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5.1 课时2 事件的运算
【学习目标】
1.了解随机事件的交、并与互斥的含义.(数学抽象)
2.能结合实例进行随机事件的交、并运算.(数据运算)
3.理解互斥事件、对立事件的概念.(数学抽象)
【自主预习】
1.什么叫作交事件
2.什么叫作并事件
3.什么叫作互斥事件 什么叫作对立事件
4.互斥事件与对立事件的关系是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)互斥事件一定对立. (　　)
(2)对立事件一定互斥. (　　)
(3)事件A与B的和事件为必然事件. (　　)
(4)若事件A与B互斥,则有=B. (　　)
2.某人打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3,那么事件A=A1+A2+A3表示(　　).
A.全部击中
B.至少击中1发
C.至少击中2发
D.以上均不正确
3.从1,2,3,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是　　　　.
4.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,若事件A={1,3,5},事件B={2,3},求事件A∪B,A∩B.
【合作探究】
探究1　事件的关系与运算
　　一个口袋中装有除颜色外其他都相同的两个红球,两个白球,从中摸出两个球,记“摸出的两球都是红球”为事件A,“摸出的两球都是白球”为事件B,“摸出的两球是一红一白”为事件C,“摸出的两球至少有一个红球”为事件D,“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.
问题1:若事件A发生,事件D发生吗 它们是什么关系
问题2:若事件C发生,则事件D会发生吗 事件A,C,D之间有何关系
问题3:若事件C发生,则事件E会发生吗 事件C,D,E又有何关系
问题4:事件A与事件B能同时发生吗 事件A与事件E能同时发生吗 事件A与事件E的并事件是什么事件 交事件又是什么事件
新知生成
1.事件的关系
若事件A　发生必然导致　事件B发生,即事件A中的每个样本点都在B中,则称A包含于B,或B包含A,记作A B.
对任何事件A,都有 A Ω.
对于事件A,B,若A B,且B A,则称A与B等价,或称A与B相等,记作A=B.
2.事件的运算
(1)事件的交(积)
若某事件发生当且仅当事件A与事件B　同时　发生,则称该事件为事件A与事件B的交(或积),记作　A∩B　(或　AB　).事件A∩B由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成,显然Ω∩A=A.
(2)事件的并(和)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称该事件为事件A与事件B的并(或和),记作　A∪B　(或　A+B　).事件　A∪B　由至少属于事件A或B之一的样本点组成,显然 ∪A=A.
新知运用
例1　对一箱产品进行随机抽查检验,如果查出2个次品就停止检查,最多检查3个产品.
(1)写出该试验的样本空间Ω,并用样本点表示事件A,事件B;若事件A={有2个产品是次品},B={至少有2个正品}.
(2)用集合的形式表示事件A∪B;
(3)试判断事件C={至少有1个产品是正品}与事件B的关系.
【方法总结】　　判断事件间关系的方法:(1)考虑试验的前提条件;(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的,也可列出全部结果,再进行分析.
(改编题)甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A为“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B为“抽取的两个小球标号之积大于8”,则A,B应如何表示 A∩B应如何表示 事件A∪B应如何表示
探究2　互斥事件与对立事件
　　把红、蓝、黑、白4张相同的纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得1张.
问题1:事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”能同时发生吗
问题2:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是什么事件 是对立事件吗
问题3:如果两个事件不能同时发生,从集合角度说它们交集为空,从事件角度说它们是什么关系呢
问题4:命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”是什么关系 (指充分性与必要性)
新知生成
1.互斥(互不相容)
若事件A∩B为不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
一般地,若事件A1,A2,…,An中任意两个都互斥,则称它们两两互斥.
2.事件的差
若某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生,则称该事件为事件A与B的差,记作A\B.显然A\B由属于事件A但不属于事件B的样本点组成.
3.互为对立
若某事件发生当且仅当事件A不发生,则称该事件为A的对立事件,记作Ω\A或.
显然Ω=A∪.
新知运用
例2　某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛.判断下列各对事件是不是互斥事件,若是互斥事件,再判断是不是对立事件,并说明理由.
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”;
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.
方法指导　根据互斥事件与对立事件的定义判断.
【方法总结】　　互斥事件与对立事件间的关系:互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的.一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.
从装有除颜色外其他都相同的十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　).
A.至少有一个红球;至少有一个白球
B.恰有一个红球;都是白球
C.至少有一个红球;都是白球
D.至多有一个红球;都是红球
探究3　事件运算的综合
例3　掷一枚质地均匀的骰子,有下列事件:
A={出现奇数点},B={出现偶数点},C={出现的点数小于3},D={出现的点数大于2},E={出现的点数是3的倍数}.
(1)用样本点表示事件A∩B,事件B∩C;
(2)用样本点表示事件A∪B,事件B∪C;
(3)用样本点表示事件,事件∩C,事件∪C,事件∪.
【方法总结】　　(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,再进行运算.
给五个相同的小球分别标上数字1,2,3,4,5,依次有放回地抽取两个小球.记第一次抽取的小球上的数字为x,第二次抽取的小球上的数字为y,用(x,y)表示可能的结果.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”,事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”,事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”,试用集合的形式表示A,B,C,A∩B,∩,∩C.
【随堂检测】
1.掷一枚骰子,设事件A={出现的点数不大于3},B={出现的点数为偶数},则事件A与事件B的关系是(　　).
A.A B B.A∩B={出现的点数为2}
C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件
2.书架上有两套我国四大名著,现从中取出两本.设事件M表示“两本都是《红楼梦》”;事件N表示“一本是《西游记》,一本是《水浒传》”;事件P表示“取出的两本中至少有一本是《红楼梦》”.下列结论正确的是(　　).
A.M与P是互斥事件 B.M与N是互斥事件
C.N与P是对立事件 D.M,N,P两两互斥
3.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为　　　　.
4.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数,事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字,则事件A∩B用样本点表示为　　　　　　　　　.
25.1 课时2 事件的运算
【学习目标】
1.了解随机事件的交、并与互斥的含义.(数学抽象)
2.能结合实例进行随机事件的交、并运算.(数据运算)
3.理解互斥事件、对立事件的概念.(数学抽象)
【自主预习】
1.什么叫作交事件
【答案】　如果某事件发生当且仅当事件A与事件B同时发生,那么称该事件为事件A与B的交(或积),记作A∩B(或AB).
2.什么叫作并事件
【答案】　如果某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,那么称该事件为事件A与B的并(或和),记作A∪B(或A+B).
3.什么叫作互斥事件 什么叫作对立事件
【答案】　不能同时发生的两个事件A与B(A∩B= )称为互斥事件;若A与B互斥(A∩B= ),且A∪B=Ω,则称事件A与事件B互为对立事件.
4.互斥事件与对立事件的关系是什么
【答案】　根据互斥事件和对立事件的概念可知,“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)互斥事件一定对立. (　　)
(2)对立事件一定互斥. (　　)
(3)事件A与B的和事件为必然事件. (　　)
(4)若事件A与B互斥,则有=B. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.某人打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3,那么事件A=A1+A2+A3表示(　　).
A.全部击中
B.至少击中1发
C.至少击中2发
D.以上均不正确
【答案】　B
【解析】　 A1+A2+A3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有一个发生,即可能击中1发、2发或3发,故选B.
3.从1,2,3,…,9中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是　　　　.
【答案】　③
【解析】　从1~9中任取两个数,有以下三种情况:(1)两个均为奇数,(2)两个均为偶数,(3)一个为奇数,一个为偶数.故③为对立事件.
4.抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,若事件A={1,3,5},事件B={2,3},求事件A∪B,A∩B.
【解析】　由题意知,A∪B={1,3,5}∪{2,3}={1,2,3,5},A∩B={1,3,5}∩{2,3}={3}.
【合作探究】
探究1　事件的关系与运算
　　一个口袋中装有除颜色外其他都相同的两个红球,两个白球,从中摸出两个球,记“摸出的两球都是红球”为事件A,“摸出的两球都是白球”为事件B,“摸出的两球是一红一白”为事件C,“摸出的两球至少有一个红球”为事件D,“摸出的两球至少有一个白球”为事件E.
问题1:若事件A发生,事件D发生吗 它们是什么关系
【答案】　若事件A发生,则事件D一定发生,它们是包含关系.
问题2:若事件C发生,则事件D会发生吗 事件A,C,D之间有何关系
【答案】　若事件C发生,则事件D一定会发生;事件D包含事件A和事件C.
问题3:若事件C发生,则事件E会发生吗 事件C,D,E又有何关系
【答案】　若事件C发生,则事件E一定会发生;事件D、事件E均包含事件C.
问题4:事件A与事件B能同时发生吗 事件A与事件E能同时发生吗 事件A与事件E的并事件是什么事件 交事件又是什么事件
【答案】　事件A与事件B不能同时发生;事件A与事件E也不能同时发生;A∪E是必然事件;A∩E是不可能事件.
新知生成
1.事件的关系
若事件A　发生必然导致　事件B发生,即事件A中的每个样本点都在B中,则称A包含于B,或B包含A,记作A B.
对任何事件A,都有 A Ω.
对于事件A,B,若A B,且B A,则称A与B等价,或称A与B相等,记作A=B.
2.事件的运算
(1)事件的交(积)
若某事件发生当且仅当事件A与事件B　同时　发生,则称该事件为事件A与事件B的交(或积),记作　A∩B　(或　AB　).事件A∩B由属于事件A且属于事件B的所有样本点组成,显然Ω∩A=A.
(2)事件的并(和)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称该事件为事件A与事件B的并(或和),记作　A∪B　(或　A+B　).事件　A∪B　由至少属于事件A或B之一的样本点组成,显然 ∪A=A.
新知运用
例1　对一箱产品进行随机抽查检验,如果查出2个次品就停止检查,最多检查3个产品.
(1)写出该试验的样本空间Ω,并用样本点表示事件A,事件B;若事件A={有2个产品是次品},B={至少有2个正品}.
(2)用集合的形式表示事件A∪B;
(3)试判断事件C={至少有1个产品是正品}与事件B的关系.
【解析】　(1)依题意,检查是有序地逐个进行,至少检查2个,最多检查3个产品.如果以“0”表示查出次品,以“1”表示查出正品,那么样本点至少是一个两位数,至多是一个三位数的有序数列.样本空间Ω={00,010,011,100,101,110,111},A={00,010,100},B={011,101,110,111}.
(2)A∪B=Ω={00,010,011,100,101,110,111}.
(3)∵C={010,011,100,101,110,111},∴B C.
【方法总结】　　判断事件间关系的方法:(1)考虑试验的前提条件;(2)考虑事件间的结果是否有交事件,可考虑利用Venn图分析,对较难判断关系的,也可列出全部结果,再进行分析.
(改编题)甲罐中有四个相同的小球,标号为1,2,3,4;乙罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,5,6.现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A为“抽取的两个小球标号之和大于5”,事件B为“抽取的两个小球标号之积大于8”,则A,B应如何表示 A∩B应如何表示 事件A∪B应如何表示
【解析】　由题意知,事件A={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)},
事件B={(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6)},
则A∩B={(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,3),(4,5),(4,6)},
A∪B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)}.
探究2　互斥事件与对立事件
　　把红、蓝、黑、白4张相同的纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人,每人分得1张.
问题1:事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”能同时发生吗
【答案】　事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不能同时发生.
问题2:“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是什么事件 是对立事件吗
【答案】　它们是互斥事件,但甲、乙可能都得不到红牌,即“甲或乙分得红牌”事件可能不发生,所以它们不是对立事件.
问题3:如果两个事件不能同时发生,从集合角度说它们交集为空,从事件角度说它们是什么关系呢
【答案】　一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B= ,那么称事件A与事件B互斥(或互不相容).
问题4:命题“事件A与B为互斥事件”与命题“事件A与B为对立事件”是什么关系 (指充分性与必要性)
【答案】　根据互斥事件和对立事件的概念可知,“事件A与B为互斥事件”是“事件A与B为对立事件”的必要不充分条件.
新知生成
1.互斥(互不相容)
若事件A∩B为不可能事件,即A∩B= ,则称事件A与事件B互斥(或互不相容).
一般地,若事件A1,A2,…,An中任意两个都互斥,则称它们两两互斥.
2.事件的差
若某事件发生当且仅当事件A发生而事件B不发生,则称该事件为事件A与B的差,记作A\B.显然A\B由属于事件A但不属于事件B的样本点组成.
3.互为对立
若某事件发生当且仅当事件A不发生,则称该事件为A的对立事件,记作Ω\A或.
显然Ω=A∪.
新知运用
例2　某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛.判断下列各对事件是不是互斥事件,若是互斥事件,再判断是不是对立事件,并说明理由.
(1)“恰有1名男生”和“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”和“至少有1名女生”;
(3)“至少有1名男生”和“全是男生”;
(4)“至少有1名男生”和“全是女生”.
方法指导　根据互斥事件与对立事件的定义判断.
【解析】　(1)是互斥事件,不是对立事件.
理由:在所选的2名同学中,“恰有1名男生”的实质是“1名男生,1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是一对互斥事件,但其并事件不是必然事件,所以不是对立事件.
(2)不是互斥事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生,1名女生”和“2名都是男生”两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生,1名男生”和“2名都是女生”两种结果,它们可能同时发生,所以不是互斥事件.
(3)不是互斥事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生,1名女生”和“2名都是男生”,这与“全是男生”可能同时发生,所以不是互斥事件.
(4)既是互斥事件,又是对立事件.
理由:“至少有1名男生”包括“1名男生,1名女生”和“2名都是男生”两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生,且其并事件是必然事件,所以它们既是互斥事件,又是对立事件.
【方法总结】　　互斥事件与对立事件间的关系:互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的.一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能两个都发生;而两个对立事件必有一个发生,但是不可能两个事件同时发生,也不可能两个事件同时不发生.所以两个事件互斥,它们未必对立;反之,两个事件对立,它们一定互斥.
从装有除颜色外其他都相同的十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是(　　).
A.至少有一个红球;至少有一个白球
B.恰有一个红球;都是白球
C.至少有一个红球;都是白球
D.至多有一个红球;都是红球
【答案】　B
【解析】　对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取两个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件.
探究3　事件运算的综合
例3　掷一枚质地均匀的骰子,有下列事件:
A={出现奇数点},B={出现偶数点},C={出现的点数小于3},D={出现的点数大于2},E={出现的点数是3的倍数}.
(1)用样本点表示事件A∩B,事件B∩C;
(2)用样本点表示事件A∪B,事件B∪C;
(3)用样本点表示事件,事件∩C,事件∪C,事件∪.
【解析】　由题意可得A={1,3,5},B={2,4,6},
C={1,2},D={3,4,5,6},E={3,6}.
(1)A∩B={1,3,5}∩{2,4,6}= .
B∩C={2,4,6}∩{1,2}={2}.
(2)A∪B={1,3,5}∪{2,4,6}={1,2,3,4,5,6},
B∪C={2,4,6}∪{1,2}={1,2,4,6}.
(3)={1,2},
={2,4,6},∩C={2,4,6}∩{1,2}={2},
={1,3,5},∪C={1,3,5}∪{1,2}={1,2,3,5},
={1,2,4,5},∪={1,2}∪{1,2,4,5}={1,2,4,5}.
【方法总结】　　(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.(2)利用Venn图.借助集合间运算的思想,分析同一条件下试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,再进行运算.
给五个相同的小球分别标上数字1,2,3,4,5,依次有放回地抽取两个小球.记第一次抽取的小球上的数字为x,第二次抽取的小球上的数字为y,用(x,y)表示可能的结果.记事件A为“第一次抽取的小球上的数字为奇数”,事件B为“抽取的两个小球上的数字至少有一个是偶数”,事件C为“两个小球上的数字之和为偶数”,试用集合的形式表示A,B,C,A∩B,∩,∩C.
【解析】　样本空间
Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},
所以A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)},
B={(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,2),(5,4)},
C={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)},
A∩B={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)},
∩={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)},
∩C={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}.
【随堂检测】
1.掷一枚骰子,设事件A={出现的点数不大于3},B={出现的点数为偶数},则事件A与事件B的关系是(　　).
A.A B B.A∩B={出现的点数为2}
C.事件A与B互斥 D.事件A与B是对立事件
【答案】　B
【解析】　由题意知事件A表示出现的点数是1或2或3;事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B={出现的点数为2}.
2.书架上有两套我国四大名著,现从中取出两本.设事件M表示“两本都是《红楼梦》”;事件N表示“一本是《西游记》,一本是《水浒传》”;事件P表示“取出的两本中至少有一本是《红楼梦》”.下列结论正确的是(　　).
A.M与P是互斥事件 B.M与N是互斥事件
C.N与P是对立事件 D.M,N,P两两互斥
【答案】　B
【解析】　因为事件M包含于事件P,M与P既不是对立也不是互斥事件,M与N是互斥事件,N与P是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误.
3.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为　　　　.
【答案】　至多有1件次品
【解析】　至少有2件次品的对立事件为含有1或0件次品.
所以事件A的对立事件为“至多有1件次品”.
4.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数,事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字,则事件A∩B用样本点表示为　　　　　　　　　.
【答案】　{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
【解析】　从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数,则所有的样本点为10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25个,
则事件A={10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54},
事件B={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54},
故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}.
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