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5.2 课时1 古典概型
【学习目标】
1.理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.(数学抽象)
2.理解和掌握古典概型的样本空间的基本特点,会根据实际问题建立古典概率模型,并能运用古典概型的概率计算公式求一些事件的概率.(数据分析)
3.通过对一些古典概型问题的分析,理解概率的三个基本性质.(逻辑推理)
【自主预习】
1.什么是古典概型
2.古典概型有哪些特征
3.古典概型的计算公式是什么
4.概率有哪些基本性质
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一个事件都是一个基本事件. (　　)
(2)古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等. (　　)
(3)古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的. (　　)
(4)古典概型中的样本点出现的可能性有可能不同. (　　)
2.先后抛掷两颗质地均匀的骰子,所得点数之和为7的概率为(　　).
A. B. C. D.
3.下列试验是古典概型的为 　　　　(填序号).
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小;
②同时掷两枚骰子,点数之和为7的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
4.某棋社有20名爱好象棋的棋友.已知社团中棋艺技能分为高级、中级和初级三个等级,其中中级棋友有11人,现从棋社中抽取一名棋友,若抽取到高级棋友的概率是0.2,则抽取到初级棋友的概率是　　　　.
【合作探究】
探究1　古典概型的定义
　　小明掷一枚质地均匀的硬币两次,观察哪一面向上.
问题1:这个试验共有哪几种结果 基本事件总数是多少
问题2:事件A={恰有一次正面向上}包含哪些试验结果
问题3:我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些
新知生成
1.随机事件的概率
把随机事件A发生的　可能性大小　叫作随机事件A的概率,记作　P(A)　.
2.古典概型
设试验的样本空间Ω有n个样本点,且每个样本点发生的可能性相同.当Ω中的事件A包含了m个样本点时,称P(A)=为事件A发生的概率,简称为A的概率,并把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.
3.古典概型的特点
(1)样本空间中只有　有限　个样本点;
(2)每个样本点出现的可能性　相等　.
新知运用
例1　某袋中有除颜色不同其他都相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出1个球.
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点 以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型
【方法总结】　　判断一个试验是否为古典概型的依据
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性.
下列概率模型中,古典概型的个数为(　　).
①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;
②从1,2,3,…,10中任取一个数,求取到1的概率;
③在正方形ABCD内画一点P,求点P恰好为正方形中心的概率;
④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究2　古典概型公式
　　考虑下面两个随机试验:(1)一个班级中有18名男生,22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”;(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好1次正面朝上”.
问题1:如何度量事件A和事件B发生的可能性大小
问题2:若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个,则该试验是古典概型吗
新知生成
1.古典概型公式
对于古典概型,事件A的概率计算公式为P(A)=.
2.概率的基本性质
(1)0≤P(A)≤1.(概率总是[0,1]中的数)
(2)P(Ω)=1.(必然事件的概率为1)
(3)P( )=0.(不可能事件的概率为零)
新知运用
例2　现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:
(1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
【方法总结】　　(1)古典概型概率的求法步骤:①确定等可能样本点总数n;②确定所求事件包含的样本点数m;③计算P(A)=.
(2)使用古典概型概率公式的注意点:①确定是否为古典概型;②A事件是什么,包含的样本点有哪些.
从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个不同的数字,求下列事件的概率:
(1)事件A={3个数字中不含1或5};
(2)事件B={3个数字中含1或5}.
探究3　较复杂古典概型的求解
例3　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次
转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
方法指导　写出试验的
样本空间→计算所求概
率事件的样
本点数→应用古典概
型概率公式
计算概率
【方法总结】　　(1)当样本点个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.
(2)在求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,并分别记为x,y.
(1)若记“x+y=5”为事件A,求事件A发生的概率;
(2)若记“x2+y2≤10”为事件B,求事件B发生的概率.
【随堂检测】
1.下列关于古典概型的说法中正确的是(　　).
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=.
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
2.从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为(　　).
A. B. C. D.
3.某学校高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动,倡导学生回家帮父母做家务,体验父母的艰辛.某同学要在周一至周五任选两天做家务,则该同学连续两天做家务的概率为(　　).
A. B. C. D.
4.某城市有8个商场A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O排成如图所示的格局,其中每个小方格为正方形,某人从网格中随机地选择一条最短路径,欲从商场A前往商场H,则他经过市中心O的概率为　　　　.
25.2 课时1 古典概型
【学习目标】
1.理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题.(数学抽象)
2.理解和掌握古典概型的样本空间的基本特点,会根据实际问题建立古典概率模型,并能运用古典概型的概率计算公式求一些事件的概率.(数据分析)
3.通过对一些古典概型问题的分析,理解概率的三个基本性质.(逻辑推理)
【自主预习】
1.什么是古典概型
【答案】　具有有限性、等可能性特征的试验叫作古典概型.
2.古典概型有哪些特征
【答案】　古典概型的两个特征:有限性和等可能性.
3.古典概型的计算公式是什么
【答案】　P(A)=.
4.概率有哪些基本性质
【答案】　(1)0≤P(A)≤1;(2)P(Ω)=1;(3)P( )=0.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何一个事件都是一个基本事件. (　　)
(2)古典概型中每一个基本事件出现的可能性相等. (　　)
(3)古典概型中的任何两个基本事件都是互斥的. (　　)
(4)古典概型中的样本点出现的可能性有可能不同. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.先后抛掷两颗质地均匀的骰子,所得点数之和为7的概率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　抛掷两颗质地均匀的骰子,一共有36种结果,其中点数之和为7的共有6种结果,根据古典概型的概率公式,得P=.
3.下列试验是古典概型的为 　　　　(填序号).
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小;
②同时掷两枚骰子,点数之和为7的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
【答案】　①②④
【解析】　①②④是古典概型,因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型,因为不符合等可能性,近三天中是否降雨受多方面因素影响.
4.某棋社有20名爱好象棋的棋友.已知社团中棋艺技能分为高级、中级和初级三个等级,其中中级棋友有11人,现从棋社中抽取一名棋友,若抽取到高级棋友的概率是0.2,则抽取到初级棋友的概率是　　　　.
【答案】　0.25
【解析】　由题意知,高级棋友有20×0.2=4(人),∴初级棋友有20-11-4=5(人),
∴从棋社中抽取到初级棋友的概率是=0.25.
【合作探究】
探究1　古典概型的定义
　　小明掷一枚质地均匀的硬币两次,观察哪一面向上.
问题1:这个试验共有哪几种结果 基本事件总数是多少
【答案】　共有正正、正反、反正、反反四种结果,基本事件总数是4.
问题2:事件A={恰有一次正面向上}包含哪些试验结果
【答案】　正反、反正.
问题3:我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验,它们的共同特征有哪些
【答案】　可以发现,它们具有如下共同特征:
①有限性:样本空间的样本点只有有限个;
②等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
新知生成
1.随机事件的概率
把随机事件A发生的　可能性大小　叫作随机事件A的概率,记作　P(A)　.
2.古典概型
设试验的样本空间Ω有n个样本点,且每个样本点发生的可能性相同.当Ω中的事件A包含了m个样本点时,称P(A)=为事件A发生的概率,简称为A的概率,并把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型,简称为古典概型.
3.古典概型的特点
(1)样本空间中只有　有限　个样本点;
(2)每个样本点出现的可能性　相等　.
新知运用
例1　某袋中有除颜色不同其他都相同的3个白球,2个红球,2个黄球,每个球有一个区别于其他球的编号,从中随机摸出1个球.
(1)把每个球的编号看作一个样本点建立的概率模型是不是古典概型
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,有多少个样本点 以这些样本点建立的概率模型是不是古典概型
【解析】　(1)因为样本点的个数有限,而且每个样本点发生的可能性相同,所以是古典概型.
(2)把球的颜色作为划分样本点的依据,可得到“取得一个白色球”“取得一个红色球”“取得一个黄色球”,共3个样本点.这些样本点个数有限,但“取得一个白色球”的概率与“取得一个红色球”或“取得一个黄色球”的概率不相等,即不满足等可能性,故不是古典概型.
【方法总结】　　判断一个试验是否为古典概型的依据
一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——样本点的有限性和等可能性.
下列概率模型中,古典概型的个数为(　　).
①从区间[1,10]内任取一个数,求取到1的概率;
②从1,2,3,…,10中任取一个数,求取到1的概率;
③在正方形ABCD内画一点P,求点P恰好为正方形中心的概率;
④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】　A
【解析】　古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的,并且每个样本点发生的可能性相等,故②是古典概型;①和③中的样本空间中样本点的个数不是有限的,故不是古典概型;④由于硬币质地不均匀,样本点发生的可能性不相等,故④不是古典概型.
探究2　古典概型公式
　　考虑下面两个随机试验:(1)一个班级中有18名男生,22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”;(2)抛掷一枚质地均匀的硬币3次,事件B=“恰好1次正面朝上”.
问题1:如何度量事件A和事件B发生的可能性大小
【答案】　(1)抽到男生的可能性大小,取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.
(2)事件B发生的可能性大小,取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.
问题2:若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个,则该试验是古典概型吗
【答案】　不一定是古典概型,还必须满足每个样本点出现的可能性相等才是古典概型.
新知生成
1.古典概型公式
对于古典概型,事件A的概率计算公式为P(A)=.
2.概率的基本性质
(1)0≤P(A)≤1.(概率总是[0,1]中的数)
(2)P(Ω)=1.(必然事件的概率为1)
(3)P( )=0.(不可能事件的概率为零)
新知运用
例2　现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取2道题解答.试求:
(1)所取的2道题都是甲类题的概率;
(2)所取的2道题不是同一类题的概率.
【解析】　(1)将4道甲类题依次编号为1,2,3,4;2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题,这个试验的样本空间Ω=
{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共15个样本点,且每个样本点出现的可能性是相等的,可用古典概型概率公式来计算概率.
用A表示“所取的2道题都是甲类题”这一事件,则A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,所以P(A)==.
(2)由(1)知试验的样本空间共有15个样本点,用B表示“所取的2道题不是同一类题”,则B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},共8个样本点,所以P(B)=.
【方法总结】　　(1)古典概型概率的求法步骤:①确定等可能样本点总数n;②确定所求事件包含的样本点数m;③计算P(A)=.
(2)使用古典概型概率公式的注意点:①确定是否为古典概型;②A事件是什么,包含的样本点有哪些.
从1,2,3,4,5这5个数字中任取3个不同的数字,求下列事件的概率:
(1)事件A={3个数字中不含1或5};
(2)事件B={3个数字中含1或5}.
【解析】　这个试验的样本空间Ω=
{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},样本点总数n=10,这10个样本点发生的可能性是相等的.
(1)因为事件A={(2,3,4)},所以事件A包含的样本点数m=1.
所以P(A)==.
(2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},
所以事件B包含的样本点数m=9,所以P(B)==.
探究3　较复杂古典概型的求解
例3　某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次
转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x,y.奖励规则如下:
①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率;
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.
方法指导　写出试验的
样本空间→计算所求概
率事件的样
本点数→应用古典概
型概率公式
计算概率
【解析】　用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数,
则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应.
因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点总数n=16.
(1)记“xy≤3”为事件A,则事件A包含的样本点共5个,即A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)}.
所以P(A)=,即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B,“3则事件B包含的样本点共6个,即B={(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4)}.
所以P(B)==.
事件C包含的样本点共5个,即C={(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1)}.
所以P(C)=.因为>,所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.
【方法总结】　　(1)当样本点个数没有很明显的规律,并且涉及的样本点又不是太多时,我们可借助树状图法直观地将其表示出来,这是进行列举的常用方法.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.
(2)在求概率时,若样本点可以表示成有序数对的形式,则可以把全部样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,给问题的解决带来方便.
将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,并分别记为x,y.
(1)若记“x+y=5”为事件A,求事件A发生的概率;
(2)若记“x2+y2≤10”为事件B,求事件B发生的概率.
【解析】　将一枚质地均匀的骰子抛掷1次,它的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果,
抛掷第2次,它的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果,
因为骰子共抛掷2次,所以共有6×6=36种结果.
(1)事件A发生的样本点有(1,4),(2,3),(4,1),(3,2),共4种结果,
所以事件A发生的概率为P(A)==.
(2)事件B发生的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),共6种结果,所以事件B发生的概率为P(B)==.
【随堂检测】
1.下列关于古典概型的说法中正确的是(　　).
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;②每个事件出现的可能性相等;③每个基本事件出现的可能性相等;④基本事件的总数为n,随机事件A若包含k个基本事件,则P(A)=.
A.②④ B.①③④ C.①④ D.③④
【答案】　B
【解析】　根据古典概型的特征与公式进行判断,①③④正确,②不正确.
2.从1,2,3,4这四个数字中,任取两个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于30的概率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　从1,2,3,4中任取两个不同数字构成一个两位数,共有12种不同取法,其中大于30的为31,32,34,41,42,43,共6种.故所求的概率为=.
3.某学校高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动,倡导学生回家帮父母做家务,体验父母的艰辛.某同学要在周一至周五任选两天做家务,则该同学连续两天做家务的概率为(　　).
A. B. C. D.
【答案】　D
【解析】　周一至周五任选两天的所有情况为(周一、周二)、(周一、周三)、(周一、周四)、(周一、周五)、(周二、周三)、(周二、周四)、(周二、周五)、(周三、周四)、(周三、周五)、(周四、周五),共10种,其中连续两天的有4种,故所求概率为=.
4.某城市有8个商场A,B,C,D,E,F,G,H和市中心O排成如图所示的格局,其中每个小方格为正方形,某人从网格中随机地选择一条最短路径,欲从商场A前往商场H,则他经过市中心O的概率为　　　　.
【答案】　
【解析】　此人从商场A前往商场H的所有最短路径有A→B→C→E→H,A→B→O→E→H,A→B→O→G→H,A→D→O→E→H,A→D→O→G→H,A→D→F→G→H,共6条,其中经过市中心O的有4条,所以经过市中心O的概率为.
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