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5.2 课时2 概率的运算
【学习目标】
1.掌握互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率.(数学抽象、数学运算)
2.掌握一般概率加法公式.(数学抽象、数学运算)
3.会用概率的运算解决实际问题.(数学建模)
【自主预习】
1.概率的性质有哪些
【答案】　(1)对任意的事件A,0≤P(A)≤1;(2)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0;(3)如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
2.如果事件A与事件B不互斥,那么P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系
【答案】　P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
3.如果事件A与事件B为对立事件,那么P(A)与P(B)有什么关系
【答案】　如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A与B互斥,则P(A)+P(B)=1. (　　)
(2)必然事件的概率一定为1. (　　)
(3)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级属于次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则随机抽查一件产品,恰好是正品的概率为0.96. (　　)
【答案】　(1)×　(2)√　(3)√
2.在掷骰子的游戏中,向上的点数是5或6的概率是(　　).
A. B. C. D.1
【答案】　B
【解析】　事件“向上的点数是5”与事件“向上的点数是6”为互斥事件,且二者发生的概率都是,
所以“向上的点数是5或6”的概率是+=.
3.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是,乙队获胜的概率是,则甲队获胜的概率是　　　　.
【答案】　
【解析】　由对立事件的概率公式可得,甲队获胜的概率P=1-+=.
4.某乒乓球队中的甲、乙两名队员参加运动会的乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么该队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
【答案】　
【解析】　设A=“甲夺得冠军”,B=“乙夺得冠军”,则该队夺得单打冠军为事件A+B,
∵事件A与事件B互斥,
∴P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
【合作探究】
探究1　互斥事件、对立事件的概率
　　将仅有颜色不同而大小质地相同的7个红球、2个绿球、1个黄球放入一个盒子中.现从中任取一个球,记事件A=“取出的球是红球”,事件B=“取出的球是绿球”,事件C=“取出的球是红球或绿球”.
问题1:事件A,B,C中各有几个基本事件
【答案】　事件A有7个基本事件;事件B有2个基本事件;事件C有9个基本事件.
问题2:事件A,B,C的关系是什么
【答案】　A∩B= ,A∩C=A,B∩C=B.
问题3:计算P(A),P(B),P(C).
【答案】　P(A)=,P(B)==,P(C)=.
问题4:观察P(C),P(A∪B)和P(A)+P(B)三者有何关系
【答案】　P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B).
新知生成
1.概率加法公式:若Ω中的事件A,B互斥,则P(A∪B)=　P(A)+P(B)　.
把概率加法公式反映的性质称为概率的可加性.
2.对立事件的概率:P()=1-P(A).
新知运用
例1　备战奥运会射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如表所示:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
　　求该选手射击一次,
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
【解析】　记“射击一次,命中k环”为事件Ak(k=7,8,9,10),“至少命中8环”为事件B,“命中不足8环”为事件C.
(1)因为A9与A10互斥,所以P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.
(2)因为B=A8+A9+A10,又A8,A9,A10两两互斥,所以P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)因为事件C与事件B是对立事件,所以P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
【方法总结】　　互斥、对立事件概率的求解步骤:解决事件概率问题,先结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算.
一盒中装有除颜色外其他都相同的球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
【解析】　(法一:利用互斥事件求概率)
记事件A1={任取1球为红球},
A2={任取1球为黑球},
A3={任取1球为白球},
A4={任取1球为绿球},
则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,P(A4)=.
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式得
(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=+=.
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.
(法二:利用对立事件求概率)
(1)由题意知,取出1球是红球或黑球的对立事件为取出1球是白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取出1球是红球或黑球的概率为P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)=1--==.
(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4,
所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-=.
探究2　一般概率加法公式
　　掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,事件A={红骰子的点数大于3},事件B={蓝骰子的点数大于3}.
问题1:事件A和事件B是互斥事件吗 能用互斥事件的概率加法公式计算吗
【答案】　不是,不能.
问题2:设事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A∪B发生的概率是P(A)+P(B)吗
【答案】　不一定.当事件A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B);当事件A与B不互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
问题3:你能推导一般概率加法公式吗
【答案】　设A,B是Ω的两个事件(如图).
由图可以看出,A∪B中的样本点个数等于A中的样本点个数加上B中的样本点个数,并减去A∩B中的样本点个数,所以P(A∪B)=
=
=P(A)+P(B)-P(A∩B).
特别地,当事件A,B为互斥事件时,A∩B= ,即P(A∩B)=0,则有P(A∪B)=P(A)+P(B).
新知生成
设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=　P(A)+P(B)-P(A∩B)　.
新知运用
例2　甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
方法指导　由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的,故此试验是古典概型,可以利用概率的一般加法公式求解.
【解析】　设事件A为“甲跑第一棒”,事件B为“乙跑第四棒”,则P(A)=,P(B)=.记甲跑第x棒,乙跑第y棒,则结果可记为(x,y),有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种结果.
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能,故P(A∩B)=.
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
【方法总结】　　在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件;在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.
在对200家公司的最新调查中发现,40%的公司在大力研究广告效果,50%的公司在进行短期销售预测,而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家,记事件A为“该公司在研究广告效果”,事件B为“该公司在进行短期销售预测”,求P(A),P(B),P(A∪B).
【解析】　P(A)=40%=0.4,P(B)=50%=0.5,又已知P(A∩B)=30%=0.3,
∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.4+0.5-0.3=0.6.
探究3　复杂事件概率的求法
例3　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
【解析】　令“抽取一名队员只属于篮球队”为事件A,“抽取一名队员只属于羽毛球队”为事件B,“抽取一名队员只属于乒乓球队”为事件C.由图知3支球队共有球员20名.
则P(A)=,P(B)=,P(C)==.
(1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D,
则D=A+B+C.因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)
=++=.
(2)令“抽取一名队员,该队员最多属于2支球队”为事件E,则为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”,所以P(E)=1-P()=1-=.
【方法总结】　　求复杂事件的概率常见的两种方法:(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件;(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即
“正难则反”,它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.这一过程渗透了数学运算素养、逻辑推理素养的培养.
一个盒子里有三张卡片,分别标记数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
【解析】　(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能结果为(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.
设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A,则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,所以P(A)==,即“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为.
(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B,则事件B的对立事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种,所以P(B)=1-P()=1-=,即“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为.
【随堂检测】
1.若P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,P(A∩B)=0.1,则P(B)=(　　).
A.0.3 B.0.4 C.0.1 D.1
【答案】　B
【解析】　由题意得P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.5,
∴P(B)=0.5-0.2+0.1=0.4.
2.(多选题)若事件A,B为两个互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是(　　).
A.P(AB)=0 B.P(B)=[1-P(A)]P(B)
C.P(∪)=1 D.P(A∪B)=P(A)+P(B)
【答案】　ACD
【解析】　∵事件A,B为两个互斥事件,A∩B= ,∴P(AB)=0,故A正确;
∵事件A,B为两个互斥事件,则B ,∴P(B)=P(B),故B错误;
P(∪)=1-P(AB)=1-0=1,故C正确;
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B),故D正确.故选ACD.
3.同时掷两枚质地均匀的骰子,没有5点或6点的概率为,则至少有一个5点或6点的概率是　　　　.
【答案】　
【解析】　记“没有5点或6点”为事件A,则P(A)=,“至少有一个5点或6点”为事件B.因为A∩B= ,A∪B为必然事件,所以A与B是对立事件,
则P(B)=1-P(A)=1-=,故至少有一个5点或6点的概率为.
4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为0.2,两人下成和棋的概率为0.4,则甲不输的概率是　　　　.
【答案】　0.6
【解析】　若设甲获胜为事件A,两人下成和棋为事件B,则甲不输为A∪B.因为A,B为互斥事件,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.2+0.4=0.6.
25.2 课时2 概率的运算
【学习目标】
1.掌握互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率.(数学抽象、数学运算)
2.掌握一般概率加法公式.(数学抽象、数学运算)
3.会用概率的运算解决实际问题.(数学建模)
【自主预习】
1.概率的性质有哪些
2.如果事件A与事件B不互斥,那么P(A∪B)与P(A),P(B)有什么关系
3.如果事件A与事件B为对立事件,那么P(A)与P(B)有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若事件A与B互斥,则P(A)+P(B)=1. (　　)
(2)必然事件的概率一定为1. (　　)
(3)某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级属于次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则随机抽查一件产品,恰好是正品的概率为0.96. (　　)
2.在掷骰子的游戏中,向上的点数是5或6的概率是(　　).
A. B. C. D.1
3.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是,乙队获胜的概率是,则甲队获胜的概率是　　　　.
4.某乒乓球队中的甲、乙两名队员参加运动会的乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为,乙夺得冠军的概率为,那么该队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为　　　　.
【合作探究】
探究1　互斥事件、对立事件的概率
　　将仅有颜色不同而大小质地相同的7个红球、2个绿球、1个黄球放入一个盒子中.现从中任取一个球,记事件A=“取出的球是红球”,事件B=“取出的球是绿球”,事件C=“取出的球是红球或绿球”.
问题1:事件A,B,C中各有几个基本事件
问题2:事件A,B,C的关系是什么
问题3:计算P(A),P(B),P(C).
问题4:观察P(C),P(A∪B)和P(A)+P(B)三者有何关系
新知生成
1.概率加法公式:若Ω中的事件A,B互斥,则P(A∪B)=　P(A)+P(B)　.
把概率加法公式反映的性质称为概率的可加性.
2.对立事件的概率:P()=1-P(A).
新知运用
例1　备战奥运会射击队的某一选手射击一次,其命中环数的概率如表所示:
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
　　求该选手射击一次,
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
【方法总结】　　互斥、对立事件概率的求解步骤:解决事件概率问题,先结合互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件,再选择概率公式进行计算.
一盒中装有除颜色外其他都相同的球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
探究2　一般概率加法公式
　　掷红、蓝两枚质地均匀的骰子,事件A={红骰子的点数大于3},事件B={蓝骰子的点数大于3}.
问题1:事件A和事件B是互斥事件吗 能用互斥事件的概率加法公式计算吗
问题2:设事件A发生的概率为P(A),事件B发生的概率为P(B),那么事件A∪B发生的概率是P(A)+P(B)吗
问题3:你能推导一般概率加法公式吗
新知生成
设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=　P(A)+P(B)-P(A∩B)　.
新知运用
例2　甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
方法指导　由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的,故此试验是古典概型,可以利用概率的一般加法公式求解.
【方法总结】　　在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)中,事件A,B是互斥事件;在公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,事件A,B可以是互斥事件,也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.
在对200家公司的最新调查中发现,40%的公司在大力研究广告效果,50%的公司在进行短期销售预测,而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家,记事件A为“该公司在研究广告效果”,事件B为“该公司在进行短期销售预测”,求P(A),P(B),P(A∪B).
探究3　复杂事件概率的求法
例3　某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求:
(1)该队员只属于一支球队的概率;
(2)该队员最多属于两支球队的概率.
【方法总结】　　求复杂事件的概率常见的两种方法:(1)将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件;(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立事件的概率公式,即
“正难则反”,它常用来求“至少…”或“至多…”型事件的概率.这一过程渗透了数学运算素养、逻辑推理素养的培养.
一个盒子里有三张卡片,分别标记数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取一张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率.
【随堂检测】
1.若P(A)=0.2,P(A∪B)=0.5,P(A∩B)=0.1,则P(B)=(　　).
A.0.3 B.0.4 C.0.1 D.1
2.(多选题)若事件A,B为两个互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,则下列结论正确的是(　　).
A.P(AB)=0 B.P(B)=[1-P(A)]P(B)
C.P(∪)=1 D.P(A∪B)=P(A)+P(B)
3.同时掷两枚质地均匀的骰子,没有5点或6点的概率为,则至少有一个5点或6点的概率是　　　　.
4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为0.2,两人下成和棋的概率为0.4,则甲不输的概率是　　　　.
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