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5.3 用频率估计概率
【学习目标】
1.了解频率的稳定性,理解频率与概率的区别与联系.(数学抽象)
2.能由频率估计随机事件的概率.(数学运算)
【自主预习】
1.抛掷硬币10000次,出现正面向上的频率一定是0.5吗
2.频率与概率之间有什么关系
3.频率的取值范围是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机事件的频率是变化的. (　　)
(2)随机事件的频率与概率一定不相等. (　　)
(3)在条件不变的情况下,随机事件的概率不变. (　　)
(4)在一次试验结束后,随机事件的频率是变化的. (　　)
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是(　　).
A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次
B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
C.抛掷硬币1000次,事件A发生的频率一定等于0.5
D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
3.某袋中有10个球,其中有m个红球,n个蓝球,有放回地随机抽取1000次,其中有597次取到红球,403 次取到蓝球,则其中红球最有可能有　　　个.
4.某种疾病治愈的概率是30%,有10个人来就诊,如果前7个人没有治愈,那么后3个人一定能治愈吗 如何理解治愈的概率是30%
【合作探究】
探究1　频率
　　我们知道,事件的概率越大,意味着事件发生的可能性越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大;事件的概率越小,则事件发生的可能性越小,在重复试验中,相应的频率一般也越小.在初中,我们利用频率与概率的这种关系,通过大量重复试验,用频率去估计概率.
问题1:在上述重复试验中,频率的大小是否就决定了概率的大小呢
问题2:事件A发生的频率Fn(A)是不是不变的 事件A的概率P(A)是不是不变的 它们之间有什么区别与联系
新知生成
1.频率
设Ω是某个试验的样本空间,A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次,我们称Fn(A)=是n次独立重复试验中事件A发生的频率.
2.频率与概率的关系
在相同条件下,将一试验独立重复n次,若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率,则当n增加时,Fn(A)将在一个固定的数值p附近波动,这个数值p就是事件A发生的概率P(A),即Fn(A)是P(A)的　估计　.
新知运用
一、频数与频率
例1　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如表所示:
分组 频数 频率
[500,900) 48
[900,1100) 121
[1100,1300) 208
[1300,1500) 223
[1500,1700) 193
[1700,1900) 165
[1900,+∞) 42
　　求各组的频率.
【方法总结】　　频率的计算公式:频率=频数/总数.
　　某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量x(单位:毫米)有关.据统计,当x=70时,y=460;x每增加10,y增加5.已知近20年x的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
则如下的频率分布表中空白处依次应填　　　　,　　　　,　　　　.
近20年六月份发电量频率分布表
发电量/ 万千瓦时 460 480 495 505 525 535
频率
二、由频率估计随机事件的概率
例2　随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
　　(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
【方法总结】　　随机事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.(2)求法:通过公式Fn(A)==计算出频率,再由频率估算概率.
　　某射击运动员进行双向飞碟射击训练,七次训练的成绩记录如下:
射击次数n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数nA 81 95 120 81 119 127 121
　　(1)求各次击中飞碟的频率;(保留三位小数)
(2)求该射击运动员击中飞碟的概率.
探究2　概率的应用
例3　某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平 为什么
【方法总结】　　游戏公平性的标准及判断方法:(1)游戏规则是否公平,要看对游戏的双方来说,获胜的可能性或概率是否相同.若相同,则规则公平,否则就是不公平的.(2)具体判断时,可以按所给规则,求出双方的获胜概率,再进行比较.
国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:
抽取球数目 50 100 200 500 1000 2000
优等品数目 45 92 194 470 954 1902
优等品频率
　　(1)计算表中优等品的各个频率;
(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是多少
【随堂检测】
1.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8000件产品中合格品的件数为(　　).
A.160 B.7840
C.7998 D.7800
2.(多选题)关于频率和概率,下列说法正确的是(　　).
A.某同学在罚球线投篮三次,命中两次,则该同学每次投篮的命中率为
B.数学家皮尔逊曾经做过两次试验,抛掷12000次硬币,得到正面向上的频率为0.5016,抛掷24000次硬币,得到正面向上的频率为0.5005,如果他抛掷36000次硬币,正面向上的频率可能大于0.5005
C.某类种子发芽的概率为0.903,当我们抽取2000粒种子试种,一定会有1806粒种子发芽
D.将一个均匀的骰子抛掷6000次,则出现点数大于2的次数大约为4000次
3.某制药厂正在测试一种减肥药的效果,有1000名志愿者服用此药,体重变化结果统计如下:
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
如果另有一人服用此药,估计这个人体重减轻的概率为　　　　.
4.某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据.
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的 次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔” 区域的频率
(1)计算并完成表格.
(2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少
(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少
25.3 用频率估计概率
【学习目标】
1.了解频率的稳定性,理解频率与概率的区别与联系.(数学抽象)
2.能由频率估计随机事件的概率.(数学运算)
【自主预习】
1.抛掷硬币10000次,出现正面向上的频率一定是0.5吗
【答案】　不一定.
2.频率与概率之间有什么关系
【答案】　可以用频率Fn(A)估计概率P(A).
3.频率的取值范围是什么
【答案】　频率的取值范围是[0,1].
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)随机事件的频率是变化的. (　　)
(2)随机事件的频率与概率一定不相等. (　　)
(3)在条件不变的情况下,随机事件的概率不变. (　　)
(4)在一次试验结束后,随机事件的频率是变化的. (　　)
【答案】　(1) √　(2)×　(3)√　(4)×
2.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是(　　).
A.抛掷硬币10次,事件A必发生5次
B.抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
C.抛掷硬币1000次,事件A发生的频率一定等于0.5
D.随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动的幅度较大的可能性小
【答案】　D
【解析】　不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数或频率是随机事件,“必”“不可能”“一定”的说法过于肯定,故A,B,C错误;
随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率越来越接近其概率0.5,故在0.5附近波动的幅度较大的可能性小,故D正确.
3.某袋中有10个球,其中有m个红球,n个蓝球,有放回地随机抽取1000次,其中有597次取到红球,403 次取到蓝球,则其中红球最有可能有　　　个.
【答案】　 6
【解析】　因为= m≈6,所以红球最有可能有6个.
4.某种疾病治愈的概率是30%,有10个人来就诊,如果前7个人没有治愈,那么后3个人一定能治愈吗 如何理解治愈的概率是30%
【解析】　不一定.如果把治疗一个病人当作一次试验,治愈的概率是30%,是指随着试验次数的增加,大约有30%的病人能治愈,对于一次试验来说,其结果是随机的.因此,前7个病人没有治愈是有可能的,而对后3个病人而言,其结果仍是随机的,即有可能治愈,也有可能不治愈.
【合作探究】
探究1　频率
　　我们知道,事件的概率越大,意味着事件发生的可能性越大,在重复试验中,相应的频率一般也越大;事件的概率越小,则事件发生的可能性越小,在重复试验中,相应的频率一般也越小.在初中,我们利用频率与概率的这种关系,通过大量重复试验,用频率去估计概率.
问题1:在上述重复试验中,频率的大小是否就决定了概率的大小呢
【答案】　不是.
问题2:事件A发生的频率Fn(A)是不是不变的 事件A的概率P(A)是不是不变的 它们之间有什么区别与联系
【答案】　频率是变化的,而概率是不变的,频率因试验的不同而不同,概率则不然,概率是频率的稳定值,是不随着频率的变化而变化的.
新知生成
1.频率
设Ω是某个试验的样本空间,A是Ω的事件.在相同的条件下将该试验独立地重复n次,我们称Fn(A)=是n次独立重复试验中事件A发生的频率.
2.频率与概率的关系
在相同条件下,将一试验独立重复n次,若用Fn(A)表示事件A在这n次试验中发生的频率,则当n增加时,Fn(A)将在一个固定的数值p附近波动,这个数值p就是事件A发生的概率P(A),即Fn(A)是P(A)的　估计　.
新知运用
一、频数与频率
例1　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支,该公司对这些灯管的使用寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如表所示:
分组 频数 频率
[500,900) 48
[900,1100) 121
[1100,1300) 208
[1300,1500) 223
[1500,1700) 193
[1700,1900) 165
[1900,+∞) 42
　　求各组的频率.
【解析】　分别用各组的频数除以总数,可知各组的频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.
【方法总结】　　频率的计算公式:频率=频数/总数.
　　某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量x(单位:毫米)有关.据统计,当x=70时,y=460;x每增加10,y增加5.已知近20年x的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
则如下的频率分布表中空白处依次应填　　　　,　　　　,　　　　.
近20年六月份发电量频率分布表
发电量/ 万千瓦时 460 480 495 505 525 535
频率
　　【答案】　　　
【解析】　发电量为480,505,525所对应的降雨量分别为110,160,200.在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个,故近20年六月份发电量频率分布表为
发电量/ 万千瓦时 460 480 495 505 525 535
频率
二、由频率估计随机事件的概率
例2　随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴
日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
　　(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;
(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
【解析】　(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,得在4月份任取一天,西安市在该天不下雨的概率约为.
(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率约为.
【方法总结】　　随机事件概率的理解及求法
(1)理解:概率可看作频率理论上的期望值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.当试验的次数越来越多时,频率越来越趋近于概率.当次数足够多时,所得频率就近似地看作随机事件的概率.(2)求法:通过公式Fn(A)==计算出频率,再由频率估算概率.
　　某射击运动员进行双向飞碟射击训练,七次训练的成绩记录如下:
射击次数n 100 120 150 100 150 160 150
击中飞碟数nA 81 95 120 81 119 127 121
　　(1)求各次击中飞碟的频率;(保留三位小数)
(2)求该射击运动员击中飞碟的概率.
【解析】　(1)由公式Fn(A)=可得,击中飞碟的频率依次为0.810,0.792,0.800,0.810,0.793,0.794,0.807.
(2)由(1)可知该射击运动员在同一条件下击中飞碟的频率都在0.800附近摆动,
所以该运动员击中飞碟的概率约为0.800.
探究2　概率的应用
例3　某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平 为什么
【解析】　该方案是公平的,理由如下:各种情况如表所示:
4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
　　由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的情况有6种,为奇数的情况也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1==,(2)班代表获胜的概率P2==,即P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
【方法总结】　　游戏公平性的标准及判断方法:(1)游戏规则是否公平,要看对游戏的双方来说,获胜的可能性或概率是否相同.若相同,则规则公平,否则就是不公平的.(2)具体判断时,可以按所给规则,求出双方的获胜概率,再进行比较.
国家乒乓球比赛的用球有严格标准,下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测,结果如表所示:
抽取球数目 50 100 200 500 1000 2000
优等品数目 45 92 194 470 954 1902
优等品频率
　　(1)计算表中优等品的各个频率;
(2)从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是多少
【解析】　(1)如表所示:
抽取球数目 50 100 200 500 1000 2000
优等品数目 45 92 194 470 954 1902
优等品频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951
　　(2)根据频率与概率的关系,可以认为从这批产品中任取一个乒乓球,质量检测为优等品的概率约是0.95.
【随堂检测】
1.设某厂产品的次品率为2%,估算该厂8000件产品中合格品的件数为(　　).
A.160 B.7840
C.7998 D.7800
【答案】　B
【解析】　次品率为2%,故次品约有8000×2%=160(件),故合格品的件数约为7840.
2.(多选题)关于频率和概率,下列说法正确的是(　　).
A.某同学在罚球线投篮三次,命中两次,则该同学每次投篮的命中率为
B.数学家皮尔逊曾经做过两次试验,抛掷12000次硬币,得到正面向上的频率为0.5016,抛掷24000次硬币,得到正面向上的频率为0.5005,如果他抛掷36000次硬币,正面向上的频率可能大于0.5005
C.某类种子发芽的概率为0.903,当我们抽取2000粒种子试种,一定会有1806粒种子发芽
D.将一个均匀的骰子抛掷6000次,则出现点数大于2的次数大约为4000次
【答案】　BD
【解析】　某同学投篮三次,命中两次,只能说明在这次投篮中命中的频率为,不能说概率,故A错误;
进行大量的试验,硬币正面向上的频率在0.5附近摆动,可能大于0.5,也可能小于0.5,故B正确;
只能说明可能有1806粒种子发芽,具有随机性,并不是一定有1806粒种子发芽,故C错误;
出现点数大于2的次数大约为4000次,故D正确.
3.某制药厂正在测试一种减肥药的效果,有1000名志愿者服用此药,体重变化结果统计如下:
体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加
人数 600 200 200
如果另有一人服用此药,估计这个人体重减轻的概率为　　　　.
【答案】　0.6
【解析】　由表中数据,估计这个人体重减轻的概率为=0.6.
4.某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示),并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域(不考虑指针落在分界线上的情况)就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据.
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的 次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔” 区域的频率
(1)计算并完成表格.
(2)请估计,当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近多少
(3)假如你去转动该转盘一次,你获得铅笔的概率约是多少
【解析】　(1)
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的 次数m 68 111 136 345 564 701
落在“铅笔” 区域的频率 0.68 0.74 0.68 0.69 0.705 0.701
　　(2)当n很大时,落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.
(3)获得铅笔的概率约是0.7.
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