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6.3 数学建模案例(一):最佳视角
【学习目标】
了解视角的概念,运用所学知识解决实际测量的高度问题,掌握数学建模活动的完整过程.(数学建模)
【合作探究】
　　一、问题背景
1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长(即可见角最大)
将米勒问题转化为一般数学问题:
在已知直线l的同侧有A,B两点,试在直线l上求一点D,使得D对A,B两点的张角,即∠ADB最大
二、模型的建立与求解
1.建立数学模型
(1)最大视角问题可以抽象成下面的数学模型:如图,树顶A离地面a米,树上另一点B离地面b米,在离地面c(c　　(2)模型求解
过点C作CD⊥AB,交AB于点D,如图所示,
则AB=a-b,AD=a-c,BD=b-c,
设∠BCD=α,∠ACB=β,CD=x.
在△BCD中,tan α==,
在△ACD中,tan(α+β)==,
所以tan β=tan==≤=,
当且仅当x=,即x=时取等号,tan β取得最大值,即∠ACB=β最大,
所以当离此树的水平距离为米时看A,B的视角最大.
2.模型的进一步讨论
按照数学建模的流程,还需要对模型求解的正确性进行检验.以观赏一幅悬挂在美术馆墙面上的画为例,参观者脚步的左右移动和前后移动分别对应于通过脚步移动寻找人眼与画作在横向以及纵向上的最大张角.你可以选择模型所得的最佳视角的位置以及其他的位置,体验模型结果的合理性.
而从最佳视角问题本身来看,也可对上述问题做进一步拓展.例如:
(1)在电影或电视拍摄过程中,如果升降机的水平位置固定,现场指挥人员经常对他乘坐的升降机的高度进行调整以拍摄空中的场景.如何求出工作人员的位置使其观看场景最清楚
(2)当人们眺望对面山顶的景物(如岩崖画、观光塔)时,可能位于水平地面上、有一定坡度的山坡上或者上述两者兼而有之.如何找出视野最清楚的观景位置
　　问题研究一:屏幕的视角问题
在观察物体时,从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角.研究表明,视角在[26°,30°]范围内视觉效果最佳.某大广场竖立的大屏幕,屏幕高20米,屏幕底部距离地面11.5米.站在大屏幕正前方,距离屏幕所在平面x米处的某人,眼睛位置距离地面高度1.5米,观察屏幕的视角为θ(情景示意图如图所示).
(1)为探究视觉效果,请从sin θ,cos θ,tan θ中选择一个作为y,并求y=f(x)的表达式;
(2)根据(1)的选择,探究θ是否有达到最佳视角效果的可能.
问题研究二:最远距离问题
如图,有一壁画,最高点A处离地面6米,最低点B处离地面3米.若从离地面高2米的点C处观赏它,视角为θ.当点C离墙壁多远时,视角θ最大
问题研究三:广告牌的视角问题
某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5米)的点C的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE.如图所示,广告牌底部点E恰好为DC的中点,电梯AC的坡度∠CAB=30°.某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角∠DPE=θ.当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时,求CP的长.
问题研究四:塔的视角问题
如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为α的斜坡前进 km 后到达D处,休息后继续行驶 km到达山顶B.山顶处有一塔CB= km,从点A到点D的登山途中,队员在点P处测得塔的视角为θ(∠CPB=θ),若点P处的高度PF=x km,则x为何值时,视角θ最大
　
26.3 数学建模案例(一):最佳视角
【学习目标】
了解视角的概念,运用所学知识解决实际测量的高度问题,掌握数学建模活动的完整过程.(数学建模)
【合作探究】
　　一、问题背景
1471年德国数学家米勒向诺德尔教授提出了一个十分有趣的问题:在地球表面的什么部位,一根垂直的悬杆呈现最长(即可见角最大)
将米勒问题转化为一般数学问题:
在已知直线l的同侧有A,B两点,试在直线l上求一点D,使得D对A,B两点的张角,即∠ADB最大
二、模型的建立与求解
1.建立数学模型
(1)最大视角问题可以抽象成下面的数学模型:如图,树顶A离地面a米,树上另一点B离地面b米,在离地面c(c　　(2)模型求解
过点C作CD⊥AB,交AB于点D,如图所示,
则AB=a-b,AD=a-c,BD=b-c,
设∠BCD=α,∠ACB=β,CD=x.
在△BCD中,tan α==,
在△ACD中,tan(α+β)==,
所以tan β=tan==≤=,
当且仅当x=,即x=时取等号,tan β取得最大值,即∠ACB=β最大,
所以当离此树的水平距离为米时看A,B的视角最大.
2.模型的进一步讨论
按照数学建模的流程,还需要对模型求解的正确性进行检验.以观赏一幅悬挂在美术馆墙面上的画为例,参观者脚步的左右移动和前后移动分别对应于通过脚步移动寻找人眼与画作在横向以及纵向上的最大张角.你可以选择模型所得的最佳视角的位置以及其他的位置,体验模型结果的合理性.
而从最佳视角问题本身来看,也可对上述问题做进一步拓展.例如:
(1)在电影或电视拍摄过程中,如果升降机的水平位置固定,现场指挥人员经常对他乘坐的升降机的高度进行调整以拍摄空中的场景.如何求出工作人员的位置使其观看场景最清楚
(2)当人们眺望对面山顶的景物(如岩崖画、观光塔)时,可能位于水平地面上、有一定坡度的山坡上或者上述两者兼而有之.如何找出视野最清楚的观景位置
　　问题研究一:屏幕的视角问题
在观察物体时,从物体上、下沿引出的光线在人眼处所成的夹角叫视角.研究表明,视角在[26°,30°]范围内视觉效果最佳.某大广场竖立的大屏幕,屏幕高20米,屏幕底部距离地面11.5米.站在大屏幕正前方,距离屏幕所在平面x米处的某人,眼睛位置距离地面高度1.5米,观察屏幕的视角为θ(情景示意图如图所示).
(1)为探究视觉效果,请从sin θ,cos θ,tan θ中选择一个作为y,并求y=f(x)的表达式;
(2)根据(1)的选择,探究θ是否有达到最佳视角效果的可能.
【解析】　过点A作AF⊥CE于点F,则EF=AB=1.5,DF=DE-EF=10,CF=30,设∠CAF=α,∠DAF=β.
(1)sin θ=sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=·-·
=.
(2)sin θ=≤=,
当且仅当x2=,即x=10时,
sin θ取到最大值,最大值为,
因为sin θ在(0,90°)上单调递增,所以观察屏幕视角的最大值为30°,且30°∈[26°,30°],
故θ有达到最佳视角效果的可能.
问题研究二:最远距离问题
如图,有一壁画,最高点A处离地面6米,最低点B处离地面3米.若从离地面高2米的点C处观赏它,视角为θ.当点C离墙壁多远时,视角θ最大
【解析】　设∠ACD=α,∠BCD=β,则视角θ=α-β.
设点C到墙壁的距离为x米,则tan α=,tan β=,
所以tan θ=tan(α-β)====≤=当且仅当x=,即x=2时等号成立,
所以当x=2时,视角θ达到最大,
故当tan θ=时,点C到墙壁距离为2米,此时视角θ达到最大.
问题研究三:广告牌的视角问题
某大型商场为迎接新年的到来,在自动扶梯AC(AC>5米)的点C的上方悬挂竖直高度为5米的广告牌DE.如图所示,广告牌底部点E恰好为DC的中点,电梯AC的坡度∠CAB=30°.某人在扶梯上点P处(异于点C)观察广告牌的视角∠DPE=θ.当某人在扶梯上观察广告牌的视角θ最大时,求CP的长.
【解析】　过点P作PQ⊥BC于点Q,如图所示,
设CQ=x,则PQ=x,CP=2x,
tan∠DPQ=,tan∠EPQ=,
当tan∠DPE取最大值时,即∠DPE取最大值,
tan∠DPE=tan(∠DPQ-∠EPQ)==≤=,
当且仅当4x=,即x=时等号成立,
所以CP=2x=5.
问题研究四:塔的视角问题
如图,某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°,沿倾斜角为α的斜坡前进 km 后到达D处,休息后继续行驶 km到达山顶B.山顶处有一塔CB= km,从点A到点D的登山途中,队员在点P处测得塔的视角为θ(∠CPB=θ),若点P处的高度PF=x km,则x为何值时,视角θ最大
　　【解析】　如图,过点P作PN⊥BE于点N,过点D作DG⊥AE于点G,因为PF=x,所以AF=3x,
因为点P在AD上,DG=1,所以x∈[0,1],
所以tan∠BPN==,tan∠CPN===,
所以tan θ=tan(∠CPN-∠BPN)
=
=
=,x∈[0,1],
令t=4-3x(t∈[1,4]),则x=,
所以tan θ==≤=,
当且仅当t=,即t=,x=时,tan θ取得最大值,
所以当x= km时,视角θ最大.
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