得⑨__________
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的⑩______ f(x)图象上最低点的 ______
3.求函数最值的常用方法
(1)图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
(2)运用已学函数的值域.
(3)运用函数的单调性：若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ____，ymin＝ __；
若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ____，ymin＝ ____.
(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
4.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函数f(x)是偶函数 关于 ____对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函数f(x)是奇函数 关于 ____对称
5.用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
6.函数的奇偶性与单调性
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a函数单调性的判断与证明
【例1】证明：函数f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上是减函数.
证明：在x∈(－∞，0)上任取x1，x2，设x1则f(x1)－f(x2)＝x＋1－(x＋1)＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2).
因为x10，
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减.
【变式题】利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减.
求函数的单调区间
【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
【变式题】求f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间.
求函数的最值(值域)
【例3】已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.据图象写出：
(1)函数y＝f(x)的最大值；
(2)使f(x)＝1的x值.
【变式题】已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
函数的奇偶性
【例4】已知函数f(x)＝x＋(x≠0).
(1)求f(2)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由.
【变式题】(1)下列函数是偶函数的是(　　)
A.y＝2x2－3 B.y＝x3 C.y＝x2(x∈[0，1]) D.y＝x
(2)(2021·湖南省学考节选)已知函数f(x)＝x(x－a)(x－2)(x－3)的零点之和等于4.
①求a的值；
②令g(x)＝f(x＋1)，证明：g(x)是偶函数.
函数的单调性与奇偶性的综合应用
【例5】已知f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是____.
【变式题】(2020·湖南省学考) 已知定义在[－3，3]上的函数y ＝f(x)的图象如图所示.下述四个结论：
①函数y＝f(x)的值域为[－2，2];
②函数y＝f(x)的单调递减区间为[－1，1]；
③函数y＝f(x)仅有两个零点；
④存在实数a满足f(a)＋f(－a)＝0.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
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第4讲 函数的概念与性质（二）
1.函数的单调性
前提条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D I
条件 x1，x2∈D，x1都有f(x1)①__f(x2) 都有f(x1)②__f(x2)
图示
结论 f(x)在区间D上单调递增 f(x)在区间D上单调递减
特殊情况 当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是③__函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是④__函数
如果函数y＝f(x)在区间D上⑤ ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有⑥ ，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最大值与最小值
最大值 最小值
条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： x∈I，都有
f(x)⑦__M f(x)⑧__M
x0∈I，使得⑨__________
结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的⑩______ f(x)图象上最低点的 ______
3.求函数最值的常用方法
(1)图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值.
(2)运用已学函数的值域.
(3)运用函数的单调性：若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝ ____，ymin＝ __；
若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝ ____，ymin＝ ____.
(4)分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个.
4.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函数f(x)是偶函数 关于 ____对称
奇函数 设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且 ____________，那么函数f(x)是奇函数 关于 ____对称
5.用奇偶性求解析式
如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x).
6.函数的奇偶性与单调性
(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a(2)若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a参考答案：①<；②>；③增；④减；⑤单调递增或单调递减；⑥(严格的)单调性；⑦≤；⑧≥；⑨f(x0)＝M；⑩纵坐标； 纵坐标； f(b)； f(a)； f(a)； f(b)； f(－x)＝f(x)； y轴； f(－x)＝－f(x)； 原点； 单调递增；一致(相同)；单调递减；相反
函数单调性的判断与证明
【例1】证明：函数f(x)＝x2＋1在(－∞，0)上是减函数.
证明：在x∈(－∞，0)上任取x1，x2，设x1则f(x1)－f(x2)＝x＋1－(x＋1)＝x－x＝(x1＋x2)(x1－x2).
因为x10，
所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减.
【变式题】利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减.
证明：设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1因为－10，x1＋1>0，x2＋1>0，所以>0，
即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2).
所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减.
求函数的单调区间
【例2】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减.
(1)f(x)＝－；
(2)f(x)＝
解析：(1)函数f(x)＝－的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增.
(2)当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，
所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，
并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增.
【变式题】求f(x)＝－x2＋2|x|＋3的单调区间.
解析：当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，对称轴为x＝1，
则函数f(x)在[0，1]上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当x<0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，对称轴为x＝－1，
则函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，0)上单调递减，
即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，[0，1]，单调递减区间为[－1，0)，(1，＋∞).
求函数的最值(值域)
【例3】已知函数y＝f(x)(x∈[－2，6])的图象如图.据图象写出：
(1)函数y＝f(x)的最大值；
(2)使f(x)＝1的x值.
解析：(1)根据图象可得函数y＝f(x)的最大值为2，此时x＝6.
(2)由y＝f(x)的图象可知，当y＝1时，x＝－1或5.
【变式题】已知函数f(x)＝x＋.
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增；
(2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
解析：(1)证明：设1≤x1则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)＝.
因为1≤x11，
所以x1x2－1>0，所以<0，
即f(x1)所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增.
(2)由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增，
所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2，
当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝.
综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是，最小值是2.
函数的奇偶性
【例4】已知函数f(x)＝x＋(x≠0).
(1)求f(2)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由.
解析：(1)f(2)＝2＋＝.
(2)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
因为f(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数.
【变式题】(1)下列函数是偶函数的是(　　)
A.y＝2x2－3 B.y＝x3 C.y＝x2(x∈[0，1]) D.y＝x
(2)(2021·湖南省学考节选)已知函数f(x)＝x(x－a)(x－2)(x－3)的零点之和等于4.
①求a的值；
②令g(x)＝f(x＋1)，证明：g(x)是偶函数.
解析：(2)①由题意可得，f(x)的零点为0，a，2，3，
又因为f(x)的零点和为4，
所以0＋a＋2＋3＝4，解得a＝－1.
②证明：因为g(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)(x－1)(x－2)＝(x2－1)(x2－4)，
所以g(x)为偶函数.
答案：(1)A
函数的单调性与奇偶性的综合应用
【例5】已知f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，当x>0时，f(x)的图象如图所示，那么f(x)的值域是____.
解析：由图象可得，当x∈(0，2]时，f(x)∈(2，3]，
又因为f(x)是定义在[－2，0)∪(0，2]上的奇函数，
故当f(x)∈[－2，0)时，f(x)∈[－3，－2).
故f(x)的值域是[－3，－2)∪(2，3].
答案：[－3，－2)∪(2，3]
【变式题】(2020·湖南省学考) 已知定义在[－3，3]上的函数y ＝f(x)的图象如图所示.下述四个结论：
①函数y＝f(x)的值域为[－2，2];
②函数y＝f(x)的单调递减区间为[－1，1]；
③函数y＝f(x)仅有两个零点；
④存在实数a满足f(a)＋f(－a)＝0.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
解析：由图象可知函数的最大值大于2，最小值小于－2，所以①错误；
由图象可知函数y＝f(x)的单调递减区间为[－1，1]，所以②正确；
由图象可知其图象与x轴交点的个数为3，所以函数有3个零点，所以③错误；
当a＝1时，有f(a)＋f(－a)＝f(1)＋f(－1)＝－2＋2＝0，所以④正确.故选D.
答案：D
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