资源简介

6.2 数学建模——从自然走向理性之路
【学习目标】
经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程,掌握建模方法.(数学建模)
【合作探究】
　　决定苹果的最佳出售时间点.
1.问题描述
市场上某一种蔬菜、水果等价格会随着季节呈现周期性变化,比如苹果,刚上市时价格比较高,随着大量上市,价格越来越低,这时若利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入.不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时间的延长而增大.
2.模型假设
经济学家:为什么会发生这种“囤积居奇”的现象 什么情况下不会发生这种现象
生物学家:能够利用哪些技术手段进行保鲜存储 哪种保鲜存储的成本最低
消费者:什么时候是买苹果的最佳时间
营销者:什么时候是卖苹果的最佳时间
(1)明确问题
苹果的最佳售出时间点就是获得最大收益的时间点.
(2)必要假设,简化问题
①除储存成本外,无其他成本;
②苹果数量是个定值;(如:果园产量为定值)
③苹果都能售出.
(3)分析变量间的关系
①收益=价格-成本;
②价格与市场上苹果数量的关系;
③市场上苹果数量与时间的关系;
④成本即储存成本与时间的关系.
因为时间会影响储存成本和市面上苹果的数量,而苹果数量又影响了苹果的价格,所以最终是时间决定了收益.
3.模型建立
设保鲜存储时间为t,市面上苹果的数量为x万吨,苹果的单价为y元,单位数量苹果的储存成本为C,单位数量苹果的收益为z.
(1)z=y-C;
(2)y=f(x)是一个减函数,可设为一次函数f(x)=k1x+l1;
(3)x=h(t)可设为二次函数h(t)=at2+bt+c;
(4)C=g(t)是一个增函数,可设为一次函数g(t)=k2t+l2.
综上,我们可以建立一个z关于t的函数z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2.
4.模型求解
确定参数、计算求解
(1)收集数据
x/万吨 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/万吨 9.462 9.328 9.198
　　(2)代入确定参数
利用待定系数法,根据前面的假设就可以列出如下方程组:
计算出参数k1,l1,k2,l2,a,b,c.
(3)确定函数模型
确定函数y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=0.01t+0.1,x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,
因此,我们可以得到收益关于时间的函数z=-0.001t2+0.06t+0.1.
(4)计算求解
z=-0.001(t-30)2+1,当t=30时,z取得最大值,最大值为1,
也就是说,在上述情况下,当保鲜储存30天时,单位数量苹果所获得的利润最大,最大利润为1元.
5.模型的分析与检验
(1)还原到实际问题上,结果有偏差
(2)原因分析
①简化问题,减少了变量;
②因为数据与所学有限,函数模型过于简单,所以可从以上两点改进模型.
6.推广应用
(1)数学建模的概念
数学建模就是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、数学方法构建模型解决问题.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型,最终解决实际问题.
(2)数学建模与应用题的异同
数学建模与我们以往做的应用题都是用数学方法解决实际问题,但是应用题的数量关系是确定的,答案当然也是确定的,相比应用题,数学建模有以下几个特点:
①问题是自己发现和提出的;
②数量关系是自己分析出来的;
③数据是自己收集的;
④函数关系或者说数学模型是自己建立的.
(3)用框图表示数学建模的基本过程
　　某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.该家庭有20万元资金全部用于理财投资,怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元
26.2 数学建模——从自然走向理性之路
【学习目标】
经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程,掌握建模方法.(数学建模)
【合作探究】
　　决定苹果的最佳出售时间点.
1.问题描述
市场上某一种蔬菜、水果等价格会随着季节呈现周期性变化,比如苹果,刚上市时价格比较高,随着大量上市,价格越来越低,这时若利用一定的技术手段将苹果进行保鲜存储,等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售,则同样多的苹果就可以获得相对较高的销售收入.不过,需要注意的是,保鲜存储是有成本的,而且成本会随着时间的延长而增大.
2.模型假设
经济学家:为什么会发生这种“囤积居奇”的现象 什么情况下不会发生这种现象
生物学家:能够利用哪些技术手段进行保鲜存储 哪种保鲜存储的成本最低
消费者:什么时候是买苹果的最佳时间
营销者:什么时候是卖苹果的最佳时间
(1)明确问题
苹果的最佳售出时间点就是获得最大收益的时间点.
(2)必要假设,简化问题
①除储存成本外,无其他成本;
②苹果数量是个定值;(如:果园产量为定值)
③苹果都能售出.
(3)分析变量间的关系
①收益=价格-成本;
②价格与市场上苹果数量的关系;
③市场上苹果数量与时间的关系;
④成本即储存成本与时间的关系.
因为时间会影响储存成本和市面上苹果的数量,而苹果数量又影响了苹果的价格,所以最终是时间决定了收益.
3.模型建立
设保鲜存储时间为t,市面上苹果的数量为x万吨,苹果的单价为y元,单位数量苹果的储存成本为C,单位数量苹果的收益为z.
(1)z=y-C;
(2)y=f(x)是一个减函数,可设为一次函数f(x)=k1x+l1;
(3)x=h(t)可设为二次函数h(t)=at2+bt+c;
(4)C=g(t)是一个增函数,可设为一次函数g(t)=k2t+l2.
综上,我们可以建立一个z关于t的函数z=y-C=f(x)-g(t)=f(h(t))-g(t)=k1at2+(k1b-k2)t+k1c+l1-l2.
4.模型求解
确定参数、计算求解
(1)收集数据
x/万吨 8.4 7.6
y/元 0.8 1.2
t/天 1 2
C/元 0.11 0.12
t/天 1 2 3
x/万吨 9.462 9.328 9.198
　　(2)代入确定参数
利用待定系数法,根据前面的假设就可以列出如下方程组:
计算出参数k1,l1,k2,l2,a,b,c.
(3)确定函数模型
确定函数y=f(x)=-0.5x+5,C=g(t)=0.01t+0.1,x=h(t)=0.002t2-0.14t+9.6,
因此,我们可以得到收益关于时间的函数z=-0.001t2+0.06t+0.1.
(4)计算求解
z=-0.001(t-30)2+1,当t=30时,z取得最大值,最大值为1,
也就是说,在上述情况下,当保鲜储存30天时,单位数量苹果所获得的利润最大,最大利润为1元.
5.模型的分析与检验
(1)还原到实际问题上,结果有偏差
(2)原因分析
①简化问题,减少了变量;
②因为数据与所学有限,函数模型过于简单,所以可从以上两点改进模型.
6.推广应用
(1)数学建模的概念
数学建模就是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、数学方法构建模型解决问题.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型,最终解决实际问题.
(2)数学建模与应用题的异同
数学建模与我们以往做的应用题都是用数学方法解决实际问题,但是应用题的数量关系是确定的,答案当然也是确定的,相比应用题,数学建模有以下几个特点:
①问题是自己发现和提出的;
②数量关系是自己分析出来的;
③数据是自己收集的;
④函数关系或者说数学模型是自己建立的.
(3)用框图表示数学建模的基本过程
　　某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.该家庭有20万元资金全部用于理财投资,怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元
【解析】　设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)=k1x,g(x)=k2.
由已知得f(1)==k1,g(1)==k2,所以f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元,
依题意得y=f(x)+g(20-x)=x+(0≤x≤20),
令t=(0≤t≤2),则y=+t=-(t-2)2+3,
所以当t=2,即x=16时,收益最大,故当投资债券16万元,投资股票4万元时,获得最大收益,最大收益为3万元.
2

展开更多......

收起↑