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6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界
【学习目标】
1.了解数学建模的意义,能够将实际问题转化为数学建模问题.(数学建模、数学运算)
2.了解数学建模活动的主要过程.(数学建模、数学运算)
3.进一步掌握数学建模的步骤.(数学建模、数学运算)
【合作探究】
　　现实世界的问题大致有三类:自然方面的问题(如大海的潮汐现象、放射物的衰变、蜂巢的结构),社会方面的问题(如养老院的合理布局、传染病的传播机理),生活方面的问题(如乘车路线的规划、营养餐的配置).根据前人的研究我们已经知晓了很多事物的规律,但还有更多事物的规律需要探索.
问题1:针对上述这种日常生活中的现象,我们可以提出一些什么问题呢
【答案】　我们可以探讨的问题有很多.例如针对苹果腐烂的问题,我们可以探讨:为什么会发生这样的现象 什么情况下不会发生这样的现象 能够利用哪些技术手段进行食品保鲜存储 哪种保鲜存储方式的成本最低 等等.类似的这些问题,因为不仅仅涉及量的关系,所以如果只用数学手段研究,将是十分困难的.
问题2:课题研究的活动过程包括哪几个环节
【答案】　包括选题→开题→做题→结题这四个环节.
新知运用
例1　我国是人口大国,人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标,预测人口模型的合理性,不仅影响到未来地区经济和社会发展,还会影响到地区生态环境可持续发展.因此,建立合理的模型,准确地预测未来人口的发展趋势,制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义.下面是我国1964~1999年人口统计表:
年份 1964 1969 1974 1979
人口数/亿 7.04 8.06 9.08 9.79
年份 1984 1989 1994 1999
人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52
　　根据上表数据,在平面直角坐标系中画出人口增长曲线图,由图可以看出人口数量不断增加,各点近似在一条直线上,画出一条与标出的8个点最接近的直线,再用待定系数法求出这条直线对应的一次函数,写出它的【解析】式.
照这样的增长趋势,试估计2009年我国的人口数量.
1.确定参数、计算求解
设函数【解析】式为y1=kx+b,
因为函数图象经过点(1964,7.04),(1994,11.76),
所以解得
所以函数【解析】式为y1=0.157x-301.308.
同理,因为函数图象经过点(1984,10.34),(1969,8.06),所以函数【解析】式为y2=0.152x-291.228.
2.验证结果、改进模型
照这样的增长趋势,我们来估计2009年我国的人口数量.
当x=2009时,y1=0.157×2009-301.308=14.105,
当x=2009时,y2=0.152×2009-291.228=14.14.
1982年宪法将计划生育定为基本国策,实际到2009年我国人口总数约为13.347亿.
人口的变化受到众多方面因素的影响,因此对人口的预测与控制较复杂,很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响.看下面二次函数模型.
(1)问题重述
根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据(如下表),建立模型估计出该地区2010年的人口数量,同时画出拟合效果的图象.
该地区人口统计数据
年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口数/亿 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2
年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930
人口数/亿 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1
年份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
人口数/亿 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3
　　(2)分析问题、建立模型
从作图可以看出,该地区人口数量y与年份x的关系可以近似看作二次函数的关系,即y=ax2+bx+c,利用已有数据拟合可得到参数a,b,c.
例如利用(1800,7.2),(1900,89.8),(2000,280.3)三组数据列方程组解得即y=0.005395x2-19.1355x+16971.3.
(3)验证结果
作出函数y=0.005395x2-19.1355x+16971.3的图象如图所示:
从以上二次函数模型和原数据点的拟合效果可以看出,拟合效果在1940年之前还可以,但是对后期的数据拟合得不好.
(4)模型应用
我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报,说到本世纪末,或到下世纪中叶,全世界(或某地区)的人口将达到多少亿.你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上有较大的区别,这显然是用了不同的人口模型计算的结果.
关于人口模型这方面的内容是很丰富的,我国学者为了解决我国人口迅速增长的问题,作了大量的调查研究,建立了不少的人口模型,为我国政府制定相应的人口政策提供依据.
事实上,人口的预测是一个相当复杂的问题,影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外,还和医疗卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关,特别是在做中短期预测时,我们希望得到满足一定预测精度的结果,比如在刚刚经历过战争或是在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等,这些因素本身以及由此引起的年龄结构变化就变得相当重要,所以也要予以考虑.
例2　某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等水平的地区销售量最多,然后向两边递减.
(1)给出下列几个模拟函数:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料的销售量与地区的人均GDP关系更合适 说明理由.
(2)当人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,当人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出在各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少
【解析】　(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等水平的地区销售量最多,然后向两边递减,而②③④表示的函数在区间上是单调函数,所以②③④都不合适,故用①来模拟比较合适.
(2)因为当人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,当人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,
把分别代入y=ax2+bx,得
解得
所以函数的【解析】式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).
因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是 L.
【方法总结】　　函数拟合与预测的一般步骤:(1)根据原始数据、表格,绘出散点图;(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线;(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
1.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可以美化居室、净化空气,还可以美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10千克)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表所示:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt.求出所选函数的【解析】式.
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
【解析】　(1)由所提供的数据可知,反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数,若用函数Q=at+b,Q=a·bt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述.
将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得解得
所以反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=t2-t+.
(2)当上市天数t=-=150天时,芦荟种植成本最低,最低为Q=×1502-×150+=100(元/10千克).
2.据调查,人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,2015年,2016年和2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位和6个单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度比2014年增加的单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数y=px2+qx+r(其中p,q,r为常数)或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数),又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好
【解析】　若以f(x)=px2+qx+r作模拟函数,
则依题意得
∴f(x)=x2+x.
若以g(x)=a·bx+c作模拟函数,
则 ∴g(x)=·-3.
利用f(x),g(x)对2018年CO2浓度作估算,
则其数值分别为f(4)=10单位,g(4)=10.5单位,
∵|f(4)-16.5|>|g(4)-16.5|,
∴g(x)=·-3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近,故用g(x)=·-3作模拟函数较好.
3.某个体经营者经营了A,B两种商品,逐月投资金额与所获纯利润列表如下:
投资A种 商品金额/ 万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/ 万元 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.40
投资B种 商品金额/ 万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/ 万元 0.25 0.49 0.76 1.00 1.26 1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才划算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
【解析】　以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中画出A,B两种商品的散点图,如图①②所示.
观察散点图可以看出,A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟.
取点(4,2)为最高点,则y=a(x-4)2+2,
再把点(1,0.65)代入,得0.65=a(1-4)2+2,
解得a=-0.15,所以y=-0.15(x-4)2+2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用一次函数模型进行模拟.
设y=kx+b,取点(1,0.25)和点(4,1),
代入得解得所以y=0.25x.
故前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y=-0.15(x-4)2+2,前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y=0.25x.
设第七个月投入A,B两种商品的资金分别为xA,xB(万元),总利润为W(万元),
则
所以W=-0.15+0.15×+2.6.
所以当xA≈3.2时,W最大,最大约为4.1,此时xB≈8.8.
故该经营者第七个月把12万元中的3.2万元投资A种商品,8.8万元投资B种商品,可获得最大利润约为4.1万元.
问题研究:测量学校墙外一座高不可及,但在学校操场可以看得见的高大写字楼(或其他可见的高大建筑)的高度.
课题 测量校外一座看得见,但从底部看不到顶部的写字楼的高度
本课题成员与分工(全班共分了六组,这是其中一组)
成员姓名 分工 主要工作与贡献
学生甲、乙 测量
学生丙 计数
学生丁 计算
测量工具:测角器和皮尺、计算器
所需时间:2小时
续表
测量的数学模型 　　如图,设测角器高l,在地面上选择一点C,测得看得见的写字楼AB的仰角∠ACB=α,再向建筑物前进a到达点E,测得对建筑物AB的仰角∠AEB=β.设BE=x,则消去x得AB=. 故建筑物的高h=AB+l=+l
测量数据和计算结果
测量数据 项目 l CE 角α 角β 计算高度
第一次 1.2 50 29.6° 74.8°
第二次 1.2 50 29.2° 74.2°
平均 1.2 50 29.4° 74.5° 34
与本次测量相关的待研究的问题
　　测量从底部看不到顶部的建筑物高度,除了上述方法外,还有什么方法 　　如果备有测角器和皮尺.如图所示,设测角器高l,地面上选择与建筑物AB不在同一直线上的两测点C,E,在点C测得对建筑物AB的仰角∠ACB=α,并测得∠ACE=β,在点E测得∠AEC=γ,量出CE=a,如何求建筑物的高度 提示:在△ACE中,由正弦定理得=,AC=.在Rt△ACB中,AB=ACsin α=.故建筑物的高度h=+l
总结 　　这次实践活动中,我们成功地运用了三角知识解决实际问题.通过实践,我们发现任何事情并不是想象中那么简单.在实践之前,不仅要制定理论上的方案,还要把很多实际因素考虑进去,包括周围的地形、天气、仪器、可行度等都是制定计划时需要考虑的重要因素.这次活动是我们首次将理论运用于实践,纸上得来终觉浅,凡事不容易,身躬力行才能体会其中的滋味
26.1 走进异彩纷呈的数学建模世界
【学习目标】
1.了解数学建模的意义,能够将实际问题转化为数学建模问题.(数学建模、数学运算)
2.了解数学建模活动的主要过程.(数学建模、数学运算)
3.进一步掌握数学建模的步骤.(数学建模、数学运算)
【合作探究】
　　现实世界的问题大致有三类:自然方面的问题(如大海的潮汐现象、放射物的衰变、蜂巢的结构),社会方面的问题(如养老院的合理布局、传染病的传播机理),生活方面的问题(如乘车路线的规划、营养餐的配置).根据前人的研究我们已经知晓了很多事物的规律,但还有更多事物的规律需要探索.
问题1:针对上述这种日常生活中的现象,我们可以提出一些什么问题呢
问题2:课题研究的活动过程包括哪几个环节
新知运用
例1　我国是人口大国,人口规模是城市规划和土地利用总体规划中一项重要的控制性指标,预测人口模型的合理性,不仅影响到未来地区经济和社会发展,还会影响到地区生态环境可持续发展.因此,建立合理的模型,准确地预测未来人口的发展趋势,制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和现实意义.下面是我国1964~1999年人口统计表:
年份 1964 1969 1974 1979
人口数/亿 7.04 8.06 9.08 9.79
年份 1984 1989 1994 1999
人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52
　　根据上表数据,在平面直角坐标系中画出人口增长曲线图,由图可以看出人口数量不断增加,各点近似在一条直线上,画出一条与标出的8个点最接近的直线,再用待定系数法求出这条直线对应的一次函数,写出它的【解析】式.
照这样的增长趋势,试估计2009年我国的人口数量.
1.确定参数、计算求解
设函数【解析】式为y1=kx+b,
因为函数图象经过点(1964,7.04),(1994,11.76),
所以解得
所以函数【解析】式为y1=0.157x-301.308.
同理,因为函数图象经过点(1984,10.34),(1969,8.06),所以函数【解析】式为y2=0.152x-291.228.
2.验证结果、改进模型
照这样的增长趋势,我们来估计2009年我国的人口数量.
当x=2009时,y1=0.157×2009-301.308=14.105,
当x=2009时,y2=0.152×2009-291.228=14.14.
1982年宪法将计划生育定为基本国策,实际到2009年我国人口总数约为13.347亿.
人口的变化受到众多方面因素的影响,因此对人口的预测与控制较复杂,很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响.看下面二次函数模型.
(1)问题重述
根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据(如下表),建立模型估计出该地区2010年的人口数量,同时画出拟合效果的图象.
该地区人口统计数据
年份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860
人口数/亿 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2
年份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930
人口数/亿 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1
年份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
人口数/亿 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3
　　(2)分析问题、建立模型
从作图可以看出,该地区人口数量y与年份x的关系可以近似看作二次函数的关系,即y=ax2+bx+c,利用已有数据拟合可得到参数a,b,c.
例如利用(1800,7.2),(1900,89.8),(2000,280.3)三组数据列方程组解得即y=0.005395x2-19.1355x+16971.3.
(3)验证结果
作出函数y=0.005395x2-19.1355x+16971.3的图象如图所示:
从以上二次函数模型和原数据点的拟合效果可以看出,拟合效果在1940年之前还可以,但是对后期的数据拟合得不好.
(4)模型应用
我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报,说到本世纪末,或到下世纪中叶,全世界(或某地区)的人口将达到多少亿.你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上有较大的区别,这显然是用了不同的人口模型计算的结果.
关于人口模型这方面的内容是很丰富的,我国学者为了解决我国人口迅速增长的问题,作了大量的调查研究,建立了不少的人口模型,为我国政府制定相应的人口政策提供依据.
事实上,人口的预测是一个相当复杂的问题,影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外,还和医疗卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关,特别是在做中短期预测时,我们希望得到满足一定预测精度的结果,比如在刚刚经历过战争或是在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等,这些因素本身以及由此引起的年龄结构变化就变得相当重要,所以也要予以考虑.
例2　某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等水平的地区销售量最多,然后向两边递减.
(1)给出下列几个模拟函数:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=logax+b;④y=ax+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料的销售量与地区的人均GDP关系更合适 说明理由.
(2)当人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,当人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出在各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少
【方法总结】　　函数拟合与预测的一般步骤:(1)根据原始数据、表格,绘出散点图;(2)通过观察散点图,画出拟合直线或拟合曲线;(3)求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
1.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可以美化居室、净化空气,还可以美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟的种植成本Q(单位:元/10千克)与上市时间t(单位:天)的数据情况如表所示:
t 50 110 250
Q 150 108 150
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·bt,Q=alogbt.求出所选函数的【解析】式.
(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.
2.据调查,人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加.据测,2015年,2016年和2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位,3个单位和6个单位.若用一个函数模拟每年CO2浓度比2014年增加的单位数y与年份增加数x的关系,模拟函数可选用二次函数y=px2+qx+r(其中p,q,r为常数)或函数y=a·bx+c(其中a,b,c为常数),又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位,请问用以上哪个函数作模拟函数较好
3.某个体经营者经营了A,B两种商品,逐月投资金额与所获纯利润列表如下:
投资A种 商品金额/ 万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/ 万元 0.65 1.39 1.85 2.00 1.84 1.40
投资B种 商品金额/ 万元 1 2 3 4 5 6
获纯利润/ 万元 0.25 0.49 0.76 1.00 1.26 1.51
该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A,B两种商品各多少万元才划算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
问题研究:测量学校墙外一座高不可及,但在学校操场可以看得见的高大写字楼(或其他可见的高大建筑)的高度.
课题 测量校外一座看得见,但从底部看不到顶部的写字楼的高度
本课题成员与分工(全班共分了六组,这是其中一组)
成员姓名 分工 主要工作与贡献
学生甲、乙 测量
学生丙 计数
学生丁 计算
测量工具:测角器和皮尺、计算器
所需时间:2小时
续表
测量的数学模型 　　如图,设测角器高l,在地面上选择一点C,测得看得见的写字楼AB的仰角∠ACB=α,再向建筑物前进a到达点E,测得对建筑物AB的仰角∠AEB=β.设BE=x,则消去x得AB=. 故建筑物的高h=AB+l=+l
测量数据和计算结果
测量数据 项目 l CE 角α 角β 计算高度
第一次 1.2 50 29.6° 74.8°
第二次 1.2 50 29.2° 74.2°
平均 1.2 50 29.4° 74.5° 34
与本次测量相关的待研究的问题
　　测量从底部看不到顶部的建筑物高度,除了上述方法外,还有什么方法 　　如果备有测角器和皮尺.如图所示,设测角器高l,地面上选择与建筑物AB不在同一直线上的两测点C,E,在点C测得对建筑物AB的仰角∠ACB=α,并测得∠ACE=β,在点E测得∠AEC=γ,量出CE=a,如何求建筑物的高度 提示:在△ACE中,由正弦定理得=,AC=.在Rt△ACB中,AB=ACsin α=.故建筑物的高度h=+l
总结 　　这次实践活动中,我们成功地运用了三角知识解决实际问题.通过实践,我们发现任何事情并不是想象中那么简单.在实践之前,不仅要制定理论上的方案,还要把很多实际因素考虑进去,包括周围的地形、天气、仪器、可行度等都是制定计划时需要考虑的重要因素.这次活动是我们首次将理论运用于实践,纸上得来终觉浅,凡事不容易,身躬力行才能体会其中的滋味
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