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6.5 数学建模案例(三):人数估计
【学习目标】
了解数据分析的意义,了解统计分析报告的主要组成部分,会选择合适的方法分析,解决实际问题,会从实际问题的样本数据中提取刻画其特征的量(如中位数、均值、方差等).(数学建模、数据分析)
【合作探究】
一、问题背景
某大学计算机专业的报考人数连年创新高,今年报名刚结束,某考生想知道报考人数.考生的编号按0001,0002,…的顺序从小到大依次排列,该考生随机了解了50个考生的编号.具体如下:
0400　0904　0747　0090　0636　0714　0017　0432
0403　0276　0986　0804　0697　0419　0735　0278
0358　0434　0946　0123　0647　0349　0105　0186
0079　0435　0960　0543　0495　0974　0219　0380
0397　0283　0504　0140　0518　0966　0559　0910
0658　0442　0694　0065　0757　0702　0498　0156
0225　0327
请给出一种方法,根据这50个随机抽取的编号,估计考生总数.
二、问题解析
上述问题中,总体中的个体已经按自然数编号,然后在自然数1,2,3,…,N中不放回地随机抽取n(这里n=50)个数,将抽取的样本从小到大排序后记为x1,x2,…,xn,其中1≤xn≤N.一般来说,关于考生总数没有精确的估计方法,若不能获取其他辅助信息,则只能利用样本估计总体的方法进行近似估计.
为使估计值尽量接近真值,可以在多种假设的条件下采用不同的估计方法来建立数学模型并求解.
1.模型建立与求解
模型1　用样本最大值估计总体的最大值
用给出数据的最大值=xn(例如,986)来估计考生总数,由于xn≤N恒成立,因此,该方法在实际应用中很可能出现低估N的情况.
模型2　用样本中位数估计总体中位数
当n为奇数时,样本的中位数为,而总体的中位数取,由于样本中位数可以近似看成总体中位数,因而有≈,故可取=2-1作为N的估计值;
当n为偶数时,样本的中位数为,从而有≈,故可取=+-1作为N的估计值.
为了避免用这种方法得到的估计值偏小,可以考虑用下面的方法对考生总数N进行调整:
=
在本问题中,n=50且x50>x25+x26-1,因此可用986来估计考生总数.
一般情况下,样本点越多,估计值会越合理.而上述方法的求解过程并没有利用已获得的全部样本信息,因此我们需要建立更为合理的数学模型.
模型3　用样本的平均值估计总体的平均值
假设随机抽取的50个数的平均值近似等于所有考生的平均值,以此来估计考生总数N.由于这50个数的算术平均值为24572÷50=491.44,它应该与接近,因此取=491.44×2≈983作为N的估计值.由于983小于样本的最大值986,因此可用986来估计考生总数.
模型4　用分区间法求解
把这50个样本从小到大排列,利用它将N个数据分段,选取不同端点得到不同的估计值.
分区间的一种方法是:利用50个样本数据,将区间[1,N]分成51个小区间[1,x1),[x1,x2),…,[x50,N].这51个小区间长度均值为,而前50个区间的平均长度为,由于样本是随机抽取的,可以认为≈,所以N的估计值可取为==1006,其中{x}表示不小于x的最小整数.
上述分区间的方法忽略了x50可能取到N的情况,因此,我们也可以将区间[1,N]改为[1,N+1],即把[1,N+1]分成51个小区间[1,x1),[x1,x2),…,[x50,N+1],取≈,所以N的估计值可取为==1005.
2.模型的进一步讨论
前面我们采用不同的方法对考生总数进行了估计,发现估计方法不同得到的考生数量也不同,存在一定的差异.而分区间法由于划分小区间所采用的分段方式不同,也有可能得到不同的估计值.但这些结果都是在某种合理的假设前提下得到的,不能说哪种方法得到的估计值一定是错的.这也体现了统计方法的特点.
按照不同的估计方法往往会得到不同的估计值,那么有没有评价估计方法优劣的标准呢
我们可以利用计算机模拟各种估计方法,然后通过计算估计值与真值之间的偏离程度来评价估计方法的优劣.
具体实施步骤如下.
步骤(1):设定N以及试验次数k的值;
步骤(2):在1,2,…,N这N个自然数中不放回地随机抽取50个数据,组成一个样本;
步骤(3):将样本中50个数据按从小到大的顺序排列,即x1步骤(4):按照不同的估计方法分别得到不同的估计值;
步骤(5):重复上述步骤(1)~(4)k次.
模拟完后,对估计值偏离真值N的程度进行计算:
设第m(1≤m≤k)次试验得到的估值为,k次模拟得到的估计值与真值N之间的近似程度用估计值与真值差的平方的平均值来衡量,即计算,将其值记为MSE.
结论:当试验次数k足够大时,MSE的大小反映了采用不同估计方法得到的估值偏离真值N的程度,具有较小MSE值的估计方法更为合理.
一、问题背景
为了实现绿色发展,践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,避免浪费能源,某市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方法.为此,相关部门在该市随机调查了200户居民六月份的用电量(单位:kW·h),以了解这个城市家庭用电量的情况.数据如下:
107　101　78　 99　 208　127　74　223　31　131
214　135　89　66　60　115　189　135　146　127
203　97　96　62　65　111　56　151　106　8
162　91　67　93　212　159　61　63　178　194
194　216　101　98　139　78　110　192　105　96
22　50　138　251　120　112　100　201　98　84
137　203　260　134　156　61　70　100　72　164
174　131　93　100　163　80　76　95　152　182
88　247　191　70　130　49　114　110　163　202
265　18　94　146　149　147　177　339　57　109
107　182　101　148　274　289　82　213　165　224
142　61　108　137　90　254　201　83　253　113
130　82　170　110　108　63　250　237　120　84
154　288　170　123　172　319　62　133　130　127
107　71　96　140　77　106　132　106　135　132
167　82　258　542　51　107　69　98　72　48
109　134　250　42　320　113　180　144　116　530
200　174　135　160　462　139　133　304　191　283
121　132　118　134　124　178　206　626　120　274
141　80　187　88　324　136　498　169　77　57
根据以上数据,应当如何确定阶梯电价中的电量临界值,才能使得电价更为合理
二、问题解析
1.问题分析
选取六月份调查是因为这个城市六月份的部分时间需要使用空调,因此六月份的用电量在一年12个月中处于中等偏上水平.
如果阶梯电价临界值的确定依赖于居民月用电量的分布,例如计划实施3阶的阶梯电价,有人给出一个分布如下:75%的用户在第一档(最低一档),20%的用户在第二档,5%的用户在第三档(最高一档).这样,需要通过样本数据估计第一档与第二档、第二档与第三档的两个电量临界值,即75%和95%这两个电量临界值.
利用电子表格软件,对上面的样本数据进行排序,可以得到下面的结果:
8　　18　 22　 31　 42　 48　 49　 50　 51　 56
57　57　60　61　61　61　62　62　63　63
65　66　67　69　70　70　71　72　72　74
76　77　77　78　78　80　80　82　82　82
83　84　84　88　88　89　90　91　93　93
94　95　96　96　96　97　98　98　98　99
100　100　100　101　101　101　105　106　106　106
107　107　107　107　108　108　109　109　110　110
110　111　112　113　113　114　115　116　118　120
120　120　121　123　124　127　127　127　130　130
130　131　131　132　132　132　133　133　134　134
134　135　135　135　135　136　137　137　138　139
139　140　141　142　144　416　146　147　148　149
151　152　154　156　159　160　162　163　163　164
165　167　169　170　170　172　174　174　177　178
178　180　182　182　187　189　191　191　192　194
194　200　201　201　202　203　203　206　208　212
213　214　216　223　224　237　247　250　250　251
253　254　258　260　265　274　274　283　288　289
304　319　320　324　339　462　498　530　542　626
2.特征量分析
(1)样本数据总共有200个,最小值是8,最大值是626,说明200户居民六月份的最小用电量为8 kW·h,最大用电量为626 kW·h,极差为618 kW·h.
(2)因为数据量是200,所以这组数据的样本中位数就是有序样本中第100个数130和第101个数130的平均数,即130,说明这个城市六月份居民用电量的中间水平大约在130 kW·h.
(3)因为200×75%=150,所以第一个临界值为有序样本中第150个数178和第151个数178的平均数,即178.
因为200×95%=190,所以第二个临界值为有序样本中第190个数289和第191个数304的平均数,这个平均数为296.5(因为是对95%分位数的估计,所以估计值可以是289和304之间任何一个数,为了便于操作可以取值为297).
3.解决问题
依据确定了的电量临界值,阶梯电价可以规定如下:
(1)用户每月用电量不超过178 kW·h(或每年用电量不超过2136 kW·h),按第一档电价标准缴费;
(2)用户每月用电量在区间(178,297](单位:kW·h)内(或每年用电量在区间(2136,3564](单位:kW·h)内),其中的178 kW·h按第一档电价标准缴费,超过178 kW·h的部分按第二档电价标准缴费;
(3)用户每月用电量超过297 kW·h(或每年用电量超过3564 kW·h),其中的178 kW·h按第一档电价标准缴费,119 kW·h 按第二档电价标准缴费,超过297 kW·h的部分按第三档电价标准缴费.
社会上对这种制定阶梯电价的方法存在不同的意见,可以讨论并制定合理的阶梯电价.
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